Uchanganuzi wa modi¶

Tatizo la jumla la thamani eigeni¶

Katika kuchanganua mtetemo huru wa kontinuamu, udiskretishaji wa anga hufanywa na mfumo huwakilishwa kama mfumo wenye viwango vingi vya uhuru na masi zilizojilimbikiza, kama inavyoonyeshwa katika Mchoro 2.3.1. Kwa tatizo la mtetemo huru bila udampishaji, mlinganyo tawala (mlinganyo wa mwendo) ni kama ifuatavyo.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Hapa, $u$ ni vekta ya jumla ya uhamisho, $M$ ni matriki ya masi, na $K$ ni matriki ya ugumu. Tuchukulie $\omega$ kuwa masafa ya angulari asilia, $a$ na $b$ kuwa konstanti zozote ambazo si sifuri kwa wakati mmoja, na $x$ kuwa vekta; tufafanue kitendakazi

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Derivativi ya pili ya kitendakazi hiki ni

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Kwa kubadilisha Mlinganyo $\eqref{eq:2.3.2}$ na Mlinganyo $\eqref{eq:2.3.3}$ katika Mlinganyo $\eqref{eq:2.3.1}$,

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

tunapata usemi ufuatao.

Kwa mtetemo usio sifuri, $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ si sifuri kwa utambulisho; kwa hiyo,

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

tunapata. Kwa hivyo, tukichukua $\lambda=\omega^2$,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

tunapata.

Mgawo $\lambda$ huitwa thamani eigeni na vekta $x$ huitwa vekta eigeni; tatizo linalowakilishwa na Mlinganyo $\eqref{eq:2.3.5}$ huitwa tatizo la jumla la thamani eigeni.

Kutoka kwa thamani eigeni $\lambda=\omega^2$ hupatikana masafa ya angulari asilia $\omega$, na vekta eigeni inayolingana $x$ huwakilisha modi ya mtetemo.

Mfano wa mfumo wenye viwango vingi vya uhuru kwa mtetemo huru bila udampishaji

Mchoro 2.3.1　Mfano wa mfumo wenye viwango vingi vya uhuru kwa mtetemo huru bila udampishaji

Sifa na dhana za matriki¶

Kwa tatizo la jumla la thamani eigeni $Kx=\lambda Mx$ lililopatikana katika sehemu iliyotangulia, mwongozo huu unadhania kuwa matriki husika ni linganifu. Kwa matriki changamano, hii inalingana na matriki ya Hermitian; kwa matriki halisi, inalingana na matriki linganifu.

Ikiwa elementi ya $ij$ ya matriki $K$ ni $k_{ij}$, sifa ya Hermitian huandikwa kama

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

Hapa, $\bar{k}_{ji}$ ni konjugati changamano ya $k_{ji}$. Kwa matriki halisi, uhusiano huu huwa $k_{ij}=k_{ji}$.

Zaidi ya hayo, matriki halisi linganifu $H$ huitwa chanya bainifu ikiwa, kwa kila vekta isiyo sifuri $x$,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

ukosefu huu wa usawa unatimizwa. Katika hali hiyo, thamani eigeni zote za $H$ ni chanya.

Katika matatizo ya miundo ya thamani eigeni, matriki ya masi $M$ kwa kawaida huchukuliwa kuwa chanya bainifu. Kwa upande mwingine, matriki ya ugumu $K$ inaweza kuwa chanya nusu-bainifu kulingana na masharti ya uzuiaji na inaweza kuwa na thamani eigeni sifuri zinazolingana na modi za mwili mgumu.

Iteresheni kinyume yenye usogezaji¶

Katika uchanganuzi wa miundo kwa mbinu ya elementi finiti, kwa kawaida thamani eigeni zote hazihitajiki; mara nyingi thamani eigeni chache za mpangilio wa chini zinatosha. HEC-MW imekusudiwa kwa matatizo ya kiwango kikubwa, ambapo matriki ni kubwa na adimu sana, zikiwa na elementi nyingi za sifuri. Kwa hiyo, ni muhimu kukokotoa kwa ufanisi thamani eigeni za modi za mpangilio wa chini huku sifa hizi zikizingatiwa.

