Skip to content

Mkazo na sheria za uhifadhi

Sura hii inaeleza ufafanuzi na uhusiano wa matensori ya mkazo, pamoja na milinganyo ya usawa na ulinganifu wa mkazo unaotokana na sheria za uhifadhi wa masi, momentamu ya mstari na momentamu ya mzunguko. Aina tatu za tensori ya mkazo—mkazo wa Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), mkazo wa kwanza wa Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\) na mkazo wa pili wa Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\)—huletwa kulingana na usanidi unaotumiwa kwa uso wa marejeo na vekta ya nguvu. Kwa ufafanuzi wa usanidi, mwendo na gradenti ya mgeuko, rejelea Mwendo, mgeuko na mnyumbuko; kwa orodha ya alama, rejelea Orodha ya alama za kiasi cha kifizikia.

Tensori ya mkazo wa Cauchy

Tuchukulie \(d\boldsymbol{f}\) kuwa nguvu inayotenda kwenye uso mdogo sana katika nukta \(\boldsymbol{x}\) ya usanidi wa sasa (eneo \(d\Gamma\), normali ya kitengo inayoelekea nje \(\boldsymbol{n}\)), na tufafanue vekta ya mkazo \(\boldsymbol{t}\) kuwa nguvu kwa kila kitengo cha eneo kwa \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) hutegemea nafasi \(\boldsymbol{x}\) na normali \(\boldsymbol{n}\). Kutumia sheria ya uhifadhi wa momentamu kwa tetrahedra ndogo sana huonyesha kuwa \(\boldsymbol{t}\) ni ya mstari kwa \(\boldsymbol{n}\), hivyo kuna tensori ya daraja la pili \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) ambayo

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

inatimizwa kwa \(\boldsymbol{n}\) yoyote (nadharia ya mkazo ya Cauchy). Tensori hii \(\boldsymbol{\sigma}\) huitwa tensori ya mkazo wa Cauchy, na pia mkazo halisi kwa maana ya nguvu kwa kila kitengo cha eneo kulingana na jiometri ya usanidi wa sasa. Kijenzi \(\sigma_{ij}\) huwakilisha kijenzi cha nguvu katika mwelekeo \(x_i\) kinachotenda kwa kila kitengo cha eneo kwenye uso mdogo sana ulio wima kwa mhimili wa kuratibu \(x_j\) katika usanidi wa sasa.

Kwa sheria ya uhifadhi wa momentamu ya mzunguko iliyoelezwa baadaye, mkazo wa Cauchy ni tensori linganifu

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

na katika vipimo vitatu una vijenzi 6 huru (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Uwakilishi wa mkazo kama vekta kwa nukuu ya Voigt unategemea ulinganifu huu (rejelea Nukuu ya tensori na misingi ya kihisabati). Mkazo wa Cauchy hutumiwa katika matokeo ya mkazo ya uchanganuzi wa kijiometri usio wa mstari wa FrontISTR kwa mbinu ya Updated Lagrange na katika uchanganuzi wa mgeuko mdogo.

Mkazo wa kwanza na wa pili wa Piola-Kirchhoff

Katika mgeuko mkubwa, mara nyingi ni rahisi kuonyesha mkazo kwa kutumia usanidi wa marejeo kwa uso na vekta za marejeo; kwa hiyo huletwa aina mbili za tensori ya mkazo wa Piola-Kirchhoff. Eneo la uso mdogo sana katika usanidi wa marejeo liwe \(d\Gamma_0\), na normali yake ya kitengo inayoelekea nje iwe \(\boldsymbol{N}\).

Mkazo wa kwanza wa Piola-Kirchhoff (mkazo wa kwanza wa PK, mkazo nominali) \(\boldsymbol{P}\) hufafanuliwa kama tensori ya mkazo wakati nguvu \(d\boldsymbol{f}\) ya usanidi wa sasa inachukuliwa kutenda kwenye uso mdogo sana wa usanidi wa marejeo:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Kutoka fomula ya Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) na nadharia ya mkazo ya Cauchy, uhusiano na mkazo wa Cauchy ni

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Mkazo wa kwanza wa PK kwa ujumla ni tensori isiyo linganifu.

