Orodha ya alama za kiasi cha kifizikia
Ukurasa huu unaorodhesha alama za kiasi cha kifizikia zinazotumiwa katika mwongozo wa nadharia wa FrontISTR. Kwa kanuni za uandishi (herufi nzito kwa vekta na tensa, kanuni ya ujumlishaji ya Einstein, na uandishi wa Voigt), rejelea Uandishi wa tensa na misingi ya hisabati.
Usanidi na mfumo wa viwianishi
| Alama | Maelezo |
| \(\boldsymbol{X}\) | Vekta ya nafasi ya nukta ya nyenzo katika usanidi wa marejeo (usanidi wa awali), yaani kiwianishi cha nyenzo |
| \(\boldsymbol{x}\) | Vekta ya nafasi ya nukta ya nyenzo katika usanidi wa sasa, yaani kiwianishi cha nafasi |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Ramani ya mwendo: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Eneo linalokaliwa na mwili katika usanidi wa marejeo |
| \(\Omega\) | Eneo linalokaliwa na mwili katika usanidi wa sasa |
| \(\Gamma_0\) | Mpaka wa \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Mpaka wa \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Mpaka wa kijiometri (uhamisho): mipaka katika usanidi wa sasa na marejeo ambako \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) imewekwa |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mpaka wa kimitambo: mipaka katika usanidi wa sasa na marejeo ambako \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (au \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) imewekwa |
| \(\boldsymbol{n}\) | Vekta ya kawaida ya kitengo inayoelekea nje ya uso katika usanidi wa sasa |
| \(\boldsymbol{N}\) | Vekta ya kawaida ya kitengo inayoelekea nje ya uso katika usanidi wa marejeo |
| \(t\) | Wakati |
Kanuni: Kiasi kinachohusishwa na usanidi wa marejeo hupewa herufi kubwa au kiambishi cha chini \(0\), na kiasi kinachohusishwa na usanidi wa sasa hupewa herufi ndogo.
Wakati na nyongeza (uchanganuzi wa nyongeza)
| Alama | Maelezo |
| \(\Delta t\) | Nyongeza ya wakati: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Kiasi cha kifizikia wakati \(t\) (kiambishi cha juu kinachotangulia). Mfano: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) ni mkazo wa Cauchy wakati \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Eneo la usanidi wa sasa wakati \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Mpaka wa usanidi wa sasa wakati \(t\) |
Kanuni: Katika uchanganuzi wa nyongeza, hali hadi wakati \(t\) huchukuliwa kuwa inajulikana na hali ya wakati \(t + \Delta t\) hutafutwa kama isiyojulikana. Ikiwa hakuna haja ya kuonyesha wakati wazi, kiambishi cha juu kinachotangulia huachwa. Uundaji unaochagua usanidi wa marejeo \(\Omega_0\) kama usanidi wa marejeo huitwa mbinu ya Total Lagrange, na unaochagua usanidi wa sasa \(^{t}\Omega\) mwanzoni mwa nyongeza huitwa mbinu ya Updated Lagrange.
Uhamisho, kasi, mchapuko, na nguvu ya mwili
| Alama | Maelezo |
| \(\boldsymbol{u}\) | Vekta ya uhamisho: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Uhamisho uliowekwa kwenye mpaka wa kijiometri \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Uhamisho pepe (funksi ya majaribio): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) kwenye \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Vekta ya kasi: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Vekta ya mchapuko: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Nguvu ya mwili (kwa kila kitengo cha masi) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Vekta ya nguvu ya uso (kwa kila kitengo cha eneo): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Nguvu ya uso iliyowekwa kwenye mpaka wa kimitambo \(\Gamma_t\) (thamani ya Neumann) |
Opereta za derivativi
| Alama | Maelezo |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Derivativi ya muda ya nyenzo (derivativi ya muda inayofuata nukta ileile ya nyenzo): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradieni ya usanidi wa marejeo (dhidi ya kiwianishi cha nyenzo \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradieni ya usanidi wa sasa (dhidi ya kiwianishi cha nafasi \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Opereta ya gradieni linganifu: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Dokezo: \(\nabla_X\) na \(\nabla_x\) zinahusishwa kwa \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). \(\nabla\) isiyo na indeksi hutumika wakati usanidi unaweza kutambuliwa kutokana na muktadha au wakati tofauti hiyo inapotea, kama katika mgeuko mdogo.
