Skip to content

Ujumuishaji wa nambari

Vekta za nguvu ya ndani ya elementi \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) na matriki ya ugumu wa elementi \(\boldsymbol{K}^e\) zilizopatikana katika Udiskretishaji wa kazi pepe ya nguvu ya ndani na Kazi pepe ya nguvu ya nje na ukusanyaji wa mlinganyo wa jumla huwa katika umbo la integrali juu ya eneo la elementi \(\Omega^e\) au \(\Omega^e_0\). FrontISTR huzikadiria kwa nambari kwa kutumia quadrature ya Gauss.

Quadrature ya Gauss na ubadilishaji wa vigeu

Quadrature ya Gauss hukadiria integrali juu ya eneo rejea \(\Xi\) kwa jumla ya mstari ya thamani za integrandi katika nukta za ujumuishaji \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) na uzani \(w_i\). Inapotumika kwenye eneo la elementi \(\Omega^e\), huhusisha ubadilishaji wa vigeu kupitia ramani \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\),

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

ambapo \(n_q\) ni idadi ya nukta za ujumuishaji na \(J_{\xi_i}\) ni kibainishi cha Jacobian ya ubadilishaji. Eneo rejea \(\Xi\) huamuliwa kwa kila aina ya elementi (kwa heksahedra ni \([-1,1]^3\), huku pembetatu, tetrahedra na kabari zikitumia maumbo rejea yanayolingana), na nukta za ujumuishaji \(\boldsymbol{\xi}_i\) pamoja na uzani \(w_i\) hutolewa kama majedwali ya nambari. Integrali za uso hushughulikiwa kwa umbo lilelile kwa kuramisha uso wa elementi kutoka eneo rejea lenye vipimo viwili.

Idadi za kawaida za nukta za ujumuishaji zinazotumiwa na FrontISTR zimeonyeshwa hapa chini (kwa uhusiano na aina za elementi, rejelea Mfumo wa namba za elementi na maktaba ya funksi za umbo).

Aina ya elementi Kanuni ya ujumuishaji Idadi ya nukta za ujumuishaji
Tetrahedra ya nodi 4 (tet4n) Kanuni ya nukta 1 1
Tetrahedra ya nodi 10 (tet10n) Kanuni ya nukta 4 4
Prisma ya pembetatu ya nodi 6 (prism6n) Kanuni ya nukta 2 2
Prisma ya pembetatu ya nodi 15 (prism15n) Kanuni ya nukta 9 9
Heksahedra ya nodi 8 (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
Heksahedra ya nodi 20 (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
Pembe nne ya nodi 4 (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
Pembe nne ya nodi 8 (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
Pembetatu ya nodi 3 (tri3n) Kanuni ya nukta 1 1
Pembetatu ya nodi 6 (tri6n) Kanuni ya nukta 3 3

Kwa elementi za heksahedra, pembe nne na mstari, bidhaa ya tenzori ya kanuni ya Gauss-Legendre katika kila mwelekeo wa kuratibu hutumiwa. Pembetatu, tetrahedra na prisma za pembetatu hutumia kanuni maalum zinazofaa maumbo ya aina ya simplex, yaani mipangilio ya nukta inayojumuisha polinomi kwa usahihi juu ya pembetatu au umbo rejea husika.

Matumizi katika ujumuishaji wa elementi

Katika ujumuishaji wa elementi, kuratibu asilia \(\boldsymbol{r}\) hutumiwa kama kuratibu za eneo rejea (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), na ramani kwenda kuratibu halisi hutolewa kwa uinterpolishaji wa kuratibu za nodi kwa kutumia funksi za umbo. Kulingana na uchaguzi wa usanidi rejea (Mfumo wa uchanganuzi wa nyongeza), hutumiwa kama ifuatavyo.

Mbinu ya Total Lagrange (ujumuishaji juu ya usanidi rejea \(\Omega^e_0\)): ramani na Jacobian ni

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

na nguvu ya ndani ya elementi pamoja na matriki ya ugumu hukadiriwa kwa

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

\(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) zote hutathminiwa kwenye nukta ya ujumuishaji \(\boldsymbol{r}_i\).

Mbinu ya Updated Lagrange (ujumuishaji juu ya usanidi wa sasa \(\Omega^e\)): ramani na Jacobian ni

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

na

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

hutumiwa.

Tofauti kati ya miundo hii miwili ni jambo moja tu: kuratibu za nodi zinazoingizwa kwenye ramani ni \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) au \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\). Muundo wa nukta za ujumuishaji, uzani na mzunguko wa nukta za ujumuishaji ni wa pamoja.

Ujumuishaji kamili na ujumuishaji uliopunguzwa

Ujumuishaji unaotumia idadi ya nukta za ujumuishaji inayotosha kujumuisha kwa usahihi daraja la polinomi ya integrandi huitwa ujumuishaji kamili; ujumuishaji unaotumia kiwango kimoja cha nukta chache kuliko hicho huitwa ujumuishaji uliopunguzwa. Ujumuishaji uliopunguzwa hutumika kupunguza shear na locking ya ujazo, lakini huhitaji kushughulikia modi bandia za mgeuko kama modi za hourglass. Idadi ya nukta za ujumuishaji kwa kila aina ya elementi na uchaguzi wa ujumuishaji kamili/uliopunguzwa vinaelezwa kuanzia Mfumo wa namba za elementi na maktaba ya funksi za umbo na katika Miundo ya elementi yenye utendaji wa juu.

Vipengee vinavyohusiana