உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

வடிவச் செயல்பாடுகளும் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு தோராயமும்

மெய்நிகர் வேலையின் கொள்கை என்ற பலவீன வடிவத்தை கணினியில் கையாள, பொருளின் பிரதேசத்தை வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளாகப் பிரித்து, உறுப்புக்குள் உள்ள பொருள் புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள், இடப்பெயர்ச்சிகள் மற்றும் சோதனைச் செயல்பாடுகளை கணு மதிப்புகளும் வடிவச் செயல்பாடுகளும் கொண்டு இடைச்செருகுகிறோம். வடிவச் செயல்பாட்டின் இடவியல் வகையீடுகளுக்கு வடிவச் செயல்பாட்டின் இடவியல் வகையீடு, பலவீன வடிவத்தின் தனியாக்கத்திற்கு உள்விசை மெய்நிகர் வேலையின் தனியாக்கம், ஒவ்வொரு உறுப்பு வகைக்குமான வடிவச் செயல்பாட்டின் குறிப்பிட்ட வடிவங்களுக்கு உறுப்பு எண் அமைப்பும் வடிவச் செயல்பாட்டு நூலகமும் மற்றும் அதன்பிறகான பகுதிகளைப் பார்க்கவும்.

பிரதேசப் பிரிப்பும் ஒருங்கிணைப்புகளின் உறுப்புவாரியான கூட்டுத்தொகையும்

குறிப்பு அமைப்பின் பிரதேசம் \(\Omega_0\) மற்றும் தற்போதைய அமைப்பின் பிரதேசம் \(\Omega\) ஆகியவற்றை முறையே உறுப்புகள் \(\Omega^e_0\), \(\Omega^e\) ஆகியவற்றின் ஒன்றியத்தால் தோராயப்படுத்துகிறோம்:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) என்பது உறுப்பு எண்; உறுப்பு எல்லைகள் அண்டை உறுப்புகளால் பகிரப்படுகின்றன). இதனால் மெய்நிகர் வேலையின் கொள்கையில் தோன்றும் கனஅளவு மற்றும் பரப்பளவு ஒருங்கிணைப்புகளை, ஒவ்வொரு உறுப்பின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாகப் பிரிக்கலாம்:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(தற்போதைய அமைப்புக்கும் இதேபோல் \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) என மாற்றலாம்). இதன்பின் பலவீன வடிவத்தின் மதிப்பீடு, உறுப்புவாரியான ஒருங்கிணைப்பை அமைப்பதற்குச் சுருங்குகிறது.

கணு மதிப்புகளும் வடிவச் செயல்பாடுகளும் மூலம் இடைச்செருகல் (ஐசோபாரமெட்ரிக் உறுப்புகள்)

ஒவ்வொரு உறுப்பு \(\Omega^e_0\)-க்கும் \(n_e\) கணுக்கள் ஒதுக்கப்படுகின்றன. உறுப்பு கணு \(\alpha = 1, \ldots, n_e\)-இன் குறிப்பு அமைப்பு ஆயத்தொலைவு மற்றும் கணு இடப்பெயர்ச்சியை \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) எனக் கொண்டால், இவற்றை வரிசைப்படுத்திய உறுப்பு கணு வெக்டர்கள் \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) ஆகியவை, மொத்த கணு வெக்டர்களான \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\)-இல் இருந்து உறுப்பு \(e\)-ஐ உருவாக்கும் கணுக்களின் கூறுகளை மட்டும் எடுத்தவையாகும் (\(n_g\) என்பது மொத்த கணுக்களின் எண்ணிக்கை).