Tensa za mgeuko
| Alama | Maelezo |
| \(\boldsymbol{F}\) | Tensa ya gradieni ya mgeuko: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Uwiano wa mabadiliko ya ujazo: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Tensa ya mgeuko ya Cauchy-Green ya kulia: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Tensa ya mgeuko ya Cauchy-Green ya kushoto: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Tensa ya gradieni ya kasi: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Tensa ya kasi ya mgeuko (sehemu linganifu ya \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Tensa ya mzunguko (sehemu isiyolingana ya \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Tensa za mnyumbuko
| Alama | Maelezo |
| \(\boldsymbol{E}\) | Tensa ya mnyumbuko wa Green-Lagrange (usanidi wa marejeo): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Tensa ya mnyumbuko wa Almansi (usanidi wa sasa): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Sehemu ya mstari ya tensa ya mnyumbuko wa Almansi (gradieni linganifu ya uhamisho katika usanidi wa sasa): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Tensa ya mnyumbuko infinitesimali (ukadiriaji wa mstari): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Dokezo: \(\boldsymbol{E}\) hutumiwa hasa katika mbinu ya Total Lagrange, na \(\boldsymbol{D}\) hasa katika mbinu ya Updated Lagrange.
Tensa za mkazo
| Alama | Maelezo |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Tensa ya mkazo wa Cauchy (mkazo halisi, usanidi wa sasa): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Tensa ya kwanza ya mkazo wa Piola-Kirchhoff (mkazo nomineli): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Tensa ya pili ya mkazo wa Piola-Kirchhoff (usanidi wa marejeo, linganifu): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Uhusiano wa ubadilishaji kati ya tensa za mkazo:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Kanuni: Mbinu ya Total Lagrange hutumia jozi \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), na mbinu ya Updated Lagrange hutumia jozi \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Msongamano na masi
| Alama | Maelezo |
| \(\rho\) | Msongamano wa masi katika usanidi wa sasa |
| \(\rho_0\) | Msongamano wa masi katika usanidi wa marejeo |
Sheria ya uhifadhi wa masi: \(\rho_0 = J\rho\).
Konstanti za nyenzo (unyumbufu wa mstari)
| Alama | Maelezo |
| \(E\) | Moduli ya Young (moduli ya unyumbufu wa urefu) |
| \(\nu\) | Uwiano wa Poisson |
| \(\lambda\) | Konstanti ya kwanza ya Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Konstanti ya pili ya Lamé (moduli ya ugumu, moduli ya ukataji): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Tensa ya unyumbufu (daraja la nne): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), vijenzi \(C_{ijkl}\) |
| \(D\)（au \(\hat{\tilde{C}}\)） | Matriki ya nyenzo (uandishi wa Voigt, \(6\times6\) katika pande tatu): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Vijenzi vya tensa ya unyumbufu ya nyenzo isotropiki ya unyumbufu wa mstari:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Nyenzo hiperelastiki
| Alama | Maelezo |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Funksi ya potensheli ya unyumbufu (funksi ya msongamano wa nishati ya mnyumbuko) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Invarianti kuu za tensa ya Cauchy-Green ya kulia \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Invarianti zilizopunguzwa za \(\boldsymbol{C}\) (sehemu ya mabadiliko ya ujazo imetenganishwa) |
| \(C_1, C_2\) | Konstanti za nyenzo za modeli ya Mooney-Rivlin |
| \(D\) | Konstanti ya nyenzo inayohusiana na unyumbufu wa ujazo |
Nyenzo elastoplastiki
| Alama | Maelezo |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Kijenzi elastiki cha tensa ya kasi ya mgeuko |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Kijenzi plastiki cha tensa ya kasi ya mgeuko |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Funksi ya kutiririka |
| \(\kappa\) | Kigezo cha ndani kinachowakilisha hali ya plastiki (kigezo cha uimarishaji isotropiki) |
| \(\lambda^p\) | Kizidishi cha plastiki (kizidishi cha kasi ya mnyumbuko plastiki): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Potensheli ya plastiki (katika sheria ya mtiririko inayohusiana \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | Mkazo sawia (kama mkazo wa von Mises) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | mnyumbuko wa plastiki sawia |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Funksi ya uimarishaji isotropiki |
Sharti la ukamilishano: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Mbinu ya elementi finiti
