உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

வெளிப்புற விசைகளின் மெய்நிகர் வேலை மற்றும் மொத்தச் சமன்பாடுகளின் ஒன்றிணைப்பு

உள் விசைகளின் மெய்நிகர் வேலையின் பிரிப்பாக்கம்-இல், பலவீன வடிவத்தின் இடப்பக்கம் உறுப்பு உள்-விசை திசையன் \(\boldsymbol{q}^e\) (UL முறை) அல்லது \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL முறை) ஆகக் குறைக்கப்பட்டது. இந்த அத்தியாயம் வெளிப்புற விசைகளின் மெய்நிகர் வேலையிலிருந்து உறுப்பு கணு வெளிப்புற-விசை திசையன் \(\boldsymbol{F}^e\)-ஐ அறிமுகப்படுத்துகிறது; பின்னர் உறுப்பு கணு அளவுகளை மொத்த கணு எண்ணின் அடிப்படையில் மறுவரிசைப்படுத்தி சேர்க்கும் ஒன்றிணைப்பு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, FrontISTR நேரியலல்லா கட்டமைப்புப் பகுப்பாய்வு தீர்க்கும் கணு இடப்பெயர்ச்சிகளுக்கான நேரியலல்லா சமன்பாட்டு அமைப்பை இறுதியாகப் பெறுகிறது.

வெளிப்புற விசைகளின் மெய்நிகர் வேலையின் உறுப்பு பிரிப்பு

மெய்நிகர் வேலையின் கொள்கை-இன் வலப்பக்கம், உடல் விசைகள் மற்றும் இயந்திர எல்லைகளில் குறிப்பிடப்பட்ட மேற்பரப்பு இழுவிசைகளால் ஆன வெளிப்புற விசைகளின் மெய்நிகர் வேலையாக உறுப்பு வாரியாகப் பிரிக்கலாம். வடிவச் செயல்பாடுகள் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு அணுகுமுறை-இல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட இடப்பெயர்ச்சி இடைமதிப்பீட்டை அணி வடிவில் எழுத, கணு \(\alpha\)-இன் வடிவச் செயல்பாடு \(N_\alpha^e\)-ஐ மூலைவிட்டத்தில் அமைத்த \(d \times d\) தொகுதி \(\boldsymbol{N}_\alpha\) மற்றும் அவற்றை கிடைமட்டமாக அமைத்த \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) எனக் கொள்கிறோம். இதை குறிப்பு அமைவில் எழுதப்பட்ட வெளிப்புற விசைகளின் மெய்நிகர் வேலையில் பதிலிட்டால்

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

இங்கு உறுப்பு கணு வெளிப்புற-விசை திசையன் \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) என அமைக்கப்படுகிறது. இதனால் வெளிப்புற விசைகளின் மெய்நிகர் வேலை, உள்-விசைப் பக்கம் போலவே "உறுப்பு கணு திசையன் × சோதனைச் சார்பு" வடிவத்துக்கு குறைகிறது (தற்போதைய அமைவில் எழுதும்போது \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), மற்றும் \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) என மாற்றினால் அதே வடிவம் கிடைக்கும்).

உறுப்பு கணு அளவுகளின் ஒன்றிணைப்பு

ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் கிடைக்கும் கணு அளவுகள் \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\), மொத்த கணு எண்ணின் அடிப்படையில் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மொத்த திசையன்களுக்குள் சேர்க்கப்படுகின்றன. உறுப்பு \(\Omega^e\)-இன் உள்ளக கணு எண் \(\alpha\)-க்கு இணையான மொத்த கணு எண்

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

அப்போது ஒரு உறுப்பு கணு அளவு அதற்கு ஒத்த மொத்த கணு அளவின் கூறுடன் ஒன்றாகும் (எடுத்துக்காட்டாக, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). ஒரு கணு \(i_g\) பொதுவாக பல உறுப்புகளால் பகிரப்படுவதால், மொத்த கணு எண் \(i_g\) ஆக இருக்கும் \((e, \alpha)\) ஜோடிகளின் தொகுப்பை

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

இந்தத் தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) என கூட்டலை மறுஎழுதினால், அனைத்து \(n_g\) கணுக்களுக்குமான கணு உள் விசை மற்றும் மொத்த உள்-விசை திசையன் கிடைக்கின்றன:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

