உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

வடிவச் செயல்பாட்டின் இடவியல் வகையீடு

வடிவச் செயல்பாடுகளும் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு தோராயமும் பகுதியில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வடிவச் செயல்பாடு \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), உறுப்பின் உள்ளூர் ஆயத்தொலைவுகளான இயற்கை ஆயத்தொலைவுகள் \(\boldsymbol{r}\)-ன் செயல்பாடாக வழங்கப்படுகிறது. மறுபுறம், பலவீன வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புச் செயல்பாட்டில் திரிபு–இடப்பெயர்ச்சி உறவின் மூலம் இயற்பியல் ஆயத்தொலைவுகள் (குறிப்பு அமைப்பில் \(\boldsymbol{X}\) அல்லது தற்போதைய அமைப்பில் \(\boldsymbol{x}\)) சார்ந்த பகுதி வகையீடுகளான \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) அல்லது \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) தோன்றுகின்றன. இவ்வத்தியாயத்தில் இவ்வாறான வடிவச் செயல்பாட்டின் இடவியல் வகையீடுகளை, உறுப்பு கணு ஆயத்தொலைவுகளும் இயற்கை ஆயத்தொலைவு வகையீடுகளும் கொண்டு கணக்கிடும் முறையை ஒழுங்குபடுத்துகிறோம்.

சங்கிலி விதியால் இடவியல் வகையீட்டை வெளிப்படுத்துதல்

இடைச்செருகல் சமன்பாடு \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (முந்தைய அத்தியாயம்) மீது சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தினால், இயற்கை ஆயத்தொலைவிலிருந்து இயற்பியல் ஆயத்தொலைவுக்கான வரைபின் ஜேக்கோபியன் அணி \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\)-ஐக் கொண்டு

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

என்பது கிடைக்கிறது. இங்கு \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) மற்றும் \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ஆகியவை, வரிசை \(\alpha\) கணு \(\alpha\)-இன் பகுதி வகையீட்டு வெக்டரைக் குறிக்கும் \(n_e \times 3\) அணிகள் ஆகும்.

ஜேக்கோபியன் அணியின் உருவாக்கம்

இடைச்செருகல் சமன்பாட்டை \(\boldsymbol{r}\) சார்ந்து பகுதி வகையீடு செய்தால்

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

எனக் கிடைக்கிறது; எனவே உறுப்பு கணு ஆயத்தொலைவுகள் \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) மற்றும் இயற்கை ஆயத்தொலைவு வகையீடு \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ஆகியவற்றிலிருந்து இதை நேரடியாக உருவாக்கலாம். இயற்கை ஆயத்தொலைவு வகையீடு வடிவச் செயல்பாட்டின் செயல்பாட்டு வடிவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது; அது ஒவ்வொரு உறுப்பு வகைக்கும் முன்கூட்டியே செயல்படுத்தப்படுகிறது.

ஜேக்கோபியன் அணியின் நிர்ணயகம் \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\), எண்ணியல் ஒருங்கிணைப்பில் கனஅளவு உறுப்பின் மாற்றமான \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\)-க்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. நிர்ணயகம் \(0\) ஆக இருந்தால் உறுப்பு சிதைந்துள்ளது; கணக்கீடு தோல்வியடையும்.

கணக்கீட்டு ஓட்டம்

மேலுள்ள வழித்தோன்றலிலிருந்து, இடவியல் வகையீடு \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\)-ன் கணக்கீட்டை பின்வரும் 4 கட்டங்களாகப் பிரிக்கலாம்.

  1. இயற்கை ஆயத்தொலைவு வகையீட்டைக் கணக்கிடுதல்: உறுப்பு வகையும் மதிப்பீட்டு புள்ளியின் இயற்கை ஆயத்தொலைவு \(\boldsymbol{r}\)-ஐயும் உள்ளீடாகக் கொண்டு, இயற்கை ஆயத்தொலைவு வகையீட்டு அணி \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)-ஐ கணக்கிடுகிறது. வடிவச் செயல்பாட்டின் வடிவம் உறுப்பு வகைக்கு ஏற்ப மாறுவதால், உறுப்பு வகையைப் பொறுத்து கிளைபிரிக்கப்படுகிறது.
  2. ஜேக்கோபியன் அணியைக் கணக்கிடுதல்: உறுப்பு கணு ஆயத்தொலைவுகள் \(\boldsymbol{X}^e\) மற்றும் \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ஆகியவற்றிலிருந்து, முந்தைய பிரிவின் சமன்பாட்டின்படி ஜேக்கோபியன் அணி \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\)-ஐ உருவாக்குகிறது.
  3. தலைகீழ் அணி மற்றும் நிர்ணயகம் கணக்கீடு: ஜேக்கோபியன் அணியின் தலைகீழ் அணி \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) மற்றும் நிர்ணயகத்தைக் கணக்கிடுகிறது. நிர்ணயகம் எண்ணியல் ஒருங்கிணைப்பின் எடையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
  4. இடவியல் வகையீட்டைக் கணக்கிடுதல்: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) மற்றும் \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ஆகியவற்றின் பெருக்கலாக இடவியல் வகையீடு \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\)-ஐ பெறுகிறது.

இந்த 4 கட்டங்கள் உறுப்பு வகை மற்றும் இடவியல் பரிமாணம் (2 பரிமாணம் அல்லது 3 பரிமாணம்) ஆகியவற்றுக்கு ஏற்ப கிளைபிரிந்தாலும், மொத்த ஓட்டம் பொதுவானது.

குறிப்பு அமைப்புக்கும் தற்போதைய அமைப்புக்கும் இடையேயான பொதுமைப்படுத்தல்

மேலுள்ள நடைமுறையில் \(\boldsymbol{X}^e\)-ஐ தற்போதைய அமைப்பின் கணு ஆயத்தொலைவுகளான \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\)-ஆல் மாற்றினால், தற்போதைய அமைப்பின் இடவியல் வகையீடு \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\)-க்கும் அதே நடைமுறையைப் பயன்படுத்தலாம். ஆகவே Total Lagrange முறையிலும் Updated Lagrange முறையிலும், உள்ளீட்டு கணு ஆயத்தொலைவுகளை மட்டும் மாற்றி ஒரே நடைமுறையைப் பகிர்ந்து பயன்படுத்தலாம்.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்