உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

எண்ணியல் ஒருங்கிணைப்பு

உள்விசை மெய்நிகர் வேலையின் தனியாக்கம் மற்றும் வெளிவிசை மெய்நிகர் வேலையும் மொத்த சமன்பாட்டின் தொகுத்தமைப்பும் ஆகியவற்றில் கிடைத்த உறுப்பு உள்விசை வெக்டர்கள் \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) மற்றும் உறுப்பு விறைப்புத்தன்மை அணி \(\boldsymbol{K}^e\), உறுப்பு பிரதேசம் \(\Omega^e\) அல்லது \(\Omega^e_0\) மீதான ஒருங்கிணைப்புகளாக அமைகின்றன. FrontISTR இவற்றை Gauss ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தால் எண்ணியலாக மதிப்பிடுகிறது.

Gauss ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரமும் மாறி மாற்றமும்

Gauss ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரம், நிலையான பிரதேசம் \(\Xi\) மீதான ஒருங்கிணைப்பை, ஒருங்கிணைப்புப் புள்ளிகள் \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\)-இல் உள்ள ஒருங்கிணைக்கப்படும் சார்பின் மதிப்புகளும் எடைகள் \(w_i\)-யும் கொண்ட நேரியல் கூட்டுத்தொகையால் தோராயப்படுத்துகிறது. உறுப்பு பிரதேசம் \(\Omega^e\)-க்கு இதைப் பயன்படுத்தும்போது, \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) என்ற வரைபால் மாறி மாற்றம் செய்யப்படுகிறது:

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

இங்கு \(n_q\) என்பது ஒருங்கிணைப்புப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை; \(J_{\xi_i}\) என்பது மாற்றத்தின் யாக்கோபியன் நிர்ணயகம். நிலையான பிரதேசம் \(\Xi\) உறுப்பு வகைக்கு ஏற்ப நிர்ணயிக்கப்படுகிறது (ஆறுமுகக் உறுப்பிற்கு \([-1,1]^3\); முக்கோணம், நான்முகம், வெட்ஜ் ஆகியவற்றிற்கு அவற்றின் ஒவ்வொரு குறிப்பு வடிவம்). ஒருங்கிணைப்புப் புள்ளிகள் \(\boldsymbol{\xi}_i\) மற்றும் எடைகள் \(w_i\) எண்ணியல் அட்டவணைகளாக வழங்கப்படுகின்றன. பரப்பளவு ஒருங்கிணைப்பும், உறுப்பு முகத்தை 2 பரிமாண நிலையான பிரதேசத்திலிருந்து வரைபிட்டு இதே வடிவில் கையாளப்படுகிறது.

FrontISTR பயன்படுத்தும் பிரதிநிதி ஒருங்கிணைப்புப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கைகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன (உறுப்பு வகைகளுடனான தொடர்புக்கு உறுப்பு எண் அமைப்பும் வடிவச் செயல்பாட்டு நூலகமும் பார்க்கவும்).

உறுப்பு வகை ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரம் ஒருங்கிணைப்புப் புள்ளிகள்
4 கணு நான்முகம் (tet4n) 1 புள்ளி சூத்திரம் 1
10 கணு நான்முகம் (tet10n) 4 புள்ளி சூத்திரம் 4
6 கணு முக்கோணப் பட்டகம் (prism6n) 2 புள்ளி சூத்திரம் 2
15 கணு முக்கோணப் பட்டகம் (prism15n) 9 புள்ளி சூத்திரம் 9
8 கணு ஆறுமுகம் (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20 கணு ஆறுமுகம் (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4 கணு நாற்கரம் (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
8 கணு நாற்கரம் (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
3 கணு முக்கோணம் (tri3n) 1 புள்ளி சூத்திரம் 1
6 கணு முக்கோணம் (tri6n) 3 புள்ளி சூத்திரம் 3

ஆறுமுக, நாற்கர மற்றும் கோட்டுக் உறுப்புகளில் ஒவ்வொரு அச்சுத் திசையிலும் Gauss-Legendre சூத்திரங்களின் டென்சர் பெருக்கல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. முக்கோணம், நான்முகம் மற்றும் முக்கோணப் பட்டகத்திற்கு சிம்ப்ளெக்ஸ் வடிவத்திற்கு ஏற்ற தனிப்பட்ட சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன; அவற்றின் புள்ளி அமைப்பு அந்த வடிவத்திலேயே பல்லுறுப்புகளை துல்லியமாக ஒருங்கிணைக்கிறது.