உறுப்பின் உள்ளூர் ஆயத்தொலைவுகளான இயற்கை ஆயத்தொலைவுகள் \(\boldsymbol{r}\)-ஐ அளவுருவாகக் கொண்ட வடிவச் செயல்பாடுகள் \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) மூலம், உறுப்புக்குள் உள்ள பொருள் ஆயத்தொலைவு, இடப்பெயர்ச்சி மற்றும் சோதனைச் செயல்பாட்டை ஒரே வடிவச் செயல்பாடுகளால் இடைச்செருகுகிறோம் (ஐசோபாரமெட்ரிக் உறுப்பு மற்றும் Galerkin முறை):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

வடிவச் செயல்பாடுகள் பின்வரும் இரண்டு பண்புகளைப் பூர்த்தி செய்யுமாறு அமைக்கப்படுகின்றன; மேலும் இயற்கை ஆயத்தொலைவிலிருந்து பொருள் ஆயத்தொலைவுக்கான \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) வரைபு உறுப்புக்குள் ஒன்றுக்கு ஒன்று அமையுமாறு உறுப்பின் வடிவம் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

இங்கு \(\boldsymbol{r}_\alpha\) என்பது கணு \(\alpha\)-க்கு ஒத்த இயற்கை ஆயத்தொலைவு புள்ளி; \(\delta_{\alpha\beta}\) என்பது Kronecker delta. முதல் சமன்பாடு திடப்பொருள் இடமாற்றத்தை மீளுருவாக்க முடியும் என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது; இரண்டாவது சமன்பாடு கணுவில் இடைச்செருகிய மதிப்பு கணு மதிப்புடன் சமமாக இருப்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது. ஒவ்வொரு உறுப்பு வகைக்குமான \(n_e\), \(N_\alpha^e\) ஆகியவற்றின் குறிப்பிட்ட வடிவங்கள் உறுப்பு எண் அமைப்பும் வடிவச் செயல்பாட்டு நூலகமும் மற்றும் அதன்பிறகு காட்டப்படுகின்றன. குறியீட்டுச் சிக்கலைத் தவிர்க்க, உறுப்பு வகை சார்பை ஒவ்வொரு உறுப்பின் மேலொட்டு \(e\) பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறது.

மேலுள்ள இடைச்செருகல் விதிகளால் பலவீன வடிவத்தின் இன்டிக்ராண்டை உறுப்பு கணு மதிப்புகள் \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) மற்றும் \(N_\alpha^e\) மட்டுமே கொண்டு வெளிப்படுத்தலாம். ஆனால் திரிபு, இடைச்செருகப்பட்ட இடப்பெயர்ச்சியும் திரிபு–இடப்பெயர்ச்சி உறவும் கொண்டு பெறப்படுகிறது; தகைவு, அந்தத் திரிபும் பொருள் நடத்தைச் சட்டமும் கொண்டு பெறப்படுகிறது. அவை கணு மதிப்புகளிலிருந்து நேரடியாக இடைச்செருகப்படுவதில்லை. அவை உறுப்புக்குள் உள்ள ஒருங்கிணைப்புப் புள்ளிகளில் மதிப்பிடப்படுகின்றன (எண்ணியல் ஒருங்கிணைப்பு).

மொத்த கணு வெக்டரின் வரிசைப்படுத்தல் விதி

கணுக்களுக்கு ஒதுக்கப்படும் இயற்பியல் அளவுகள், மொத்த கணு வெக்டரில் கணு எண் → சுதந்திரப் படி என்ற வரிசையில் ஏறுவரிசையாக அமைக்கப்படுகின்றன. கணு \(\alpha\)-இல் சுதந்திரப் படி \(i\)-இன் கூறை \(u_{i\alpha}\) எனக் கொண்டால், 3 பரிமாணத்தில் (\(i=1,2,3\)) மற்றும் 2 பரிமாணத்தில் (\(i=1,2\)) முறையே

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

என அமையும். ஆயத்தொலைவுகள் \(\boldsymbol{X}^n\) மற்றும் சோதனைச் செயல்பாடு \(\delta\boldsymbol{u}^n\) ஆகியவையும் இதே வரிசையைப் பின்பற்றுகின்றன. இதன்பின் அணி மற்றும் வெக்டர் வடிவச் சமன்பாட்டு மாற்றங்கள் 3 பரிமாணத்தை பிரதிநிதியாகக் கொண்டு விளக்கப்படுகின்றன.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்