Mkazo wa pili wa Piola-Kirchhoff (mkazo wa pili wa PK) \(\boldsymbol{S}\) hufafanuliwa kama tensori ya mkazo wakati nguvu \(d\boldsymbol{f}\) ya usanidi wa sasa inarudishwa kwenye usanidi wa marejeo kwa \(\boldsymbol{F}^{-1}\) na kisha kuchukuliwa kutenda kwenye uso mdogo sana wa usanidi wa marejeo:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Vekta ya nguvu na uso wa kutenda zote huonyeshwa kwa kiasi za usanidi wa marejeo; tensori hii haibadiliki chini ya mzunguko wa mwili mgumu na ni linganifu. Uhusiano na mkazo wa kwanza wa PK pamoja na fomula za ubadilishaji na mkazo wa Cauchy ni

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Mkazo wa pili wa PK hutolewa kutoka fungsi ya nishati ya mnyumbuko wa hiperelastisiti \(W(\boldsymbol{C})\) kama \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\), na katika mbinu ya Total Lagrange hutumiwa pamoja na mnyumbuko wa Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) kama jozi inayounganishwa ki-kazi ya mkazo na mnyumbuko \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Usanidi wa marejeo na ulinganifu vimefupishwa katika jedwali lifuatalo. Katika kikomo cha mgeuko mdogo (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), aina zote 3 za mkazo hulingana.

Tensori ya mkazo Uso wa marejeo Vekta ya nguvu Ulinganifu Matumizi
Mkazo wa Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) Usanidi wa sasa \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) Usanidi wa sasa \(d\boldsymbol{f}\) Linganifu Mbinu ya Updated Lagrange / uchanganuzi wa mgeuko mdogo
Mkazo wa kwanza wa PK \(\boldsymbol{P}\) Usanidi wa marejeo \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) Usanidi wa sasa \(d\boldsymbol{f}\) Kwa ujumla si linganifu Mlinganyo wa usawa katika usanidi wa marejeo
Mkazo wa pili wa PK \(\boldsymbol{S}\) Usanidi wa marejeo \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) Usanidi wa marejeo \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) Linganifu Mbinu ya Total Lagrange / hiperelastisiti

Uhifadhi wa masi na momentamu na mlinganyo wa usawa

Tukiweka msongamano wa masi wa usanidi wa sasa kuwa \(\rho\) na wa usanidi wa marejeo kuwa \(\rho_0\), sheria ya uhifadhi wa masi \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) hupunguzwa kwa ubadilishaji wa kipengele cha ujazo \(dv = J\, dV\) kuwa umbo la ndani

\[ \rho_0 = J \rho \]

Huu ndio uhusiano wa ndani wa uhifadhi wa masi.

Tukiweka nguvu ya mwili (kwa kila kitengo cha masi) kuwa \(\boldsymbol{g}\) na uharakishaji kuwa \(\boldsymbol{a}\), na kutumia nadharia ya mkazo ya Cauchy pamoja na nadharia ya divergensi ya Gauss kwenye uhifadhi wa momentamu (sheria ya kwanza ya mwendo ya Euler), tunapata mlinganyo wa usawa (mlinganyo wa mwendo) wa ndani katika usanidi wa sasa:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Kwa kuandika upya integrali katika usanidi wa marejeo kwa fomula ya Nanson na \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\), umbo la ndani katika usanidi wa marejeo ni

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Miundo hii miwili ni sawia kutokana na sheria ya ubadilishaji wa mkazo na \(\rho_0 = J\rho\). Tukipuuza neno la inersia,

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

hii ni milinganyo ya usawa tuli na ndiyo milinganyo ya kuanzia ya uchanganuzi tuli wa FrontISTR (wa mstari na usio wa mstari).

Uhifadhi wa momentamu ya mzunguko na ulinganifu wa mkazo

Kwa kuchanganya uhifadhi wa momentamu ya mzunguko (sheria ya pili ya mwendo ya Euler) na mlinganyo wa usawa kutoka uhifadhi wa momentamu, tunapata ulinganifu wa tensori ya mkazo wa Cauchy:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

na katika vipimo vitatu ina vijenzi 6 huru. Kutoka kugeuza pande zote mbili za fomula ya ubadilishaji \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) pamoja na kutokusingulari kwa \(\boldsymbol{F}\), mkazo wa pili wa PK pia ni linganifu:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

na hivyo una vijenzi 6 huru. Kwa upande mwingine, mkazo wa kwanza wa PK \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) kwa ujumla si linganifu; uhusiano pekee unaotimizwa ni \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (yaani \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) ni linganifu), na una vijenzi 9 huru.

Ulinganifu huu ndio msingi wa kuonyesha mkazo kama vekta ya vijenzi 6 kwa nukuu ya Voigt. Kwa kanuni za nukuu ya Voigt na uundaji wa matriki ya nyenzo, rejelea Nukuu ya tensori na misingi ya kihisabati na Unyumbufu wa mstari.

Mada zinazohusiana