| Alama | Maelezo |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Maeneo ya usanidi wa sasa na marejeo yaliyokadiriwa kwa mgawanyo wa elementi finiti: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Maeneo ya elementi katika usanidi wa sasa na marejeo |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Sehemu ya mpaka wa elementi inayohusishwa na mpaka wa kimitambo |
| \(\boldsymbol{r}\) | Viwianishi asilia (kiwianishi cha ndani cha elementi) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Nukta katika viwianishi asilia inayolingana na nodi \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Funksi ya umbo inayolingana na nodi \(\alpha\) ya elementi \(e\) |
| \(n_e\) | Idadi ya nodi zinazounda elementi |
| \(n_g\) | Jumla ya idadi ya nodi |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Viwianishi na uhamisho wa nodi \(\alpha\) ya elementi |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Vekta za viwianishi na uhamisho wa nodi za elementi: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), n.k. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Vekta za viwianishi na uhamisho wa nodi za jumla (zimepangwa kwa nambari ya nodi, kisha daraja la uhuru) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Matriki ya uhusiano wa mnyumbuko–uhamisho (matriki B) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Matriki ya funksi za umbo: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) ni bloku ya \(d \times d\) yenye funksi ya umbo \(N_\alpha^e\) ya nodi \(\alpha\) kwenye dayagonali, na \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Matriki ya ugumu wa elementi |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Vipashio vya ujumuishaji vya matriki ya ugumu wa elementi (zilizoandikwa katika usanidi wa marejeo na wa sasa): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\)（mbinu ya TL），\(\boldsymbol{q}^e\)（mbinu ya UL） | Vekta ya nguvu ya ndani ya elementi |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Nguvu ya nje ya nodi inayotenda kwenye nodi \(\alpha\) ya elementi, na vekta ya nguvu za nje za nodi za elementi: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Vekta za jumla za nguvu za ndani na za nje: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); vivyo hivyo kwa \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Nguvu za ndani na za nje za nodi kwenye nodi ya jumla \(i_g\) (bloku za nodi za \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Matriki ya ugumu wa tanjenti ya jumla: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matriki inayopanga bloku ya \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) kwenye safu \(i_g\), nguzo \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Vekta ya masalio katika urudiaji wa Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Marekebisho katika urudiaji wa Newton-Raphson (hupatikana kwa kutatua mlinganyo wa mstari \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) katika urudiaji wa \(i\)) |
| \(i_g\) | Nambari ya nodi ya jumla (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Nambari ya nodi ya jumla inayolingana na nambari ya nodi ya ndani \(\alpha\) ya elementi \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Seti ya jozi \((e, \alpha)\) zinazolingana na nambari ya nodi ya jumla \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Hutumiwa katika shughuli za ukusanyaji |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Seti ya utatu \((e, \alpha, \beta)\) zinazolingana na jozi ya nambari za nodi za jumla \((i_g, i_h)\); hutumiwa katika ukusanyaji wa matriki ya ugumu |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indeksi za nodi zinazounda elementi |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indeksi za madaraja ya uhuru (\(1, 2, 3\) katika 3D) |
Elementi za hali ya juu na elementi za muundo
| Alama | Maelezo |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Matriki ya uhusiano wa mnyumbuko–uhamisho yenye sehemu ya ujazo iliyorekebishwa kwa mbinu ya B-bar (kijenzi cha ujazo hubadilishwa na matriki B iliyotathminiwa katikati ya elementi) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Gradieni ya mgeuko yenye sehemu ya ujazo iliyorekebishwa kwa mbinu ya F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Uwiano wa mabadiliko ya ujazo wa gradieni ya mgeuko iliyotathminiwa katikati ya elementi \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Vekta ya daraja la uhuru la ndani ya elementi ya modi isiyopatana (migawo ya modi za ziada za uhamisho ambazo hazihakikishi mwendelezo kwenye mpaka wa elementi) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Funksi za umbo za modi zisizopatana: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Unene wa elementi ya ganda |
| \(A\) | Eneo la sehemu ya msalaba ya elementi ya boriti |
| \(I\) | Momenti ya pili ya eneo la sehemu ya msalaba ya elementi ya boriti |
| \(G\) | Moduli ya ukataji: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Mada zinazohusiana