Skip to content

Mfumo wa uchanganuzi wa nyongeza

Umuhimu wa uchanganuzi wa nyongeza

Kama ilivyoelezwa hapo awali, katika uchanganuzi wa tatizo la mgeuko mdogo, uchanganuzi wa elementi finiti unaweza kufanywa kwa kutumia kanuni ya kazi pepe, ambayo ni sawia na milinganyo ya msingi kama mlinganyo wa usawa, na kuudiskretisha kwa elementi finiti. Kanuni hiyo hiyo ya kazi pepe pia hutumiwa kimsingi katika uchanganuzi wa tatizo la mgeuko finiti linalohusisha mgeuko mkubwa wa muundo.

Hata hivyo, katika tatizo la mgeuko finiti, hata kama nyenzo inachukuliwa kuwa ya mstari, mlinganyo wa kanuni ya kazi pepe huwa usio wa mstari kuhusiana na uhamisho. Ili kutatua mlinganyo usio wa mstari, kwa kawaida hesabu hurudiwa kwa kutumia mbinu ya iteresheni.

Katika hesabu hizo za kurudia, hutumiwa uchanganuzi wa nyongeza: hesabu hufanywa hatua kwa hatua kwa kila nyongeza ndogo ya mzigo, na nyongeza hizo hukusanywa hadi hali ya mwisho ya mgeuko ifikiwe. Katika dhana ya mgeuko mdogo, usanidi unaotumiwa kufafanua mnyumbuko na mkazo hautofautishwi hasa kabla na baada ya mgeuko. Yaani, chini ya dhana ya mgeuko mdogo, haijalishi kama milinganyo ya msingi inaelezwa katika usanidi wa kabla au baada ya mgeuko.

Wakati uchanganuzi wa nyongeza unafanywa kwa tatizo la mgeuko finiti, uundaji hutofautiana kulingana na iwapo usanidi wa awali au usanidi wa mwanzoni mwa nyongeza unachaguliwa kuwa usanidi wa marejeo. Mbinu ya kwanza huitwa Total Lagrange, na ya pili huitwa Updated Lagrange. Kwa maelezo zaidi, rejelea marejeo mwishoni mwa sura na nyenzo zinazohusiana.

Mlinganyo wa kuanzia: kanuni ya kazi pepe wakati wa \(t'\)

Tuchukulie uchanganuzi wa nyongeza ambapo hali hadi wakati \(t\) inajulikana na hali wakati wa \(t' = t + \Delta t\) haijulikani (rejelea Mchoro 2.2.1). Milinganyo ya usawa, masharti ya mpaka, na kanuni ya kazi pepe wakati wa \(t'\)—zilizoelezwa katika usanidi wa sasa kwa kutumia mkazo wa Cauchy \(^{t'}\sigma\) na sehemu ya mstari ya mnyumbuko wa Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)—zimetolewa katika Kanuni ya kazi pepe.

Dhana ya uchanganuzi wa nyongeza

Mchoro 2.2.1　Dhana ya uchanganuzi wa nyongeza

Hata hivyo, kwa kuwa mlinganyo huu wa kuanzia umeelezwa katika usanidi usiojulikana wa wakati \(t'\), utaratibu halisi wa utatuzi huchagua upya usanidi wa awali \(V\) wa wakati \(0\) au usanidi wa sasa \(^{t'} v\) wa wakati \(t\) kuwa usanidi wa marejeo, kisha huandika mlinganyo katika umbo la nyongeza kabla ya kuutatua:

  • Mbinu ya Total Lagrange — Hutumia usanidi wa awali \(V\) kama marejeo. Hutumia mkazo wa pili wa PK \(\boldsymbol{S}\) na mnyumbuko wa Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\).
  • Mbinu ya Updated Lagrange — Hutumia usanidi wa sasa \(^{t}v\) wa mwanzoni mwa nyongeza kama marejeo. Hutumia mkazo wa Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) na sehemu ya mstari ya mnyumbuko wa Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Kwa udiskretishaji wa nafasi wa miundo yote miwili (matriki B na vekta ya nguvu ya ndani), rejelea Udiskretishaji wa kazi pepe ya nguvu ya ndani; kwa uwekaji mstari na uundaji wa ugumu wa tanjenti, rejelea Matriki ya ugumu wa tanjenti.

Mada zinazohusiana