இங்கு \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) என்பது கணு \(i_g\)-இல் செயல்படும் உறுப்பு கணு உள் விசைகளின் முடிவுவிசை; வெளிப்புற விசை எதுவும் செயல்படாமல் சமநிலை நிறைவேறும்போது அது \(\boldsymbol{0}\). UL முறையில் அதே நடைமுறை \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\)-ஐ வழங்குகிறது; அவற்றின் எண்ணியல் மதிப்புகள் \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) என்பதை நிறைவேற்றுவதால், வேறுபாடு தேவைப்படும் இடங்களைத் தவிர கீழே \(\boldsymbol{Q}\) என்ற குறியீடே பயன்படுத்தப்படுகிறது. மொத்த வெளிப்புற-விசை திசையன் \(\boldsymbol{F}\) அதே சேர்க்கை முறையில் பெறப்படுகிறது.

செயலாக்கத்தில் \(\mathcal{E}(i_g)\) தொகுப்பு வெளிப்படையாக உருவாக்கப்படாது; அதற்குப் பதிலாக உறுப்பு சுழலுக்குள் தொடர்புடைய கூறுகளுக்கு பங்களிப்புகள் சேர்க்கப்படுகின்றன.

மொத்த உள்-விசை திசையன் Q-ஐ 0 ஆக தொடக்கமிடு: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

மொத்த வெளிப்புற-விசை திசையன் \(\boldsymbol{F}\) இதே நடைமுறையில் உருவாக்கப்படுகிறது. உறுப்பு கணு அளவுகளை மொத்த கணு எண்ணால் எண் கொடுக்கப்பட்ட திசையன்கள் மற்றும் அணிகளுக்குள் சேர்த்து சேமிக்கும் இந்தச் செயல்பாடு ஒன்றிணைப்பு எனப்படுகிறது. இரண்டு கணு எண்களுடன் தொடர்புடைய இரண்டாம்-வரிசை டென்சர்களுக்கு (விறைப்புத்தன்மை அணிகள் போன்றவை), \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) தொகுப்பைப் பயன்படுத்தி இதே வகை ஒன்றிணைப்பு பெறப்படுகிறது (குறிப்பிட்ட உருவாக்கத்திற்கு தொடு விறைப்புத்தன்மை அணி என்பதைப் பார்க்கவும்).

தீர்க்க வேண்டிய நேரியலல்லா சமன்பாடுகள்

ஒன்றிணைக்கப்பட்ட உள் மற்றும் வெளிப்புற விசைகளை மெய்நிகர் வேலையின் கொள்கை-இல் பதிலிட்டு, வடிவியல் எல்லை நிபந்தனைகளை நிறைவேற்றும் எந்த சோதனைச் சார்பு \(\delta\boldsymbol{u}^n\)-க்கும் அது பொருந்தும் என்பதைப் பயன்படுத்தினால்

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

கிடைக்கிறது. அதிகரிப்பு பகுப்பாய்வு சூழலில் (அதிகரிப்பு பகுப்பாய்வின் கட்டமைப்பு), நேர அடிக்குறி \(_{n+1}\)-ஐ மீட்டெடுத்து மொத்த கணு திசையனைக் குறிக்கும் மேல்குறி \(^n\)-ஐ விடுக்கவும். அப்போது தீர்க்க வேண்டிய சமன்பாடு

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

ஆகும். இவ்வாறு, நேரம் \(t_{n+1}\)-இல் கணு இடப்பெயர்ச்சி \(\boldsymbol{u}_{n+1}\)-ஐக் கண்டறியும் பிரிப்பாக்கப்பட்ட எல்லை-மதிப்புச் சிக்கல், வடிவியல் எல்லை நிபந்தனைகளுடன் சேர்த்து இந்த இடப்பெயர்ச்சிக்கான நேரியலல்லா சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதாகக் குறைகிறது. சமன்பாட்டின் நேரியலாக்கமும் தொடு விறைப்புத்தன்மை அணியின் உருவாக்கமும் தொடு விறைப்புத்தன்மை அணி-இல், மறுசெய்கைத் தீர்வு முறை Newton-Raphson முறை-இல் விளக்கப்படுகின்றன.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்