Kwa usogezaji $\sigma$, ikiwa $-\sigma$ si thamani eigeni na $K+\sigma M$ si singulari, Mlinganyo $\eqref{eq:2.3.5}$ unaweza kubadilishwa kama ifuatavyo.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Mabadiliko haya huacha vekta eigeni $x$ bila kubadilika na hubadilisha thamani eigeni $\lambda$ kuwa $1/(\lambda+\sigma)$.

Kwa hiyo, kadiri $\lambda$ inavyokaribia $-\sigma$, ndivyo thamani kamili ya thamani eigeni iliyobadilishwa inavyokuwa kubwa. Katika tatizo la miundo la thamani eigeni, $\lambda \geq 0$ na $\sigma \geq 0$; hivyo, thamani eigeni ya chini kabisa hubadilishwa kuwa thamani eigeni yenye thamani kamili kubwa zaidi. Kwa kutumia sifa hii na kutumia mbinu ya iteresheni inayokaribia kwanza thamani eigeni zenye thamani kamili kubwa kwenye Mlinganyo $\eqref{eq:2.3.8}$, thamani eigeni za mpangilio wa chini zinaweza kupatikana kwa ufanisi kwa mpangilio wa kuongezeka.

Mbinu hii huitwa iteresheni kinyume yenye usogezaji.

Katika uchanganuzi wenye masharti ya uzuiaji, FrontISTR huweka $\sigma = 0$, na Mlinganyo $\eqref{eq:2.3.8}$ huwa $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, yaani iteresheni kinyume bila usogezaji. Katika uchanganuzi wa free-free usio na masharti ya uzuiaji, $K$ ni singulari kwa sababu ina thamani eigeni sifuri zinazolingana na modi za mwili mgumu; kwa kuipa $\sigma$ thamani chanya, $K+\sigma M$ hufanywa isiwe singulari. Thamani ya $\sigma$ hubainishwa kwa SIGMA katika !EIGEN.

Mbinu ya Lanczos¶

Sababu ya kuchaguliwa (ulinganisho na mbinu ya Jacobi)¶

Mbinu ya Jacobi ni mbinu ya kawaida inayojulikana sana.

Ni bora wakati matriki ni ndogo na mnene. Hata hivyo, kwa kuwa matriki zinazoshughulikiwa na HEC-MW ni kubwa na adimu, mbinu ya Jacobi haitumiki; badala yake, mbinu ya iteresheni ya Lanczos hutumika.

Algoriti na sifa¶

Mbinu hii, iliyopendekezwa na C. Lanczos katika miaka ya 1950, ni algoriti ya kugeuza matriki kuwa na diagonal tatu na ina sifa zifuatazo.

Ni mbinu ya iteresheni, na ukokotoaji unaweza kufanywa huku matriki ikibaki adimu.
Operesheni zinajumuisha hasa mazao ya matriki na vekta, kwa hiyo mbinu hii inafaa kwa utekelezaji sambamba.
Inafaa kwa utenganishaji wa kikoa wa kijiometri unaohusishwa na mesh za elementi finiti.
Ukokotoaji unaweza kufanywa kwa ufanisi kwa kupunguza idadi ya thamani eigeni au masafa ya modi zinazohitajika.

Mbinu ya Lanczos huanza na vekta ya awali, huunda vekta ortogonali moja baada ya nyingine, na kupata msingi wa nafasi ndogo ya Krylov.

Katika hesabu za usahihi wenye kikomo, makosa ya kuzungusha yanaweza kusababisha kupotea kwa uortogonali wa vekta. Ili kupunguza athari hii, utekelezaji wa FrontISTR huortogonisha upya kila vekta dhidi ya msingi wa Lanczos uliopatikana awali.

Maana ya kijiometri (nafasi ndogo ya Krylov)¶

Kwa kutumia mabadiliko yafuatayo ya vigeu kwenye Mlinganyo $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

tatizo linaweza kuandikwa upya kama

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

na mlinganyo huo hupatikana.

Kwa vekta yoyote isiyo sifuri $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

nafasi inayozalishwa na vekta hizi

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

huitwa nafasi ndogo ya Krylov.

Mbinu ya Lanczos huunda msingi wa nafasi hii ndogo ya Krylov hatua kwa hatua.

FrontISTR hutumia zao lifuatalo la ndani linalohusiana na matriki ya masi $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

kuufanya msingi kuwa ortonormali. Zao la ndani $\langle x,y\rangle$ na norma $\|x\|$ zinazoonyeshwa katika michoro ifuatayo hufasiriwa katika ukokotoaji wa FrontISTR kama zao hili la ndani la $M$ na norma ya $M$ inayolingana,

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

mtawalia.

