Mwendo, mgeuko, na mnyumbuko¶

Usanidi wa marejeo na usanidi wa sasa¶

Ufafanuzi wa usanidi¶

Ili kutofautisha umbo linalotumika kama msingi wa kueleza kiasi cha kifizikia, mwongozo huu hutumia aina mbili za usanidi.

Usanidi wa marejeo: umbo lisilogeuka mwanzoni mwa uchanganuzi (wakati \(0\)), ambalo pia huitwa usanidi wa awali. Nukta katika usanidi wa marejeo huwakilishwa kwa viwianishi vya nyenzo \(\boldsymbol{X}\); ujazo ni \(V\) na uso ni \(S\).
Usanidi wa sasa: umbo baada ya kugeuka wakati \(t\). Nukta katika usanidi wa sasa huwakilishwa kwa viwianishi vya nafasi \(\boldsymbol{x}\); ujazo ni \(v\) na uso ni \(s\).

Mwendo huwakilishwa kama ramani kati ya misanidi hii miwili, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), na uhamisho hufafanuliwa kwa \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Kanuni za alama zinazotegemea usanidi (herufi kubwa/herufi ndogo)¶

Herufi kubwa na ndogo hutumika kutofautisha usanidi unaohusishwa na kiasi cha kifizikia.

Kiasi kinachohusishwa na usanidi wa marejeo huandikwa kwa herufi kubwa (kwa mfano, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Kiasi kinachohusishwa na usanidi wa sasa huandikwa kwa herufi ndogo (kwa mfano, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Kiasi kinachohusisha misanidi yote miwili, kama mkazo wa kwanza wa Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\), huandikwa kwa alama yake ya kawaida na hufafanuliwa katika maandishi kila kinapotokea.
Katika nadharia ya mgeuko mdogo, tofauti kati ya misanidi hiyo hutoweka; kwa hiyo, herufi ndogo pekee (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) hutumiwa.

Gradieni katika usanidi wa marejeo na usanidi wa sasa¶

Alama na maana hutofautiana kulingana na usanidi unaotumiwa kuchukua derivativi ya nafasi.

Gradieni katika usanidi wa marejeo \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradieni dhidi ya viwianishi vya nyenzo. Mfano: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradieni katika usanidi wa sasa \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradieni dhidi ya viwianishi vya nafasi. Mfano: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Gradieni hizi huhusiana kwa \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Kwa kanuni za derivativi ya muda (derivativi ya muda ya nyenzo \(\dot{(\cdot)}\)), rejelea Alama za tensa na misingi ya hisabati.

Ufafanuzi wa mwendo¶

Ramani ya mwendo na maelezo ya nyenzo/nafasi¶

Kontinuamu ikichukuliwa kuwa mkusanyiko wa nukta za nyenzo zinazotambulishwa kwa nafasi zao \(\boldsymbol{X}\) wakati \(0\), mwendo huwakilishwa na ramani \(\phi\) inayohusisha nukta ya nyenzo \(\boldsymbol{X}\) na nafasi yake \(\boldsymbol{x}\) wakati \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Kwa kanuni inayochukua usanidi wa marejeo kuwa usanidi wa awali, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Aina mbili za maelezo hutofautishwa kulingana na uchaguzi wa vigezo huru.

Maelezo ya nyenzo (maelezo ya Lagrange): kiasi cha kifizikia huwakilishwa kama funksi ya \((\boldsymbol{X}, t)\). Hili ni chaguo la kawaida katika mekanika ya yabisi kwa sababu usanidi wa marejeo hutolewa kama umbo lisilobadilika.
Maelezo ya nafasi (maelezo ya Euler): kiasi cha kifizikia huwakilishwa kama funksi ya \((\boldsymbol{x}, t)\). Hili ndilo chaguo la kawaida katika mekanika ya vimiminika.

Uchanganuzi wa miundo wa FrontISTR kimsingi hutumia maelezo ya nyenzo. Hata hivyo, mbinu ya Updated Lagrange pia hutumia kiasi kinachoelezwa katika nafasi kwa sababu usanidi wa sasa hutumiwa kama usanidi mpya wa marejeo.

Uhamisho, kasi, na mchapuko¶

Kama ilivyoelezwa katika sehemu iliyotangulia, uhamisho \(\boldsymbol{u}\) hufafanuliwa kwa \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Hakuna dhana inayowekwa kuhusu ukubwa wake, kwa hiyo ufafanuzi huu pia unahusisha mgeuko finiti. Vekta ya kasi na vekta ya mchapuko hufafanuliwa kama derivativi za muda za nyenzo za \(\boldsymbol{u}\) huku nukta ya nyenzo ikiwa imewekwa:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Hufafanuliwa hivyo.

