Skip to content

Mbinu ya Newton-Raphson

Uwekaji Mstari na Uhusiano wa Kujirudia wa Urudiaji

Kazi Pepe ya Nguvu za Nje na Ukusanyaji wa Milinganyo ya Jumla hutoa, kwa wakati \(t_{n+1}\), mlinganyo usio mstari unaohusu uhamisho wa nodi \(\boldsymbol{u}_{n+1}\), ambao hutatuliwa kwa mbinu ya Newton-Raphson. Uhamisho wa nodi hadi wakati \(t_n\), \(\boldsymbol{u}_n\), unachukuliwa kuwa unajulikana, na nyongeza ya uhamisho \(\Delta\boldsymbol{u}\) inachukuliwa kuwa kigezo kisichojulikana ili kupata

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

Kuanzia hapa, utegemezi wa vekta ya nguvu ya nje kwa uhamisho wa nodi unapuuziwa, na kwa \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\),

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

hutatuliwa.

Katika suluhisho la sasa \(\Delta\boldsymbol{u}\), ugumu wa tanjenti

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

ukitumika kuweka mlinganyo usio mstari katika umbo la mstari, tunapata

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

Ikiwa marekebisho katika urudiaji wa \(i\) yanaandikwa kama \(d\boldsymbol{u}_i\), na vekta ya salio mwanzoni mwa urudiaji kama

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

basi uhusiano wa kujirudia wa urudiaji ni

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

na huchukua umbo hilo. Salio \(\boldsymbol{R}_i\) ni kiasi kinacholingana na kutosawazika kwa nguvu kutoka hali ya usawa.

Uundaji wa Matriki ya Ugumu wa Tanjenti

Ugumu wa tanjenti \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) huundwa kwa kufanya utofautishaji sehemu wa vekta ya nguvu ya ndani ya elementi iliyopatikana katika Udiskretishaji wa Kazi Pepe ya Nguvu za Ndani kwa uhamisho wa nodi, kuunganisha vifanyiwa ujumuishaji vya kiwango cha elementi juu ya eneo la kila elementi, na kuvikusanya. Tukiiashiria kifanyiwa ujumuishaji cha kiwango cha elementi kwa \(\boldsymbol{K}^e_X\) (alama ya usanidi rejea, uundaji wa TL) au \(\boldsymbol{K}^e_x\) (alama ya usanidi wa sasa, uundaji wa UL), ugumu wa tanjenti wa elementi ni

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

hutolewa kwa namna hiyo. Hapa chini yanaonyeshwa maumbo ya mwisho ya vifanyiwa ujumuishaji vya TL/UL. Katika hali zote mbili hugawanywa kuwa jumla ya kipengele cha ugumu wa nyenzo (kipengele cha uhamisho wa awali) na kipengele cha ugumu wa kijiometri (kipengele cha mkazo wa awali).

Uundaji wa Total Lagrange

Katika uundaji wa Total Lagrange, uhusiano wa mstari unadhaniwa kati ya kiwango cha mkazo wa 2 wa Piola-Kirchhoff \(\dot{\boldsymbol{S}}\) na kiwango cha mnyumbuko wa Green-Lagrange \(\dot{\boldsymbol{E}}\), yaani \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\). Hii inalingana na sheria za nyenzo kwa nyenzo elastiki mstari (nyenzo za St. Venant-Kirchhoff) na nyenzo hiperelastiki, na FrontISTR hutumia uundaji wa Total Lagrange kwa nyenzo hizi. Kifanyiwa ujumuishaji cha ugumu wa tanjenti wa elementi basi huandikwa katika umbo la tensa kama

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

Kipengele cha 1 upande wa kulia ni kipengele cha ugumu wa nyenzo (kipengele cha uhamisho wa awali), na kipengele cha 2 ni kipengele cha ugumu wa kijiometri (kipengele cha mkazo wa awali).

