Skip to content

Uundaji wa hali ya juu wa elementi

Uundaji wa kawaida unaotegemea uhamisho ulioonyeshwa katika Uundaji wa elementi dhabiti za pande tatu unaweza kuonyesha ugumu mkubwa usio halisi unaoitwa kufungika (locking)—kufungika kwa ujazo au kufungika kwa mkato—unapotumiwa kwa nyenzo karibu zisizobanika au miundo myembamba inayotawaliwa na kupinda. Ili kuepuka hali hiyo, FrontISTR hutoa mbinu za B-bar na F-bar zinazorekebisha sehemu ya ujazo ya matriki B au gradieni ya mgeuko, elementi zenye modi isiyopatana zinazoongeza madaraja ya uhuru ya ndani, elementi mseto za u-p zinazotumia shinikizo kama uga huru usiojulikana, pamoja na elementi za ganda za MITC na elementi za boriti kwa miundo ya sahani na boriti.

Sura hii inaeleza uundaji wa elementi hizo za hali ya juu na elementi za kimuundo kwa kila aina ya elementi.

Mbinu ya B-bar

Elementi ya heksaedra ya daraja la kwanza yenye nodi 8 ikitumika kwa nyenzo karibu isiyobanika, uga wa mnyumbuko ndani ya elementi moja unaweza kukinzana na sharti la ujazo usiobadilika na kusababisha ugumu mkubwa unaoitwa kufungika kwa ujazo. Mbinu ya B-bar hupunguza uzuiaji huu wa ziada kwa kubadilisha sehemu za matriki B zinazochangia upanuzi wa ujazo na thamani zilizotathminiwa katikati ya elementi [Hughes1980].

Katika kituo cha elementi \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), matriki B iliyokokotolewa kutoka derivativi za nafasi za funksi za umbo iwe \(\bar{\boldsymbol{B}}\), na matriki B ya kawaida iliyokokotolewa katika nukta ya ujumuishaji \(\boldsymbol{r}\) iwe \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Katika uhusiano wa uhamisho na mnyumbuko kwa nodi \(\alpha\) na daraja la uhuru \(i\), kwa vipengele vya mnyumbuko wa ujazo \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) tunaongeza

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

na kwa vipengele vya mkato \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) hutumiwa matriki \(\boldsymbol{B}\) ya kawaida. Matriki ya ugumu ya elementi na vekta ya nguvu ya ndani hukusanywa kwa kutumia matriki B-bar inayopatikana.

FrontISTR hutoa uundaji huu mahususi kwa elementi ya heksaedra ya daraja la kwanza yenye nodi 8 (ID ya elementi 361; tazama Mfumo wa nambari za elementi), na unaweza kutumiwa kwa mgeuko mdogo, Total Lagrange, na Updated Lagrange.

Mbinu ya F-bar

Katika mgeuko finiti, mabadiliko ya ujazo huathiri kwa namna isiyo ya mstari kupitia gradieni ya mgeuko \(\boldsymbol{F}\). Mbinu ya F-bar [deSouzaNeto1996] hutekeleza hatua dhidi ya kufungika kwa ujazo inayolingana na B-bar katika kiwango cha gradieni ya mgeuko.

Uwiano wa ujazo wa gradieni ya mgeuko uliotathminiwa katikati ya elementi \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) uwe \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), na uwiano wa ujazo katika nukta ya ujumuishaji uwe \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Gradieni ya mgeuko katika nukta ya ujumuishaji hubadilishwa kuwa

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Kwa hiyo \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), na uwiano wa ujazo katika elementi nzima unasawazishwa na thamani ya katikati ya elementi. \(\bar{\boldsymbol{F}}\) baada ya ubadilishaji hutumiwa kutathmini mkazo na kuunda matriki ya mnyumbuko na uhamisho; katika matriki ya ugumu ya elementi, matriki tangenti hukusanywa pamoja na termi za ziada zinazotokana na ubadilishaji huu.

FrontISTR imetekeleza mbinu ya F-bar mahususi kwa elementi ya heksaedra ya daraja la kwanza yenye nodi 8, na inaweza kutumiwa kwa mgeuko mdogo na kwa kutokuwa mstari kwa jiometri katika Total Lagrange / Updated Lagrange.

