உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

உள்விசை மெய்நிகர் வேலையின் தனித்தாக்கம்

அதிகரிப்பு பகுப்பாய்வின் கட்டமைப்பு இல் காட்டப்பட்ட நேரம் \(t + \Delta t\) இற்கான மெய்நிகர் வேலைச் சமன்பாடு, குறிப்பு அமைப்பின் தேர்வைப் பொறுத்து Updated Lagrange மற்றும் Total Lagrange என இரண்டு வடிவங்களாகப் பிரிகிறது. இந்த அத்தியாயத்தில் வடிவச் செயல்பாடுகள் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு அணுகுமுறை மற்றும் வடிவச் செயல்பாடுகளின் இடவியல் வழித்தோன்றல்கள் ஆகியவற்றில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்தி, இரு சமன்பாட்டு வடிவங்களின் உள்விசை மெய்நிகர் வேலையையும் இடவியல் ரீதியாகத் தனித்தாக்கி, உறுப்பு உள்விசை திசையன்கள் \(\boldsymbol{q}^e\) (UL முறை) மற்றும் \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL முறை) பெறப்படுகின்றன.

உறுப்பு \(e\) இன் அமைப்பு கணுக்கள் \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) இற்கான இடப்பெயர்ச்சிகளை \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) எனக் கொண்டு, உறுப்பு கணு இடப்பெயர்ச்சி திசையனை \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) என வரிசைப்படுத்துகிறோம். மெய்நிகர் இடப்பெயர்ச்சி \(\delta \boldsymbol{u}^e\) இதே வரிசையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. உறுப்புக்குள் உள்ள இடப்பெயர்ச்சி வடிவச் செயல்பாடுகளால் \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) என இடைநிலையாக்கப்படுகிறது.

Updated Lagrange முறையின் உள்விசை மெய்நிகர் வேலை

Updated Lagrange முறையில், நேரம் \(t\) இன் தற்போதைய அமைப்பு \({}^{t}\Omega\) குறிப்பு அமைப்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது; Cauchy தகைவு \(\boldsymbol{\sigma}\) மற்றும் Almansi திரிபின் நேரியல் பகுதி \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ஆகியவற்றால் உள்விசை மெய்நிகர் வேலை

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

என எழுதப்படுகிறது. \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) இன் ஒவ்வொரு கூறும் தற்போதைய அமைப்பின் ஆயங்கள் \(\boldsymbol{x}\) தொடர்பான வடிவச் செயல்பாட்டு வழித்தோன்றல்கள் \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) மற்றும் கணு மெய்நிகர் இடப்பெயர்ச்சிகள் \(\delta u^e_{i\alpha}\) ஆகியவற்றின் நேரியல் சேர்க்கையாக எழுதப்படலாம்; Voigt குறியீட்டில்

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

என தொகுக்கலாம். கணுத் தொகுதி \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) என்பது \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ஐ Voigt விதிப்படி அமைத்த \(6 \times 3\) அணி; \(\boldsymbol{B}_L\) UL முறையின் திரிபு–இடப்பெயர்ச்சி உறவு அணியாகும். இதை உள்விசை மெய்நிகர் வேலையில் மாற்றீடு செய்து \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ஐப் பிரித்தெடுத்தால்

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

கிடைக்கும். \(\boldsymbol{q}^e\) இன் கணுத் தொகுதி \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) என்பது உறுப்பு \(\Omega^e\) இன் அமைப்பு கணு \(\alpha\) மீது செயல்படும் உள்விசை.