Katika utekelezaji wa FrontISTR, kifanyiwa ujumuishaji hiki huhesabiwa katika umbo la matriki kwa kutumia uandishi wa Voigt

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

kwa namna iliyo juu. Kila matriki ni kama ifuatavyo. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) ni matriki B zilizoletwa katika Udiskretishaji wa Kazi Pepe ya Nguvu za Ndani, na \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) ni uwakilishi wa Voigt wa tensa ya sheria ya nyenzo \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\), yaani matriki ya ugumu wa nyenzo ya \(6\times 6\) (Uandishi wa Tensa na Misingi ya Hisabati). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) ni matriki zifuatazo za upangaji upya zinazotumiwa kuwakilisha kipengele cha ugumu wa kijiometri kama zao la matriki. Kwanza, kwa tensa ya \(3\times 3\) ya daraja la 2 \(\boldsymbol{A}\), fafanua alama \([\,\cdot\,]\) inayopanga upya kuwa vekta ya vipengele 9 kama

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

Kwa ufafanuzi huu, \(\boldsymbol{F}_9\) huwakilisha badiliko la gradieni ya mgeuko katika umbo \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) na ni matriki ya \(9\times d n_e\). Kwa nodi ya elementi \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), bloku inayolingana ya \(9\times d\) ni

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ ni } 3\times 3 \text{ matriki ya utambulisho}) \]

na hutolewa kama \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\), huku bloku zikipangwa mlalo kwa mpangilio wa nodi za elementi. \(\boldsymbol{S}_9\) huchaguliwa ili, ikitumika pamoja na matriki hii, kipengele cha ugumu wa kijiometri kiwakilishwe kama \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\); ni matriki ifuatayo ya \(9\times 9\)

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

Hii ndiyo matriki inayopatikana.

Uundaji wa Updated Lagrange

Katika uundaji wa Updated Lagrange, uhusiano wa mstari unadhaniwa kati ya kiwango cha Jaumann cha tensa ya mkazo wa jamaa wa Kirchhoff \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) na tensa ya kiwango cha mgeuko \(\boldsymbol{D}\), yaani \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\). Huu ni umbo la sheria ya nyenzo ya hipoelastiki iliyo ya kawaida kwa nyenzo elastiki mstari, elastoplastiki na nyenzo za kutambaa, na FrontISTR hutumia uundaji wa Updated Lagrange kwa nyenzo hizi. Kifanyiwa ujumuishaji cha ugumu wa tanjenti wa elementi kilichoandikwa katika usanidi wa sasa basi huandikwa katika umbo la tensa kama

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

ambapo \(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) ni kiwango cha Truesdell, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ni sehemu ya mstari ya mnyumbuko wa Almansi, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) ni gradieni ya uhamisho kwa kuhusisha usanidi wa sasa, na \(\boldsymbol{L}\) ni tensa ya gradieni ya kasi. Kipengele cha 1 upande wa kulia ni kipengele cha ugumu wa nyenzo, na kipengele cha 2 ni kipengele cha ugumu wa kijiometri.

Katika utekelezaji wa FrontISTR, kifanyiwa ujumuishaji hiki huhesabiwa katika umbo la matriki kwa kutumia uandishi wa Voigt

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

kwa namna iliyo juu. \(\boldsymbol{b}\) ni matriki B iliyoundwa katika usanidi wa sasa (Udiskretishaji wa Kazi Pepe ya Nguvu za Ndani). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) hupatikana kutoka \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) zilizofafanuliwa kwa uundaji wa TL kwa kubadilisha mkazo wa 2 wa PK \(\boldsymbol{S}\) na mkazo wa Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), na gradieni ya usanidi rejea \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) na gradieni ya usanidi wa sasa \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\).

\(\boldsymbol{G}\) ni matriki ya marekebisho inayotegemea mkazo wa Cauchy, inayohitajika kufanya sheria ya nyenzo ya hipoelastiki \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) ilingane na mfumo wa ugumu wa tanjenti kama sheria ya nyenzo inayotegemea kiwango cha Truesdell. Inapatikana kwa kupanga vipengele vya tensa ya daraja la 4 \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) katika uandishi wa Voigt wa \(6\times 6\) kama

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

Hii ndiyo matriki inayopatikana.

