Skip to content

Kanuni ya kazi pepe

Kwa kuzingatia mlinganyo wa usawa na masharti ya mpaka yaliyotolewa katika Mkazo na sheria za uhifadhi, tunatoa kanuni ya kazi pepe, ambayo ni umbo dhaifu la tatizo la thamani za mpakani katika mekanika ya kontinuamu. Udiskretishaji wa elementi finiti huanzia kwenye umbo dhaifu hili. Sura hii inaonyesha umbo katika usanidi wa sasa (kwa mkazo wa Cauchy na sehemu ya mstari ya mnyumbuko wa Almansi) na umbo katika usanidi wa marejeo (kwa mkazo wa pili wa Piola-Kirchhoff na mnyumbuko wa Green-Lagrange), inaonyesha ulinganifu wake, kisha inathibitisha kupunguzwa kwake hadi mgeuko mdogo.

Mlinganyo wa usawa na masharti ya mpaka

Tuchukulie nguvu ya mwili kwa kila kitengo cha masi inayotenda kwenye kontinuamu kuwa \(\boldsymbol{g}\), na tuzingatie mwili unaochukua kikoa \(\Omega\) katika usanidi wa sasa. Mpaka \(\Gamma\) hugawanywa kuwa mpaka wa kijiometri \(\Gamma_B\), ambako uhamisho \(\bar{\boldsymbol{u}}\) umewekwa, na mpaka wa kimitambo \(\Gamma_t\), ambako traksioni \(\bar{\boldsymbol{t}}\) imewekwa; huku \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) na \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Kwa tatizo tuli, mlinganyo wa usawa hupatikana kwa kuondoa sehemu ya inersia kutoka sheria ya uhifadhi wa momentamu iliyoonyeshwa katika Mkazo na sheria za uhifadhi:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{katika} \ \Omega \]

Masharti ya mpaka ni

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{kwenye} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{kwenye} \ \Gamma_B \]

Kuanzia hapa, kanuni ya kazi pepe hutolewa kama umbo dhaifu la mlinganyo wa usawa na sharti la mpaka wa kimitambo \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Sharti la mpaka wa kijiometri \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) huingizwa kupitia uchaguzi wa funksi ya majaribio.

Umbo dhaifu katika usanidi wa sasa

Katika umbo dhaifu, nafasi inayokubalika ya uhamisho usiojulikana na nafasi ya funksi za majaribio hufafanuliwa mtawalia kama

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{kwenye} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{kwenye} \ \Gamma_B \} \]

Hapa \(d\) ni dimensheni ya nafasi, \(H^1(\Omega)\) ni nafasi ya Sobolev ya funksi ambazo zenyewe na derivativi zao dhaifu za kwanza zina mraba unaoweza kuintegreshwa, na \(\delta\) ni alama ya variasheni. Katika uwakilishi wa usanidi wa sasa, \(\Omega\) ni usanidi uliogeuka; katika utatuzi halisi wa nambari, hurudishwa kwenye usanidi wa marejeo au usanidi wa kati unaojulikana.

Tukizidisha mlinganyo wa usawa kwa funksi ya uzani \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) na kutumia nadharia ya divergensi ya Gauss pamoja na sharti la mpaka wa kimitambo, tunapata kanuni ifuatayo ya kazi pepe katika usanidi wa sasa.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Hapa \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ni sehemu ya mstari ya tensor ya mnyumbuko wa Almansi, inayofafanuliwa kwa

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Variasheni yake ni \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Hivyo tunatafuta \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) inayotimiza mlinganyo wa kazi pepe kwa kila \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Upande wa kushoto ni kazi pepe ya nguvu za ndani, na upande wa kulia ni kazi pepe ya nguvu za nje kutokana na traksioni iliyowekwa na nguvu ya mwili.

Kwa kuwa mlinganyo huu umeandikwa kwenye kikoa kilichogeuka (usanidi wa sasa), katika utaratibu halisi wa utatuzi usanidi wa awali \(\Omega_0\) (usanidi wa marejeo) au usanidi wa kati unaojulikana huchaguliwa upya kama usanidi wa marejeo, mlinganyo huandikwa katika umbo la nyongeza, kisha hutatuliwa. Kwa uchaguzi maalum wa usanidi wa marejeo (Total Lagrange / Updated Lagrange) na utenganishaji wa nyongeza, rejelea Mfumo wa uchanganuzi wa nyongeza.

Umbo dhaifu katika usanidi wa awali

Tuchukulie mwili unaochukua kikoa \(\Omega_0\) katika usanidi wa marejeo, huku mpaka wake \(\Gamma_0\) ukigawanywa kuwa \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Uwakilishi wa usanidi wa sasa ukirudishwa kwenye usanidi wa marejeo, jozi konjugati ya mkazo na mnyumbuko huwa mkazo wa pili wa Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) na mnyumbuko wa Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). Kanuni ya kazi pepe katika usanidi wa awali huwa

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Hapa \(\rho_0\) ni msongamano wa masi katika usanidi wa marejeo, na kwa uhusiano wa uhifadhi wa masi \(\rho_0 = J\rho\), hii ni sawa na uwakilishi wa nguvu ya mwili katika usanidi wa sasa.

Ulinganifu wa uwakilishi katika usanidi wa sasa na wa awali

Kazi pepe ya nguvu za ndani katika uwakilishi wote miwili hulingana kupitia ubadilishaji kwa gradienti ya mgeuko \(\boldsymbol{F}\) na uwiano wa ujazo \(J = \det \boldsymbol{F}\); yaani,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Vifungu vya nguvu za nje pia ni sawa kwa uhifadhi wa masi na ubadilishaji wa traksioni. Kwa hiyo, mlinganyo wa kazi pepe katika usanidi wa sasa na ule katika usanidi wa awali huonyesha kanuni ileile katika usanidi tofauti. Mbinu ya utatuzi inayotumia usanidi wa marejeo inalingana na mbinu ya Total Lagrange, ilhali mbinu inayotumia usanidi wa sasa (usanidi uliokonverji mara moja kabla) inalingana na mbinu ya Updated Lagrange.

Kupunguzwa hadi mgeuko mdogo

Chini ya dhana za mgeuko mdogo \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) na \(J \approx 1\), tofauti kati ya usanidi wa sasa na wa marejeo hutoweka, mkazo wa pili wa PK hulingana na mkazo wa Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), na mnyumbuko wa Green-Lagrange pamoja na sehemu ya mstari ya mnyumbuko wa Almansi zote hupunguzwa kuwa mnyumbuko mdogo \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Kisha kanuni ya kazi pepe hupunguzwa kuwa umbo dhaifu linaloonyeshwa kwa mkazo wa Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) na mnyumbuko mdogo \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{kwenye} \ \Gamma_B \]

Hili ndilo umbo dhaifu linalotumiwa moja kwa moja kwa udiskretishaji katika uchanganuzi tuli wa unyumbufu mstari kwa mgeuko mdogo (Uchanganuzi tuli wa unyumbufu mstari (utangulizi na kiambatisho) huanzia kwenye umbo hili na kuonyesha uundaji wa ugumu wa elementi \(\boldsymbol{K}^e\) kupitia ukusanyaji wa mlinganyo wa jumla \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Tukibadilisha sheria ya konstitutivu ya unyumbufu mstari \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) na kuandika \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) kwa nukuu ya Voigt, umbo dhaifu huwa

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

katika umbo hilo.

Mada zinazohusiana