Tumia mabadiliko ya mstari yaliyofafanuliwa na matriki $A$ kwenye vekta yoyote $q_0$, kama inavyoonyeshwa katika Mchoro 2.3.2.

$Mabadiliko ya mstari ya $q_0$ kwa matriki $A$$

Mchoro 2.3.2　Mabadiliko ya mstari ya $q_0$ kwa matriki $A$

Vekta iliyobadilishwa huortogonishwa ndani ya nafasi inayozalishwa na vekta hiyo pamoja na vekta ya awali. Hasa, uortogonishaji wa Gram-Schmidt hufanywa kama inavyoonyeshwa katika Mchoro 2.3.3. Vekta iliyopatikana huitwa $r_1$; kwa kuifanya iwe na norma moja, hupatikana $q_1$.

$Vekta $q_1$ iliyo ortogonali kwa $q_0$$

Mchoro 2.3.3　Vekta $q_1$ iliyo ortogonali kwa $q_0$

Kwa utaratibu huohuo, $q_2$ hupatikana kutoka $q_1$. Hapa, $q_2$ ni ortogonali kwa $q_1$ na $q_0$, kama inavyoonyeshwa katika Mchoro 2.3.4.

$Vekta $q_2$ iliyo ortogonali kwa $q_1$ na $q_0$$

Mchoro 2.3.4　Vekta $q_2$ iliyo ortogonali kwa $q_1$ na $q_0$

Kwa njia hii, mbinu ya Lanczos huunda hatua kwa hatua msingi ortonormali wa nafasi ndogo ya Krylov. Kinadharia, kwa kutumia ulinganifu wa tatizo la thamani eigeni, iteresheni hii inaweza kuwakilishwa kama uhusiano wa kujirudia wenye vipengele vitatu unaotumia vekta za msingi za hivi karibuni.

Hata hivyo, ili kupunguza kupotea kwa uortogonali kutokana na hesabu za usahihi wenye kikomo, utekelezaji wa FrontISTR huortogonisha upya kila vekta dhidi ya msingi wa Lanczos uliopatikana awali kwa kutumia zao la ndani la $M$.

Ugeuzaji kuwa matriki yenye diagonal tatu¶

Katika iteresheni ya Lanczos ya FrontISTR, vekta za msingi hufanywa kuwa ortonormali kwa zao la ndani la $M$ lililoelezwa katika sehemu iliyotangulia; kwa hiyo,

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

uhusiano huu unatimizwa.

Kwa kutumia matriki $A$ katika Mlinganyo $\eqref{eq:2.3.10}$, iteresheni ya kinadharia ya Lanczos

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

huandikwa kama ilivyo hapo juu.

Kwanza, $\alpha_i$ hufafanuliwa kwa

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

kisha baki la muda huwekwa kuwa

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

kama ilivyo hapo juu.

Ili kupunguza kupotea kwa uortogonali kutokana na hesabu za usahihi wenye kikomo, utekelezaji wa FrontISTR huortogonisha upya $\tilde{r}_{i+1}$ dhidi ya msingi wa Lanczos uliopatikana awali kwa kutumia zao la ndani la $M$. Ikiwa $r_{i+1}$ ni baki baada ya uortogonishaji upya,

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

uhusiano ufuatao unatimizwa.

Tukikusanya vekta $m$ za msingi zilizopatikana kwa iteresheni ya Lanczos katika

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

baada ya idadi yenye kikomo ya iteresheni za Lanczos,

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

uhusiano ufuatao unatimizwa.

Hapa, $e_m$ ni vekta ya kitengo ya vipimo $m$, ambayo kijenzi chake cha $m$ ni 1 na vijenzi vingine ni sifuri, na

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

ni matriki linganifu yenye diagonal tatu.

Kwa hiyo, thamani eigeni za tatizo la awali la kiwango kikubwa zinaweza kukadiriwa kwa kukokotoa thamani eigeni za matriki yenye diagonal tatu $T_m$.

Mada zinazohusiana¶

Uchanganuzi wa mwitikio wa masafa — mwitikio wa masafa unaotumia matokeo ya uchanganuzi wa modi
Aina za uchanganuzi — muhtasari wa utendaji wa uchanganuzi wa modi