Skip to content

Funksi za umbo za elementi dhabiti za pande tatu

Kwa funksi za umbo \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) zilizoanzishwa katika Funksi za umbo na ukadiriaji wa elementi finiti, sura hii inakusanya mifumo ya viwianishi asilia na maumbo mahususi ya elementi dhabiti za pande tatu zinazotumiwa na FrontISTR katika uchanganuzi wa kontinuamu. Aina sita zinazohusika ni tetrahedra za daraja la kwanza na la pili (341/342), miche ya pembetatu ya daraja la kwanza na la pili (351/352), na heksaedra za daraja la kwanza na la pili (361/362). Kwa mpangilio wa nodi na nambari za nyuso katika umbizo la mesh la HEC-MW, rejelea Maktaba ya elementi katika marejeo ya vipengele.

Utaratibu wa kuunda integrali za elementi kutoka funksi hizi za umbo na determinanti ya Jacobi unafuata Ujumuishaji wa nambari. Uundaji wa B-bar, F-bar, na modi isiyopatana wa 361, pamoja na funksi za umbo za elementi za boriti na ganda, umeelezwa katika Uundaji wa hali ya juu wa elementi.

Mifumo ya viwianishi asilia na mpangilio wa ndani wa nodi

Funksi za umbo hufafanuliwa kwenye viwianishi asilia \(\boldsymbol{r}\) vya kila elementi. Kwa elementi dhabiti za pande tatu, mifumo mitatu ifuatayo ya viwianishi asilia hutumiwa kulingana na umbo la elementi.

  • Heksaedra (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetrahedra (341/342): viwianishi vya ujazo \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). Vigezo huru ni \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) na \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Miche ya pembetatu (351/352): viwianishi vya ujazo \((\xi, \eta)\) vya msingi wa pembetatu (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) huunganishwa na kiwianishi cha mhimili \(\zeta \in [-1, 1]\) kuwa \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Kiasi saidizi \(a = 1 - \xi - \eta\) hutumiwa kama kiwianishi cha tatu cha ujazo cha msingi.

Kwa elementi za daraja la kwanza, nambari za nodi za elementi katika umbizo la ingizo la HEC-MW na katika umbizo la ndani zinafanana. Kwa elementi za daraja la pili, kanuni ya mpangilio wa nodi za katikati ya upande hutofautiana kati ya maumbizo hayo. FrontISTR hupokea umbizo la HEC-MW kama ingizo—nodi za kona kwanza kwa kuzunguka elementi, kisha nodi za katikati ya upande kwenye kingo 1-2, 2-3, …—ilhali funksi za umbo katika maktaba ya elementi zimetekelezwa kwa mpangilio tofauti wa nodi.

Tofauti kati ya maumbizo hayo huondolewa na hecmw2fstr_mesh_conv, inayoitwa mara tu baada ya kusoma mesh na kupanga upya nodi kwa kila elementi. Kati ya elementi dhabiti za pande tatu, aina mbili zifuatazo zinahitaji ugeuzaji.

Aina ya elementi Jedwali la ugeuzaji Maelezo
342 (tetrahedra ya daraja la pili) Table342 Panga upya nodi 10 kuwa \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (mche wa pembetatu wa daraja la pili) Table352 Panga upya nodi 15 kuwa \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Kwa kuwa upangaji upya hufanywa moja kwa moja kwenye safu inayohifadhi muunganisho wa elementi, miito yote ya baadaye ya maktaba ya elementi hutumia mpangilio wa ndani wa nodi wa FrontISTR. Kwa heksaedra ya daraja la pili 362, mpangilio wa nodi za katikati ya upande katika umbizo la ingizo la HEC-MW unafanana na umbizo la ndani la FrontISTR, kwa hiyo hakuna jedwali la ugeuzaji. Wakati wa kutoa matokeo, ugeuzaji wa kinyume fstr2hecmw_mesh_conv huitwa kurudisha mpangilio wa nodi wa HEC-MW kabla ya kuandika; hivyo mtumiaji anahitaji kuzingatia umbizo la HEC-MW pekee kwa ingizo na tokeo. Nambari za nodi za funksi za umbo zilizo hapa chini ni za umbizo la ndani la FrontISTR baada ya ugeuzaji.

Funksi za umbo za elementi za daraja la kwanza

Funksi za umbo za tetrahedra ya daraja la kwanza (341) ni viwianishi vya ujazo vyenyewe:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Funksi za umbo za mche wa pembetatu wa daraja la kwanza (351) ni zao la funksi za umbo za daraja la kwanza za msingi wa pembetatu (\(a, \xi, \eta\)) na funksi za umbo za daraja la kwanza za mhimili (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Funksi za umbo za heksaedra ya daraja la kwanza (361) ni zao la kitensa la funksi za umbo za daraja la kwanza katika mihimili yote mitatu:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Hapa \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) ni thamani za viwianishi asilia vya nodi \(\alpha\); kila kipengele ni \(\pm 1\).

Funksi za umbo za elementi za daraja la pili

Funksi za umbo za tetrahedra ya daraja la pili (342) hugawanywa katika nodi 4 za kona na nodi 6 za katikati ya upande:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Nodi za katikati ya upande 5–10 zinalingana na katikati za kingo 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4, na 3-4, mtawalia.

Funksi za umbo za mche wa pembetatu wa daraja la pili (352) zinajumuisha nodi 6 za kona, nodi 6 za katikati ya upande kwenye nyuso za pembetatu, na nodi 3 za katikati ya kingo za mhimili:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Nodi za katikati ya upande 7–9 ni katikati za kingo za pembetatu ya chini (\(\zeta = -1\)), 10–12 ni katikati za kingo za pembetatu ya juu (\(\zeta = +1\)), na 13–15 ni katikati za kingo za mhimili.

Heksaedra ya daraja la pili (362) ni elementi yenye nodi 20 ya familia ya Serendipity. Thamani za viwianishi asilia vya nodi \(\alpha\) ziwe \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Kwa nodi za kona (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), kila kipengele ni \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Kwa nodi za katikati ya upande (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), mojawapo ya viwianishi asilia vitatu ni \(0\) na vingine viwili ni \(\pm 1\)), kwa nodi zenye \(\xi_\alpha = 0\)—yaani ukingo unaelekea kwenye mhimili \(\xi\)—

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Nodi za katikati ya upande kwenye mihimili \(\eta\) na \(\zeta\) hupatikana vivyo hivyo kwa kuondoa kiwianishi asilia kinacholingana kupitia termi ya mraba.

Mada zinazohusiana