Gradieni ya mgeuko na tensa za mgeuko¶

Tensa ya gradieni ya mgeuko¶

Kiasi cha msingi katika mekanika ya kontinuamu yenye mgeuko finiti ni tensa ya gradieni ya mgeuko \(\boldsymbol{F}\). Ni ramani ya mstari inayogeuza kipande kidogo cha mstari \(d\boldsymbol{X}\) katika usanidi wa marejeo kuwa kipande kidogo cha mstari \(d\boldsymbol{x}\) katika usanidi wa sasa. Hufafanuliwa kama gradieni ya ramani ya mwendo dhidi ya viwianishi vya nyenzo:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

ambapo \(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\). Katika hali isiyogeuka, \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) hutumiwa sana katika ufafanuzi wa mnyumbuko na mkazo na katika ugeuzaji wa kiasi cha kifizikia kati ya misanidi.

Uwiano wa mabadiliko ya ujazo¶

Uwiano wa ujazo mdogo \(dv\) katika usanidi wa sasa kwa ujazo mdogo \(dV\) katika usanidi wa marejeo huitwa uwiano wa mabadiliko ya ujazo \(J\) na hutolewa kwa

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Kwa kuwa mgeuko wa kontinuamu unachukuliwa kuwa geuzikivu, hudhaniwa kuwa \(J > 0\). Sheria ya uhifadhi wa masi huandikwa \(\rho_0 = J\rho\).

Tensa za mgeuko za Cauchy-Green za kulia na kushoto¶

Kwa kuwa gradieni ya mgeuko \(\boldsymbol{F}\) inajumuisha mzunguko wa mwili mgumu, kipimo cha mgeuko wenyewe hutumia kiasi ambacho mzunguko huo umeondolewa. Tensa ya mgeuko ya Cauchy-Green ya kulia \(\boldsymbol{C}\) (katika usanidi wa marejeo) na tensa ya mgeuko ya Cauchy-Green ya kushoto \(\boldsymbol{b}\) (katika usanidi wa sasa) hufafanuliwa kwa

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Zote mbili ni tensa linganifu na zina thamani eigeni zilezile (miraba ya mitanuko mikuu). Invarianti kuu za funksi ya nishati ya mnyumbuko ya hiperelastisiti huonyeshwa kwa kutumia tensa hizi.

Tensa za mnyumbuko¶

Tensa ya mnyumbuko ya Green-Lagrange¶

Kama kipimo cha mnyumbuko kinachorejelewa kwenye usanidi wa marejeo, tensa ya mnyumbuko ya Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) hufafanuliwa kwa

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Ni tensa linganifu inayowakilisha mabadiliko ya zao la ndani la vekta ndogo katika usanidi wa marejeo. Haibadiliki chini ya mzunguko wa mwili mgumu, na katika hali isiyogeuka \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). Kwa kutumia \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\), hupatikana

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Hivyo, tensa hiyo ni jumla ya vipengele vya daraja la kwanza na la pili vya gradieni ya uhamisho; kipengele cha daraja la pili huwakilisha kutokuwa kwa mstari kwa kijiometri. Katika mbinu ya Total Lagrange hutumiwa katika jozi konjugati ya mkazo \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tensa ya mnyumbuko ya Almansi¶

Kama kipimo cha mnyumbuko kinachorejelewa kwenye usanidi wa sasa, tensa ya mnyumbuko ya Almansi \(\boldsymbol{e}\) hufafanuliwa kwa

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Inahusishwa na mnyumbuko wa Green-Lagrange kwa \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\), yaani kwa urejeshaji kwenye usanidi wa marejeo (pull-back).

Tensa ya mnyumbuko infinitesimali¶

Wakati gradieni ya uhamisho ni ndogo (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), kipengele cha daraja la pili cha mnyumbuko wa Green-Lagrange kinaweza kupuuzwa. Kwa kuwa tofauti kati ya misanidi hiyo pia hutoweka, mnyumbuko hupunguzwa hadi tensa ya mnyumbuko infinitesimali \(\boldsymbol{\varepsilon}\), ambayo gradieni yake huandikwa katika viwianishi vya nafasi:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR hutumia kipimo hiki cha mnyumbuko katika uchanganuzi tuli wa mstari, uchanganuzi wa modi, uchanganuzi wa mwitikio wa masafa, na uchanganuzi wa mienendo wa mstari. Katika uchanganuzi wa mgeuko finiti, mbinu ya Total Lagrange hutumia \(\boldsymbol{E}\), na mbinu ya Updated Lagrange hutumia tensa ya kasi ya mgeuko \(\boldsymbol{D}\) inayorejelewa kwenye usanidi wa sasa.