உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

நேரியல் மீள்தன்மை

இந்த அத்தியாயம் நேரியல் மீள்தன்மைப் பொருளின் பொருள் நடத்தைச் சட்டத்தை (Hooke விதி) விளக்குகிறது. பயன்பாடு மற்றும் உள்ளீட்டு அமைப்பின் விவரங்களுக்கு செயல்பாட்டு பகுதியான 03_material-ஐ பார்க்கவும்.

நிகழ்வு (நேரியல் மீள்தன்மைப் பதில்)

நேரியல் மீள்தன்மைப் பொருள் என்பது, சுமைக்கு எதிராகத் திரிபு போதுமான அளவு சிறிய பகுதியில் தகைவும் திரிபும் நேரியல் உறவைக் கொண்டிருக்கும், மேலும் சுமை நீக்கப்பட்டதும் அனைத்து திரிபும் மூலநிலைக்குத் திரும்பும் மீளக்கூடிய மற்றும் வரலாற்றுச் சார்பற்ற பதிலை வழங்கும் பொருள். பிளாஸ்டிசிட்டி அல்லது ஊர்வு போலல்லாமல், நிலையைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் உள் மாறிகள் (பிளாஸ்டிக் திரிபு, பிசுப்புத் திரிபு போன்றவை) இதற்கு இல்லை; தகைவு தற்போதைய திரிபால் மட்டும் தனித்துவமாகத் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

சிறிய உருமாற்றப் பகுதியில் Cauchy தகைவு \(\boldsymbol{\sigma}\) மற்றும் சிறிய திரிபு \(\boldsymbol{\varepsilon}\) பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வரையறுக்கப்பட்ட உருமாற்றப் பகுதியில் (பெரிய சுழற்சி இருந்தாலும் திரிபு தானாகச் சிறியதாக இருக்கும் பிரச்சினைகள்), இரண்டாம் Piola-Kirchhoff தகைவு \(\boldsymbol{S}\) மற்றும் Green-Lagrange திரிபு \(\boldsymbol{E}\) பயன்படுத்தப்படுகின்றன (St.Venant-Kirchhoff பொருள்).

பொருள் நடத்தைச் சட்டம்

சமதிசை நேரியல் மீள்தன்மைப் பொருள்

சிறிய உருமாற்றப் பகுதியில் சமதிசை Hooke விதி, Lamé மாறிலிகள் \(\lambda, \mu\) கொண்டு

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

என எழுதப்படுகிறது. கூறு வடிவில்

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

ஆகும்; திரிபுடன் இரட்டைச் சுருக்கம் செய்தால் \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) கிடைக்கிறது. Lamé மாறிலிகளுக்கும் Young மாடுலஸ் \(E\), Poisson விகிதம் \(\nu\) ஆகியவற்றுக்கும் பின்வரும் உறவு உள்ளது:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt குறியீட்டில் திரிபு வெக்டர் \(\hat{\varepsilon}\) மற்றும் தகைவு வெக்டர் \(\hat{\sigma}\) இடையேயான உறவை \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) என எழுதலாம்; 3 பரிமாணப் பொருள் அணி \(D\):

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

என வழங்கப்படுகிறது (செயல்பாட்டில் இவ்வணி வடிவமே பயன்படுத்தப்படுகிறது).

செங்குத்துத் திசைச்சார்பு நேரியல் மீள்தன்மைப் பொருள்

முதன்மை அச்சுத் திசைகளுக்கு ஏற்ப மீள்தன்மை மாறிலிகள் மாறும் பொருளுக்கு 9 சுயாதீன மாறிலிகள் கொண்ட செங்குத்துத் திசைச்சார்பு மாதிரி பயன்படுத்தப்படுகிறது: முதன்மை அச்சுத் திசை Young மாடுலஸ்கள் \(E_1, E_2, E_3\), முதன்மை அச்சுகளுக்கிடையேயான Poisson விகிதங்கள் \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), மற்றும் வெட்டு மாடுலஸ்கள் \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). \(D\) அணியின் முழு வடிவத்திற்கு பொதுவான மேற்கோள் நூல்களைப் பார்க்கவும்.

வரையறுக்கப்பட்ட உருமாற்றப் பகுதி: St.Venant-Kirchhoff பொருள்

பெரிய சுழற்சியை உட்படுத்தினாலும் திரிபு தானாகச் சிறியதாக இருக்கும் பிரச்சினைகளில், இரண்டாம் Piola-Kirchhoff தகைவு \(\boldsymbol{S}\) மற்றும் Green-Lagrange திரிபு \(\boldsymbol{E}\) தொடர்பான நேரியல் மீள்தன்மை விதியாக St.Venant-Kirchhoff பொருள் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé மாறிலிகள் \(\lambda, \mu\)-வின் வரையறைகள் சிறிய உருமாற்ற நிலையிலுள்ளவையே. ஆனால் பயன்படுத்தப்படும் தகைவு–திரிபு ஜோடி வேறுபடுவதால், இது சிறிய உருமாற்ற Hooke விதியிலிருந்து வேறான பொருள் நடத்தைச் சட்டம் என்பதை கவனிக்க வேண்டும்.

