உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

நேரியல் மீள்தன்மை நிலைப் பகுப்பாய்வு (அறிமுகம்)

இங்கு மிகச்சிறிய உருமாற்றக் கோட்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்ட மீட்சி நிலைப் பகுப்பாய்வின் வடிவாக்கம் காட்டப்படுகிறது. தகைவு–திரிபு தொடர்பிற்கு நேரியல் மீள்தன்மை கருதப்படுகிறது. இந்த அதிகாரம் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறையிலான கட்டமைப்புப் பகுப்பாய்வின் ஒட்டுமொத்த அமைப்பைப் புரிந்துகொள்ளும் அறிமுகமாகும்; ஒரு அதிகாரமாகத் தனித்துப் படிக்கக்கூடிய வகையில் அமைக்கப்பட்டுள்ளது.

மெய்நிகர் வேலையின் கோட்பாட்டின் பொதுவான விளக்கத்திற்கு (தற்போதைய உள்ளமைவு, தொடக்க உள்ளமைவு, மிகச்சிறிய உருமாற்றத்திற்கான குறைப்பு) மெய்நிகர் வேலையின் கோட்பாடு, நேரியல் மீள்தன்மை அமைவுறவு விதியின் விவரங்களுக்கு நேரியல் மீள்தன்மை, டென்சர் குறியீடு மற்றும் Voigt குறியீட்டு மரபுகளுக்கு டென்சர் குறியீடும் கணித அடித்தளங்களும், வரையறுக்கப்பட்ட உருமாற்றத்தின் பொதுவான வடிவாக்கத்திற்கு இயக்கம், உருமாற்றம் மற்றும் திரிபு, நேரியலற்ற சிக்கல்களின் தீர்வு முறைகளுக்கு தொடுகோட்டு விறைப்புத்தன்மை அணி பார்க்கவும்.

அடிப்படைச் சமன்பாடுகள்

மிகச்சிறிய உருமாற்றம் மற்றும் நேரியல் மீள்தன்மை என்ற கருதுகோள்களின் கீழ், திட இயக்கவியலின் எல்லை-மதிப்புச் சிக்கல் சமநிலைச் சமன்பாடு, இயந்திர எல்லை நிபந்தனைகள் மற்றும் வடிவியல் எல்லை நிபந்தனைகள் (அடிப்படை எல்லை நிபந்தனைகள்) ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது (படம் 2.1.1 பார்க்கவும்):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

இங்கு \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy தகைவு, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) அலகுக் கனஅளவுக்கான உடல் விசை, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) நிர்ணயிக்கப்பட்ட மேற்பரப்பு இழுவிசை, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) நிர்ணயிக்கப்பட்ட இடப்பெயர்ச்சி; \(S_t, S_u\) முறையே இயந்திர மற்றும் வடிவியல் எல்லைகள்.

திட இயக்கவியலின் எல்லை-மதிப்புச் சிக்கல் (மிகச்சிறிய உருமாற்றச் சிக்கல்)

படம் 2.1.1 திட இயக்கவியலின் எல்லை-மதிப்புச் சிக்கல் (மிகச்சிறிய உருமாற்றச் சிக்கல்)

சமச்சீர் சாய்வு இயக்கி-ஐப் பயன்படுத்தினால் திரிபு–இடப்பெயர்ச்சி தொடர்பு

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

நேரியல் மீள்தன்மை அமைவுறவு சமன்பாடு

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

இங்கு \(\boldsymbol{C}\) நான்காம் வரிசை மீள்தன்மை டென்சர் ஆகும்.

மெய்நிகர் வேலையின் கோட்பாடு

மெய்நிகர் வேலையின் கோட்பாட்டின் பொதுவான வடிவங்கள் (தற்போதைய உள்ளமைவு, தொடக்க உள்ளமைவு மற்றும் மிகச்சிறிய உருமாற்றத்திற்கான குறைப்பு) மெய்நிகர் வேலையின் கோட்பாடு-இல் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன. மிகச்சிறிய உருமாற்றம் மற்றும் நேரியல் மீள்தன்மை என்ற கருதுகோள்களின் கீழ் பலவீன வடிவம்

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

அமைப்பியல் சமன்பாடு \eqref{eq:2.1.5}-ஐப் பதிலிட்டு, Voigt குறியீட்டில் \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) என எழுதினால், தனித்தாக்கத்திற்கு நேரடியாகப் பயன்படுத்தப்படும் வடிவம்

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

கிடைக்கிறது (இங்கு \(D\) என்பது நேரியல் மீள்தன்மை-இன் மீள்தன்மை அணி). சமன்பாடுகள் \eqref{eq:2.1.10} மற்றும் \eqref{eq:2.1.7} ஆகியவை கீழே தனித்தாக்கப்படும் மெய்நிகர் வேலையின் கோட்பாடாகும்.

தனித்தாக்கமும் மொத்தச் சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பும்

சமன்பாடு \( \eqref{eq:2.1.10} \)-இல் உள்ள மெய்நிகர் வேலையின் கோட்பாட்டை ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்புக்கும் தனித்தாக்கினால் பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கிறது.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

ஒவ்வொரு உறுப்பிலும், அந்த உறுப்பை உருவாக்கும் கணுக்களின் இடப்பெயர்ச்சிகளைப் பயன்படுத்தி இடப்பெயர்ச்சி களம் பின்வருமாறு இடைமதிப்பிடப்படுகிறது.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

அப்போது சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.1.4}\)-ஐப் பயன்படுத்தி திரிபு பின்வருமாறு அளிக்கப்படுகிறது.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

சமன்பாடுகள் \(\eqref{eq:2.1.12}\), \(\eqref{eq:2.1.13}\) ஆகியவற்றை \(\eqref{eq:2.1.11}\)-இல் பதிலிட்டால் பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கிறது.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.1.14}\)-ஐ பின்வருமாறு தொகுக்கலாம்.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

இங்கு, சமன்பாடுகள் \(\eqref{eq:2.1.16}\), \(\eqref{eq:2.1.17}\) மூலம் வரையறுக்கப்படும் அணி மற்றும் வெக்டர் கூறுகளை ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்புக்கும் கணக்கிட்டு மேலிடலால் ஒருங்கிணைக்கலாம்.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.1.15}\) எந்த மெய்நிகர் இடப்பெயர்ச்சி \(\delta \boldsymbol{U}\)-க்கும் பொருந்துவதால், பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கிறது.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

மறுபுறம், இடப்பெயர்ச்சி எல்லை நிபந்தனையான சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.1.3}\) பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

கட்டுப்பாட்டு நிபந்தனையான சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.1.19}\)-க்கு உட்பட்டு சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.1.18}\)-ஐத் தீர்ப்பதன் மூலம் கணு இடப்பெயர்ச்சி \(\boldsymbol{U}\)-ஐ நிர்ணயிக்கலாம்.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்