Total Lagrange முறையின் உள்விசை மெய்நிகர் வேலை

Total Lagrange முறையில் அடிப்படை அமைப்பு \(\Omega_0\) குறிப்பு அமைப்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது; இரண்டாம் Piola-Kirchhoff தகைவு \(\boldsymbol{S}\) மற்றும் Green-Lagrange திரிபு \(\boldsymbol{E}\) மூலம்

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

என எழுதப்படுகிறது. \(\delta \boldsymbol{E}\), மெய்நிகர் இடப்பெயர்ச்சியில் நேரியலான உறுப்பாகவும் தற்போதைய இடப்பெயர்ச்சி சாய்வு \(\partial u_k/\partial X_j\) உடன் பெருக்கலைக் கொண்ட நேரியலற்ற உறுப்பாகவும் பிரிக்கப்படுகிறது:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

நேரியல் உறுப்பை, UL முறையிலுள்ள அதே அமைப்பு விதியை \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) க்கு பயன்படுத்தி உருவாக்கப்படும் கணுத் தொகுதி \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) மூலம்

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

என எழுதலாம் (குறிப்பு அமைப்பு வேறுபடுவதால் கூறுகள் \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) இலிருந்து \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ஆக மட்டும் மாறுகின்றன; குறியீடு UL முறையுடன் பகிரப்படுகிறது). நேரியலற்ற உறுப்பு, தற்போதைய இடப்பெயர்ச்சி சாய்வு \(\partial u_k/\partial X_j\) மற்றும் \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) இன் பெருக்கல்களை Voigt விதிப்படி அமைத்த கணுத் தொகுதி \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) மூலம்

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

என எழுதலாம். ஆகவே \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\); \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) என்பது TL முறையின் திரிபு–இடப்பெயர்ச்சி உறவு அணி. இதை உள்விசை மெய்நிகர் வேலையில் மாற்றீடு செய்தால்

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

கிடைக்கும். கணுத் தொகுதி \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) என்பது உறுப்பு \(\Omega^e_0\) இன் அமைப்பு கணு \(\alpha\) மீது செயல்படும் உள்விசை.

UL/TL தொடர்பும் கணக்கீட்டு ஓட்டமும்

Updated Lagrange மற்றும் Total Lagrange முறைகளின் உறுப்பு உள்விசை திசையன்கள் பின்வருமாறு தொடர்புடையவை.

உருப்படி Updated Lagrange முறை Total Lagrange முறை
குறிப்பு அமைப்பு தற்போதைய அமைப்பு \({}^{t}\Omega^e\) அடிப்படை அமைப்பு \(\Omega^e_0\)
தகைவு டென்சர் Cauchy தகைவு \(\boldsymbol{\sigma}\) இரண்டாம் PK தகைவு \(\boldsymbol{S}\)
திரிபு மாறுபாடு \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B அணி \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\),\(\partial u/\partial X\))
உறுப்பு உள்விசை \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

இரண்டையும் ஒரே நடைமுறையில் செயலாக்கலாம்: “வடிவச் செயல்பாடுகளின் இடவியல் வழித்தோன்றல்களிலிருந்து \(\boldsymbol{B}_L\) ஐ அமைத்தல்”, “TL முறையில் தற்போதைய இடப்பெயர்ச்சி சாய்விலிருந்து \(\boldsymbol{B}_{NL}\) ஐ அமைத்து சேர்த்தல்”, “பொருள் நடத்தைச் சட்டத்தின்படி தகைவை (\(\boldsymbol{\sigma}\) அல்லது \(\boldsymbol{S}\)) புதுப்பித்தல்”, “ஒருங்கிணைப்பு புள்ளிகளில் \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) அல்லது \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) ஐ உறுப்புப் பிரதேசத்தின் மீது எண்ணியல் ஒருங்கிணைத்தல் (எண்ணியல் ஒருங்கிணைப்பு)”. குறிப்பு அமைப்பை மாற்றுதல் (கணு ஆயங்கள் மற்றும் \(\boldsymbol{B}\) அணியின் அமைப்பு) மற்றும் தகைவு டென்சரை மாற்றுதல் தவிர மற்ற செயல்முறைகள் பொதுவானவை; எனவே FrontISTR இரு முறைகளின் உள்விசை கணக்கீட்டையும் பொதுவான சப்ரூட்டீன்களால் செயல்படுத்துகிறது. உறுப்பு உள்விசை திசையன்கள் \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) இலிருந்து முழு உள்விசை திசையனுக்கான அசெம்பிளி வெளிவிசை மெய்நிகர் வேலை மற்றும் முழுச் சமன்பாடுகளின் அசெம்பிளி இல் விளக்கப்படுகிறது.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்