Ukusanyaji wa Matriki ya Ugumu ya Jumla

Ugumu wa tanjenti wa jumla \(\boldsymbol{K}\) hupatikana kwa kugawanya kila ugumu wa elementi \(\boldsymbol{K}^e\) katika bloku za \(d\times d\), \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) kwa kila jozi ya nodi na kutumia, kama ilivyoletwa katika Ukusanyaji wa viasi vya kifizikia vya nodi za elementi, seti ya ukusanyaji wa tensa ya daraja la 2 \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) ili kupata

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

Thamani zinazopatikana hupangwa kama matriki yenye safu mlalo \(i_g\) na safu wima \(i_h\). Katika utekelezaji, seti \(\mathcal{E}^2\) haijengwi wazi; badala yake bloku zinazolingana huongezwa moja kwa moja ndani ya kitanzi cha elementi. Matriki ni mraba wenye dimensheni sawa na viwango vya uhuru kwa nodi \(\times\) idadi ya jumla ya nodi \(n_g\), lakini kwa kuwa vipengele vingine isipokuwa vile vya nodi zilizounganishwa kupitia elementi ni \(0\), huhifadhiwa katika umbo la matriki adimu.

Matriki za ugumu wa elementi za uundaji wa TL na UL zina umbo lilelile isipokuwa kubadilisha usanidi rejea (kuratibu za nodi na chanzo kinachotumiwa kuunda matriki B) na kuwepo au kutokuwepo kwa matriki \(\boldsymbol{G}\). Kwa hiyo FrontISTR hutekeleza uundaji wote wawili katika subrutini moja ya pamoja.

Algoriti ya Urudiaji

Kwa muhtasari wa yaliyo juu, mwanzoni mwa urudiaji weka \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) na ukokotoe salio la awali \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\). Kisha, katika urudiaji wa \(i\), tekeleza hatua zifuatazo.

  1. Katika uhamisho wa sasa \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\), kokotoa ugumu wa tanjenti \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) kwa kufuata utaratibu wa Uundaji wa Matriki ya Ugumu wa Tanjenti.
  2. Ili kutekeleza masharti ya mpaka ya kijiometri, badilisha matriki ya ugumu wa tanjenti na vekta ya salio kwa viwango vya uhuru vilivyowekewa vizuizi vya uhamisho, ili kupata \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) (Ushughulikiaji wa Masharti ya Mpaka ya Kijiometri).
  3. Tatua mlinganyo wa mstari \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ili kupata marekebisho \(d\boldsymbol{u}_i\). Utaratibu huu mara nyingi huchukua sehemu kubwa ya gharama ya ukokotoaji katika hesabu ya urudiaji.
  4. Sasisha nyongeza ya uhamisho kuwa \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\), na kulingana na hilo kokotoa vekta ya nguvu ya ndani \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) na salio \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\).
  5. Kagua konverjensi na ukamilishe urudiaji ikiwa konverjensi imefikiwa. Vipengele vinavyolingana na miitikio ya vizuizi huonekana katika salio \(\boldsymbol{R}_i\) kwenye viwango vya uhuru vilivyowekewa masharti ya mpaka ya kijiometri, kwa hiyo kiashirio cha konverjensi huundwa kutoka \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) baada ya kuondoa vipengele hivyo. Viashirio mahususi vya konverjensi na vizingiti vinaelezwa katika Vigezo vya Konverjensi. Ikiwa konverjensi haijafikiwa na kikomo cha urudiaji kimefikiwa, urudiaji huchukuliwa kuwa umeshindwa.

Urudiaji unapoungana, ongeza \(\Delta\boldsymbol{u}\) iliyoungana kwenye \(\boldsymbol{u}_n\) ili kupata uhamisho uliolimbikizwa kwa wakati \(t_{n+1}\), \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\), kisha endelea na hatua inayofuata ya muda.

Mada Zinazohusiana