Elementi zenye modi isiyopatana

Elementi ya heksaedra ya daraja la kwanza yenye nodi 8 haina modi za mnyumbuko zinazohitajika kuwakilisha kupinda, na huonyesha kufungika kwa mkato katika matatizo yanayotawaliwa na kupinda. Elementi yenye modi isiyopatana [Taylor1976] huongeza modi za uhamisho ndani ya elementi ili kufidia upungufu huu.

Mbali na uhamisho wa nodi \(\boldsymbol{u}^e\) wa elementi, madaraja ya uhuru ya modi isiyopatana \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) yanayokuwepo ndani ya elementi pekee huongezwa kama mielekeo 3 × modi 3 kwa kila elementi, na uga wa uhamisho hukadiriwa kwa

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Kwa viwianishi asilia \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), funksi za umbo za modi isiyopatana huchukuliwa kuwa \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), na \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Hazihakikishi mwendelezo kwenye mipaka ya elementi, lakini huongeza nafasi ya ndani ya elementi inayoweza kuwakilisha modi za mnyumbuko wa kupinda.

Matriki ya ugumu ya elementi hukusanywa kwanza kwa ugawaji wa bloku kati ya DOF za nje na DOF za ndani:

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Baada ya kukusanywa katika umbo hili, ufinyazaji tuli (static condensation) hufanywa ili kuondoa madaraja ya uhuru ya ndani kwa \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), na kupata matriki ya ugumu ya elementi yenye DOF za nje pekee:

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

Matriki hiyo hupitishwa kwenye ukusanyaji wa jumla.

FrontISTR imetekeleza elementi yenye modi isiyopatana mahususi kwa elementi ya heksaedra ya daraja la kwanza yenye nodi 8 (C3D8IC), na inaweza kutumiwa kwa mgeuko mdogo, Total Lagrange, na Updated Lagrange.

Elementi mseto za U-P

Wakati mbinu za B-bar na F-bar zinasahihisha sehemu ya ujazo ndani ya mfumo unaotegemea uhamisho, elementi mseto ya u-p (U-P) hutumia uundaji mseto [Bathe1996] unaoongeza shinikizo \(\lambda\) kama uga usiojulikana ulio huru na uhamisho. Kwa nyenzo karibu zisizobanika—kama nyenzo za mpira zenye uwiano wa Poisson ulio karibu sana na 0.5 au metali baada ya mgeuko wa plastiki—kutekeleza sharti la ujazo usiobadilika kwa uga wa uhamisho pekee husababisha kufungika kwa ujazo; kutumia shinikizo kama kigezo huru hupunguza kizuizi hiki.

Mkazo hugawanywa katika sehemu mkengeuko na shinikizo kama

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

ambapo \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) ni matriki elastiki mkengeuko inayopatikana kwa kuondoa sehemu ya ujazo inayolingana na moduli ya ujazo \(K\) kutoka matriki elastiki. Shinikizo \(\lambda\) na mnyumbuko wa ujazo \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) huunganishwa na sharti kupitia ubanafu \(\alpha^{-1} = 1/K\):

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Udiskretishaji unaotumia uhamisho \(\boldsymbol{u}\) na shinikizo \(\lambda\) kama visivyojulikana hutoa mfumo uliounganishwa wa elementi:

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

Hapa \(\mathbf{K}_{uu}\) ina mchango wa unyumbufu mkengeuko na, kwa mgeuko finiti, ugumu wa kijiometri; \(\mathbf{K}_{up}\) huunganisha mnyumbuko wa ujazo na shinikizo; na \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) ni termi ya uthabiti wa shinikizo (\(\boldsymbol{N}_p\) ni funksi ya umbo ya shinikizo). Kwa kuwa DOF za shinikizo zimefungwa ndani ya elementi,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ufinyazaji tuli hufanywa kwa umbo hili, na matriki ya ugumu faafu yenye DOF za nje—uhamisho—pekee hupitishwa kwenye ukusanyaji wa jumla.

