Skip to content

Ushughulikiaji wa Hali za Mpaka za Kijiometri

Mlinganyo wa mstari \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) unaotatuliwa katika kila iteresheni ya Mbinu ya Newton-Raphson bado haujajumuisha masharti ya mpaka ya kijiometri (vizuizi vya uhamisho). Sura hii inaonyesha jinsi ya kurekebisha matriki ya ugumu \(\boldsymbol{K}\) na vekta ya masalio \(\boldsymbol{R}\) kwa viwango vya uhuru vilivyowekewa kizuizi cha uhamisho \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\), ili uhamisho baada ya iteresheni ufikie thamani iliyowekwa. Vizuizi vya nukta nyingi (MPC) na vizuizi visivyo vya mstari vinavyohusiana na mgusano hushughulikiwa kwa utaratibu tofauti; tazama Vizuizi vya Nukta Nyingi na Mgusano.

Sera ya Kuacha Vizuizi vya Uhamisho kama Vigezo Visivyojulikana

Uhamisho wa nodi iliyopewa hali ya mpaka ya kijiometri si kigezo kisichojulikana tena, bali hufungwa kwenye thamani iliyowekwa \(\bar{u}_i\). Viwango hivi vya uhuru vinaweza kuchukuliwa kama konstanti na kuondolewa kutoka mlinganyo wa mstari \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\); hata hivyo, FrontISTR hutekeleza kizuizi kwa kurekebisha \(\boldsymbol{K}\) na \(\boldsymbol{R}\) huku viwango vya uhuru vilivyofungwa vikibaki ndani ya vekta ya marekebisho \(d\boldsymbol{u}\) sawa na viwango vingine vya uhuru.

Kwa njia hii, ukubwa wa matriki ya vigawo na mpangilio wa viwango vya uhuru haubadiliki kulingana na kuwepo au kutokuwepo kwa vizuizi, hivyo hakuna haja ya kuondoa vigezo na kupanga upya mistari na safu zilizoachwa wazi. Kwa utekelezaji unaohifadhi matriki ya vigawo katika umbizo lenye vipengele vichache visivyo sifuri, upangaji huu upya ni mgumu; kwa hiyo FrontISTR hutumia njia ya pili, ambayo hutekeleza vizuizi kwa kusasisha matriki ya vigawo na upande wa kulia pekee.

Thamani Lengwa ya Marekebisho ya Newton-Raphson

Kwa kiwango cha uhuru \(i\) chenye kizuizi cha uhamisho, marekebisho \(du_i\) yanayotafutwa katika iteresheni ya Newton-Raphson yawe

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{iteresheni ya 1}) \\ 0 & (\text{iteresheni ya 2 na kuendelea}) \end{cases} \]

Rekebisha \(\boldsymbol{K}\) na \(\boldsymbol{R}\) ili marekebisho yawe na thamani hiyo. Kwa kufanya hivyo, katika iteresheni ya kwanza ongezeko la uhamisho hufikia thamani ya kizuizi \(\bar{u}_i\), na kuanzia iteresheni ya pili marekebisho huwa \(0\), hivyo thamani ya kizuizi hudumishwa.

Utaratibu wa Kubadilisha Matriki na Vekta ya Masalio

Thamani lengwa katika sehemu iliyotangulia hupatikana kwa mabadiliko mawili yafuatayo huku umbo la mlinganyo wa mstari \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) likihifadhiwa.

  1. Kufanya mstari \(i\) kuwa diagonal: Badilisha kipengele cha diagonal \(K_{ii}\), ambacho ni mgawo wa \(du_i\), kuwa \(1\), badilisha vigawo vingine vyote \(K_{ij}\ (j \not= i)\) kuwa \(0\), na uweke upande wa kulia kuwa \(R_i \to d\bar{u}_i\). Hivyo mlinganyo wa mstari \(i\) huwa \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. Kuhamisha kutoka mistari \(j(\not= i)\): Kwa kila mstari \(j(\not= i)\), ikiwa \(K_{ji} \not= 0\), hamisha kipengele \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) kwenda upande wa kulia. Yaani, toa \(K_{ji} d\bar{u}_i\) kutoka upande wa kulia na uweke mgawo \(K_{ji}\) wa \(du_i\) kuwa \(0\).

Kwa uandishi wa vipengele, milinganyo kabla na baada ya mabadiliko inahusiana kama ifuatavyo.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Tukiandika matriki ya vigawo na upande wa kulia baada ya mabadiliko kama \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\), mtawalia, mlinganyo wa mstari unaopaswa kutatuliwa mwishowe ni

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Ikiwa kuna viwango vingi vya uhuru vilivyofungwa, mabadiliko 1 na 2 hapo juu hutumika kwa mfululizo kwa kila kiwango cha uhuru \(i\) kilichofungwa.

Eneo la Uchakataji katika Utekelezaji wa Matriki yenye Vipengele Vichache Visivyo Sifuri

Katika utekelezaji, matriki ya vigawo \(\boldsymbol{K}\) huhifadhiwa katika umbizo lenye vipengele vichache visivyo sifuri, hivyo uchakataji wa mstari \(j(\not= i)\) katika hatua ya 2 ya sehemu iliyotangulia hufanywa tu kwa mistari yenye vipengele visivyo sifuri katika safu \(i\), yaani viwango vya uhuru vya nodi zilizounganishwa kupitia elementi na kiwango cha uhuru \(i\) kilichofungwa. Kwa viwango vya uhuru visivyounganishwa, \(K_{ji} = 0\), hivyo kuhamisha kipengele hakubadilishi upande wa kulia. Kizuizi hiki huruhusu uchakataji wa hali ya mpaka kukamilika kwa operesheni za eneo dogo tu ukilinganisha na jumla ya idadi ya nodi.

Mada Zinazohusiana