Uandishi wa tensa na misingi ya hisabati¶

Sura hii inakusanya kanuni za uandishi wa tensa, uandishi wa indeksi, na uandishi wa Voigt zinazotumiwa katika sura zinazofuata za Mwongozo wa Nadharia wa FrontISTR. Hapa zinaelezwa tu kanuni halisi za uandishi ambazo hazitegemei ufafanuzi wa kiasi cha kifizikia. Kanuni za alama zinazotegemea usanidi unaohusishwa na mwendo wa kontinuamu—kama matumizi ya herufi kubwa na ndogo na tofauti kati ya derivativi za nyenzo na za nafasi—zimeelezwa katika Mwendo, mgeuko, na mnyumbuko, ambako dhana ya usanidi inaanzishwa.

Uandishi wa tensa¶

Uandishi wa vekta na tensa kwa herufi nzito¶

Kama kanuni ya uandishi, kiasi skala na vijenzi vya vekta na tensa huandikwa kwa herufi za kawaida (kama \(\rho\) na \(x_i\)), huku vekta na tensa zenyewe zikiandikwa kwa herufi nzito (kama \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), na \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Kanuni ya ujumlishaji ya Einstein¶

Isipobainishwa vinginevyo, kanuni ya ujumlishaji ya Einstein hutumiwa: indeksi ileile inapotokea mara mbili katika kipashio kimoja, ujumlishaji hufanywa juu ya indeksi hiyo. Kwa mfano,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

na kijenzi cha \(i,j\) cha zao \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) la tensa \(\boldsymbol{A}\) na \(\boldsymbol{B}\) ni

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Kwa kanuni ya indeksi, \(i, j, k, l, \ldots\) zinapotumiwa bila ufafanuzi mwingine, humaanisha indeksi zinazohusishwa na madaraja ya uhuru (\(1, 2, 3\) katika vipimo vitatu). Herufi ndogo za Kigiriki \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) zinapotumiwa kama indeksi humaanisha indeksi zinazohusishwa na nodi zinazounda elementi.

Zao la ndani, transpozi, na zao la tensa¶

Transpozi ya tensa \(\boldsymbol{A}\) huandikwa \(\boldsymbol{A}^T\). Zao la ndani (ukunjaji maradufu) la tensa za daraja la pili \(\boldsymbol{A}\) na \(\boldsymbol{B}\) huandikwa

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Zao la ndani la vekta \(\boldsymbol{a}\) na \(\boldsymbol{b}\) ni \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), na zao la tensa ni \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Uandishi wa Voigt¶

Mkazo na mnyumbuko ni tensa linganifu za daraja la pili zinazohusishwa na madaraja ya uhuru, na mgawo unaoeleza uhusiano wa mstari kati yao ni tensa ya daraja la nne. Kuzishughulikia moja kwa moja katika programu kuna hasara kwa upande wa gharama ya hesabu na utekelezaji (safu za vipimo vingi na vitanzi vingi vilivyopachikwa). Kwa hiyo, programu za kawaida za mbinu ya elementi finiti hutumia ulinganifu na kuzibana: mkazo na mnyumbuko huwakilishwa kwa vekta safu-wima, na tensa ya unyumbufu ya daraja la nne huwakilishwa kwa matriki ya vipimo viwili. Huu huitwa uandishi wa Voigt.

Kuanzia hapa, uwakilishi wa matriki au vekta wa tensa \(\boldsymbol{A}\) huandikwa \(\hat{A}\) ili kuutofautisha na tensa ya awali.

Uwakilishi wa vekta wa mkazo na mnyumbuko¶

Kwa tensa linganifu ya mkazo \(\boldsymbol{\sigma}\) na tensa ya mnyumbuko \(\boldsymbol{\varepsilon}\), katika vipimo viwili tuna

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

na katika vipimo vitatu tuna

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

ambazo hushughulikiwa kama vekta safu-wima. Kanuni hiyo hiyo hutumiwa kwa kiasi kinachotokana, kama varisheni na derivativi. Kumbuka kuwa vijenzi vya ukataji upande wa mnyumbuko vina mgawo 2 (upande wa mkazo havina). Kutokana na kutolingana huku, zao la ndani la tensa linaweza kuandikwa kwa ufupi kama zao la ndani la vekta:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Katika utekelezaji ni rahisi kukosea mgawo 2 wa mnyumbuko wa ukataji, kwa hiyo kanuni ya “haupo kwa mkazo/upo kwa mnyumbuko” lazima izingatiwe kila wakati. Kanuni hiyo hiyo ya Voigt hutumiwa kwa kiasi cha usanidi wa marejeo: mkazo wa pili wa Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) na mnyumbuko wa Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\).

Uwakilishi wa matriki wa tensa ya daraja la nne¶

Kwa uhusiano wa mstari kati ya mkazo na mnyumbuko \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (katika vijenzi, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), ulinganifu wa \(\boldsymbol{\varepsilon}\) huruhusu uhusiano huo kuandikwa upya kama

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Katika vipimo vitatu, \(\tilde{C}\) ikipangwa kuwa matriki ya nyenzo ya 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\), uhusiano wa awali wa tensa huwa

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Kuanzia hapa katika mwongozo huu, isipobainishwa vinginevyo, matriki ya nyenzo huandikwa \(D\) (au \(\hat{C}\)). Kwa vijenzi mahususi vya unyumbufu isotropiki wa mstari, rejelea Unyumbufu wa mstari.

Kanuni za opereta za derivativi¶

Opereta ya gradieni linganifu¶

Kwa uga wa vekta \(\boldsymbol{u}\), opereta ya gradieni linganifu \(\nabla_S\) hufafanuliwa kwa

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Katika vijenzi, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Mnyumbuko wa mgeuko mdogo \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) unaweza kuandikwa kwa ufupi kwa opereta hii. Tofauti kati ya misanidi (wa marejeo/wa sasa) ambayo gradieni huchukuliwa dhidi yake katika mgeuko finiti imeelezwa katika Mwendo, mgeuko, na mnyumbuko.

Derivativi ya muda ya nyenzo¶

Derivativi ya muda ya nyenzo ya kiasi \(A\) (derivativi ya muda inayofuata nukta ileile ya nyenzo) huandikwa kwa nukta ya juu, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Kasi na mchapuko hufuata kanuni hii.

Mada zinazohusiana¶

Mwendo, mgeuko, na mnyumbuko — Dhana za usanidi wa marejeo/wa sasa na kanuni za alama zinazotegemea usanidi (herufi kubwa/herufi ndogo, derivativi za nyenzo/za nafasi)
Mkazo na sheria za uhifadhi — Utoaji wa milinganyo tawala kwa kutumia uandishi huu
Kanuni ya kazi pepe — Matumizi ya umbo dhaifu na uandishi wa Voigt
Unyumbufu wa mstari — Umbo mahususi la matriki ya nyenzo \(D\)
Funksi za umbo na ukadiriaji wa elementi finiti — Hesabu ya ugumu wa elementi kwa kutumia uandishi wa Voigt