ஹைப்போமீள்தன்மை பொருள்

Updated Lagrange முறையில், சார்பு Kirchhoff தகைவு டென்சரின் Jaumann வீதம் \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) மற்றும் உருமாற்ற வேக டென்சர் \(\boldsymbol{D}\) இடையே

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

என்ற நேரியல் மீள்தன்மை விதியைப் பயன்படுத்தும் ஹைப்போமீள்தன்மை பொருள் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இங்கும் Lamé மாறிலிகளால் வரையறுக்கப்படும் \(\boldsymbol{C}\) மேலே இருப்பதையே போன்றது; ஆனால் தகைவு–திரிபு ஜோடி வேறுபடுவதால் இது வேறு பொருள் நடத்தைச் சட்டம். கால ஒருங்கிணைப்பு நடைமுறையால் (முன்னோக்கு Euler ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் மைய வேறுபாட்டு அணுகுமுறை) \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) எவ்வாறு புதுப்பிக்கப்படுகிறது என்பதற்கு tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex பார்க்கவும்.

2 பரிமாணப் பகுப்பாய்வுக்கும் ஷெல் உறுப்புகளுக்கும் குறைப்பு

தளத் தகைவு (\(\sigma_{33} = 0\))

மெல்லிய தகடுகள் அல்லது ஷெல் உறுப்புகளின் சுமையைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் தளத் தகைவு நிலையில், \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) எனக் கருதி, தளத்திற்கு வெளியான திரிபுக் கூறு \(\varepsilon_{33}\)-ஐ நீக்கி பெறப்படும் \(D\) அணியைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

தளத் திரிபு (\(\varepsilon_{33} = 0\))

தடிமன் திசை கட்டுப்படுத்தப்பட்ட நீண்ட கட்டமைப்பின் குறுக்குவெட்டைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் தளத் திரிபு நிலையில், \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) எனக் கருதுகிறோம்:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

அச்சுச்சமச்சீர்

உருளை ஆயத்தொலைவுகள் \((r, \theta, z)\)-இல் \(\theta\) திசையில் ஒரே மாதிரியான பிரச்சினைகளுக்கான அச்சுச்சமச்சீர் பகுப்பாய்வில், \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\), \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) என்ற 4 கூறுகள் வைக்கப்பட்டு,

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

என அமைகிறது.

ஷெல் உறுப்பு (தளத் தகைவு + குறுக்குவெட்டு வெட்டு)

ஷெல் உறுப்பில் தளத்திற்குள் உள்ள தகைவு தளத் தகைவாகக் கையாளப்படுகிறது; மேலும் குறுக்குவெட்டு வெட்டு திரிபுக் கூறுகள் \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\)-க்கு வெட்டு திருத்தக் காரணி \(\kappa\) (பொதுவாக \(\kappa = 5/6\)) பயன்படுத்தப்பட்ட \(\kappa\, G\) எடுக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு உறுப்புக்குமான விரிவான வடிவாக்கத்திற்கு உயர் செயல்திறன் உறுப்பு வடிவாக்கம் பார்க்கவும். செயல்பாட்டு பகுதியான 03_material-இல் கூறப்படும் “ஷெல் உறுப்புகள் நேரியல் மீள்தன்மையை மட்டுமே ஆதரிக்கின்றன” என்ற விவரக்குறிப்பு, தளத்திற்குள் உள்ள நிலையை தளத் தகைவாகக் கருதும் இந்த எளிமைப்படுத்தலை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

வெப்பநிலை சார்பு

Young மாடுலஸ் \(E\), Poisson விகிதம் \(\nu\), நேரியல் வெப்ப விரிவு குணகம் \(\alpha\) ஆகியவை பொதுவாக வெப்பநிலை \(T\)-ன் செயல்பாடுகளாகக் குறிப்பிடப்படலாம். FrontISTR-இல் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான வெப்பநிலைப் புள்ளிகள் \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\)-க்கு மதிப்புகள் உள்ளீடாக வழங்கப்படுகின்றன; கணக்கீட்டின் வெப்பநிலை \(T\)-க்கு அண்டைப் புள்ளிகளுக்கிடையேயான நேரியல் இடைச்செருகலால் மதிப்பு பெறப்படுகிறது. வரம்புக்கு வெளியேயான வெப்பநிலைகளில் (\(T < T_1\) அல்லது \(T > T_n\)), அருகிலுள்ள இறுதிப் புள்ளி \(T_1\) அல்லது \(T_n\)-ன் மதிப்பு மாறாமல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வெப்பப் பண்புகளான அடர்த்தி, குறிப்பிட்ட வெப்பம் மற்றும் வெப்பக் கடத்துத்திறன் ஆகியவற்றின் வெப்பநிலை சார்புக்கு வெப்பப் பண்புகள் பார்க்கவும். இடைச்செருகல் விதி இவற்றுக்கும் பொதுவானது.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்