FrontISTR imetekeleza elementi U-P mahususi kwa elementi ya heksaedra ya daraja la kwanza yenye nodi 8, ikiwa na DOF moja ya shinikizo kwa kila elementi—ya kudumu ndani ya elementi. Inaweza kutumiwa kwa mgeuko mdogo, Total Lagrange, na Updated Lagrange. Katika Updated Lagrange, mkazo mkengeuko husasishwa kwa kasi objektivu ya mkazo (aina ya Jaumann/Hughes-Winget), kisha shinikizo \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) hutumiwa kutoka thamani iliyopatikana kwa ufinyazaji tuli.

Elementi za ganda

Kwa miundo myembamba ya sahani na ganda hutumiwa elementi za ganda zinazotegemea nadharia ya Reissner-Mindlin ya sahani/ganda. Kadiri unene unavyopungua, elementi za daraja la chini za sahani/ganda zinazotegemea uhamisho hukadiria kupita kiasi mnyumbuko wa mkato unaopita kwenye unene kupitia utaratibu unaofanana na kufungika kwa ujazo—kufungika kwa mkato—na ugumu wa modi za kupinda huongezeka kupita kiasi. Mbinu ya MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] huepuka tatizo hili kwa kuchukua upya sampuli za vipengele vya mnyumbuko wa mkato pekee katika nukta maalumu ndani ya elementi na kuinterpolisha tena sampuli hizo ndani ya elementi.

Nodi za elementi ya ganda ya MITC ziko kwenye uso wa kati wa uso uliopinda, na kila nodi ina madaraja 6 ya uhuru: vipengele 3 vya uhamisho na vipengele 3 vya mzunguko kuhusu kawaida ya uso wa kati. Matriki ya ugumu ya elementi hutathminiwa kwa ujumuishaji wa Gauss wa pande tatu unaojumuisha viwianishi asilia vya uso wa kati na mwelekeo wa unene, na unene wa sahani \(h\) hutolewa kama sifa ya elementi wakati wa kukokotoa sheria ya konstitutivu.

FrontISTR hutoa MITC3 (ID ya elementi 731), MITC4 (741), na MITC9 (743), zinazowakilishwa kwa tabaka moja la uso wa kati, pamoja na elementi za ganda zenye tabaka MITC3-ganda361 (761, nodi 3\(\times\)2, DOF 3 kwa kila nodi) na MITC4-ganda361 (781, nodi 4\(\times\)2, DOF 3 kwa kila nodi), zenye nodi zilizopangwa katika tabaka mbili kupitia unene. Katika elementi za ganda zenye tabaka, DOF za nodi ni vipengele 3 vya uhamisho pekee, na modi za kupinda zinazolingana na DOF za mzunguko huwakilishwa na mpangilio wa tabaka mbili.

Elementi za boriti

Vipengele vya mstari kama mihimili mikuu na miundo ya fremu hugawanywa kwa elementi za boriti. FrontISTR hutumia uundaji wa boriti wa Timoshenko unaozingatia mgeuko wa mkato na kueleza kupinda na mkato kama funksi za DOF za uhamisho na mzunguko.

Kila nodi ya boriti ina madaraja 6 ya uhuru: vipengele 3 vya uhamisho na vipengele 3 vya mzunguko kuhusu mhimili wa boriti na mihimili ya kuvuka. Matriki ya ugumu ya elementi hutathminiwa kwa ujumuishaji wa nambari wa kipimo kimoja kando ya mhimili wa boriti. Eneo la sehemu ya msalaba \(A\) na momenti ya pili ya eneo \(I\) katika mielekeo ya kupinda na msokoto hutolewa kama sifa za sehemu ya boriti; pamoja na moduli ya Young \(E\) na moduli ya mkato \(G\) za nyenzo, huunda vigawo vya ugumu vya unyoshaji wa mhimili, kupinda, msokoto, na mkato.

FrontISTR hutoa elementi ya boriti iliyonyooka yenye nodi 2 (ID ya elementi 611) na elementi mseto ya dhabiti-tetrahedra na boriti yenye nodi 4 inayowakilishwa kwa nodi 3 (641, kwa madaraja mseto ya uhuru).

Mada zinazohusiana