உறுப்பு ஒருங்கிணைப்பில் பயன்பாடு

உறுப்பு ஒருங்கிணைப்பில் இயற்கை ஆயத்தொலைவுகள் \(\boldsymbol{r}\)-ஐ நிலையான பிரதேசத்தின் ஆயத்தொலைவுகளாகக் கொண்டு (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), இயற்பியல் ஆயத்தொலைவுகளுக்கான வரைபை வடிவச் செயல்பாடுகளால் கணு ஆயத்தொலைவுகளை இடைச்செருகி உருவாக்குகிறோம். குறிப்பு அமைப்பின் தேர்விற்கு (உயர்வு பகுப்பாய்வின் கட்டமைப்பு) ஏற்ப பின்வருமாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

Total Lagrange முறை (குறிப்பு அமைப்பு \(\Omega^e_0\)-இல் ஒருங்கிணைப்பு): வரைபையும் யாக்கோபியனையும்

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

என அமைத்து, உறுப்பு உள்விசையையும் விறைப்புத்தன்மை அணியையும்

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

என தோராயப்படுத்துகிறோம். \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) அனைத்தும் ஒருங்கிணைப்புப் புள்ளி \(\boldsymbol{r}_i\)-இல் மதிப்பிடப்படுகின்றன.

Updated Lagrange முறை (தற்போதைய அமைப்பு \(\Omega^e\)-இல் ஒருங்கிணைப்பு): வரைபையும் யாக்கோபியனையும்

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

என அமைத்து,

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

என தோராயப்படுத்துகிறோம்.

இரண்டு வடிவாக்கங்களுக்கிடையேயான ஒரே வேறுபாடு, வரைபின் உள்ளீட்டு கணு ஆயத்தொலைவு \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ஆகிறதா அல்லது \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) ஆகிறதா என்பதே; ஒருங்கிணைப்புப் புள்ளிகள், எடைகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புப் புள்ளி சுழற்சியின் அமைப்பு பொதுவானது.

முழு ஒருங்கிணைப்பும் குறைக்கப்பட்ட வரிசை ஒருங்கிணைப்பும்

ஒருங்கிணைக்கப்படும் சார்பின் பல்லுறுப்பு வரிசையைத் துல்லியமாக ஒருங்கிணைக்கத் தேவையான புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைப் பயன்படுத்துவது முழு ஒருங்கிணைப்பு; அதைவிட ஒரு நிலை குறைவான புள்ளிகளைக் பயன்படுத்துவது குறைக்கப்பட்ட வரிசை ஒருங்கிணைப்பு. குறைக்கப்பட்ட வரிசை ஒருங்கிணைப்பு வெட்டு லாக்கிங் மற்றும் கனஅளவு லாக்கிங்கைத் தணிக்கப் பயன்படுகிறது; ஆனால் ஹவர்கிளாஸ் மோடு போன்ற போலி உருமாற்ற மோடுகளை சமாளிப்பதும் அவசியம். உறுப்பு வகை வாரியான ஒருங்கிணைப்புப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையும் முழு/குறைக்கப்பட்ட வரிசை ஒருங்கிணைப்பின் தேர்வும் உறுப்பு எண் அமைப்பும் வடிவச் செயல்பாட்டு நூலகமும் மற்றும் அதன்பிறகான பகுதிகளிலும் உயர் செயல்திறன் உறுப்பு வடிவாக்கம் பகுதியிலும் விளக்கப்படுகின்றன.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்