Skip to content

Uchanganuzi wa mwitikio wa masafa

Uwekaji wa tatizo

Uchanganuzi wa mwitikio wa masafa hutathmini amplitudo na awamu ya mwitikio wa mfumo katika hali tulivu ndani ya kikoa cha masafa wakati nguvu ya nje inabadilika kiharmoniki kwa wakati. Kwa kuwa mlinganyo wa mwendo hushughulikiwa kwa namna tofauti kutegemea kama udampishaji unazingatiwa au la, sura hii kwanza hutoa modi asilia kutoka kwa mtetemo huru usio na udampishaji, kisha hutumia modi hizo kama msingi wa modi kupanua mwitikio wa kiharmoniki wenye udampishaji.

Mtetemo huru bila udampishaji na modi asilia

Mlinganyo wa mwendo bila kuzingatia udampishaji ni kama ifuatavyo.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Tukipanua uhamisho kwa kutumia kila modi asilia, tunapata

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Tukibadilisha hii katika mlinganyo \(\eqref{eq:2.6.1}\), tunapata

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Hili ni tatizo la jumla la thamani eigeni. Mbinu za nambari za kulitatua, ikiwemo iteresheni ya kinyume iliyohamishwa na mbinu ya Lanczos, zinaelezwa katika Uchanganuzi wa modi. Hapa tunafupisha sifa za masafa asilia na modi asilia zinazotumika katika upanuzi wa mwitikio wa kiharmoniki unaofuata.

Uhalisia wa masafa asilia

Inaweza kuthibitishwa kwamba masafa asilia ni halisi kama ifuatavyo. Tukiweka \(\omega_j^2 = \lambda_j\) na kuchukua konjugati changamano ya mlinganyo \(\eqref{eq:2.6.3}\), tunapata mlinganyo \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Tukizidisha kwa \(\overline{U}_J^T\), tunapata

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Kutokana na mlinganyo \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Kwa kuwa matriki ya masi ni simetriki na chanya bainifu, kwa vekta eigeni isiyo sifuri tuna

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Kwa hiyo,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Hivyo, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) ni nambari halisi.

Uothogonali na usawazishaji wa modi asilia

Sasa tuchunguze modi mbili tofauti.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Kutokana na hayo,

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

hupatikana; ikiwa thamani eigeni ni tofauti, basi

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Hivyo, modi asilia tofauti ni othogonali kwa mujibu wa matriki ya masi. Kwa modi ileile, kuisawazisha kwa mujibu wa matriki ya masi kama katika mlinganyo \(\eqref{eq:2.6.12}\) hurahisisha ushughulikiaji unaofuata.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Mwitikio wa kiharmoniki wenye udampishaji

Ifuatayo inaonyesha uundaji wa uchanganuzi wa mwitikio wa masafa unapozingatia udampishaji. Mlinganyo wa mwendo unaotawala umetolewa katika mlinganyo \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Hapa tunatumia udampishaji wa aina ya Rayleigh, ambao neno lake linaonyeshwa na mlinganyo \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Kwa kutumia vekta eigeni zilizopatikana katika uchanganuzi wa modi, vekta ya uhamisho kwa wakati t inaweza kupanuliwa kama katika mlinganyo \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Tukichukulia neno la nguvu ya nje lina umbo la kiharmoniki

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

basi tunaamua \(b_{j}(t)\). Kwa kuwa mlinganyo wa mwendo \(\eqref{eq:2.6.13}\) una umbo la mtetemo unaolazimishwa,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

uhusiano huo hutimizwa. Sehemu halisi na sehemu ya kufikirika za mgawo wa upanuzi wa \(b_{j}(t)\) hutolewa na milinganyo \(\eqref{eq:2.6.18}i\) na \(\eqref{eq:2.6.19}\), mtawalia.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

hivyo hupatikana.

Vipengee vinavyohusiana