இயக்கம், உருமாற்றம் மற்றும் திரிபு¶

குறிப்புநிலை மற்றும் தற்போதைய உள்ளமைவுகள்¶

உள்ளமைவுகளின் வரையறை¶

இயற்பியல் அளவுகளை விவரிக்க எந்தக் காலநிலை வடிவம் அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை வேறுபடுத்த, இந்த கையேடு இரண்டு உள்ளமைவுகளைப் பயன்படுத்துகிறது.

குறிப்புநிலை உள்ளமைவு: பகுப்பாய்வு தொடக்கத்தில் (நேரம் \(0\)) உள்ள உருமாற்றமடையாத வடிவம்; இது தொடக்க உள்ளமைவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்புநிலை உள்ளமைவில் ஒரு புள்ளி பொருள் ஆயம் \(\boldsymbol{X}\) மூலம் குறிக்கப்படுகிறது; அதன் கனஅளவு \(V\), மேற்பரப்பு \(S\).
தற்போதைய உள்ளமைவு: நேரம் \(t\)-இல் உள்ள உருமாற்றமடைந்த வடிவம். தற்போதைய உள்ளமைவில் ஒரு புள்ளி வெளியியல் ஆயம் \(\boldsymbol{x}\) மூலம் குறிக்கப்படுகிறது; அதன் கனஅளவு \(v\), மேற்பரப்பு \(s\).

இயக்கம் இந்த இரண்டு உள்ளமைவுகளுக்கிடையிலான வரைபாக \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) எனக் குறிக்கப்படுகிறது; இடப்பெயர்ச்சி \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது.

உள்ளமைவைச் சார்ந்த குறியீடு (பெரிய/சிறிய எழுத்து)¶

ஒரு குறியீட்டின் எழுத்தளவு அந்த இயற்பியல் அளவு எந்த உள்ளமைவுக்குச் சேர்ந்தது என்பதை வேறுபடுத்துகிறது.

குறிப்புநிலை உள்ளமைவுக்குரிய அளவுகள் பெரிய எழுத்து குறியீடுகளால் எழுதப்படுகின்றன (எ.கா. \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
தற்போதைய உள்ளமைவுக்குரிய அளவுகள் சிறிய எழுத்து குறியீடுகளால் எழுதப்படுகின்றன (எ.கா. \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
முதல் Piola–Kirchhoff தகைவு \(\boldsymbol{P}\) போன்ற இரு உள்ளமைவுகளையும் இணைக்கும் அளவுகள் மரபான குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்றன; தேவையான இடங்களில் உரையில் வெளிப்படையாக அடையாளப்படுத்தப்படுகின்றன.
சிறிய உருமாற்றக் கோட்பாட்டில் இரண்டு உள்ளமைவுகளுக்கிடையிலான வேறுபாடு மறைவதால், சிறிய எழுத்துக் குறியீடுகள் (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) மட்டும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

குறிப்புநிலை மற்றும் தற்போதைய உள்ளமைவு சாய்வுகள்¶

வெளியியல் வகையீடு எந்த உள்ளமைவைப் பொறுத்து எடுக்கப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்து குறியீடும் பொருளும் மாறுகின்றன.

குறிப்புநிலை சாய்வு \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): பொருள் ஆயங்களைப் பொறுத்த சாய்வு. எடுத்துக்காட்டு: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
தற்போதைய உள்ளமைவு சாய்வு \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): வெளியியல் ஆயங்களைப் பொறுத்த சாய்வு. எடுத்துக்காட்டு: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

இவை \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) என்ற தொடர்பைக் கொண்டுள்ளன. கால வகையீட்டின் மரபு (பொருள் கால வகையீடு \(\dot{(\cdot)}\)) குறித்து டென்சர் குறியீடு மற்றும் கணித அடித்தளங்கள் பார்க்கவும்.

இயக்கத்தின் விவரிப்பு¶

இயக்க வரைபு மற்றும் பொருள்/வெளியியல் விவரிப்புகள்¶

தொடர்ச்சிப் பொருளை நேரம் \(0\)-இல் உள்ள நிலை \(\boldsymbol{X}\)-ஐ அடையாளமாகக் கொண்ட பொருள் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகக் கருதினால், பொருள் புள்ளி \(\boldsymbol{X}\)-ஐ நேரம் \(t\)-இல் அதன் நிலை \(\boldsymbol{x}\) உடன் இணைக்கும் வரைபு \(\phi\) மூலம் இயக்கம் குறிக்கப்படுகிறது:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

குறிப்புநிலை உள்ளமைவு தொடக்க உள்ளமைவாக இருப்பதாக எடுத்துக்கொண்டால், \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

சார்பற்ற மாறிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் அடிப்படையில் இரண்டு விவரிப்புகள் வேறுபடுத்தப்படுகின்றன.

பொருள் விவரிப்பு (Lagrangian விவரிப்பு): இயற்பியல் அளவுகளை \((\boldsymbol{X}, t)\)-ன் செயல்பாடுகளாகக் குறிக்கிறது. திடவியல் இயக்கவியலில் குறிப்புநிலை உள்ளமைவு நிலையான வடிவமாக வழங்கப்படுவதால் இது இயல்பான தேர்வாகும்.
வெளியியல் விவரிப்பு (Eulerian விவரிப்பு): இயற்பியல் அளவுகளை \((\boldsymbol{x}, t)\)-ன் செயல்பாடுகளாகக் குறிக்கிறது. திரவ இயக்கவியலில் இது வழக்கமான விவரிப்பாகும்.

FrontISTR கட்டமைப்பு பகுப்பாய்வு அடிப்படையில் பொருள் விவரிப்பைச் சார்ந்தது. ஆனால் Updated Lagrange முறையில் தற்போதைய உள்ளமைவே புதிய குறிப்புநிலை உள்ளமைவாகப் பயன்படுத்தப்படுவதால் வெளியியல் விவரிப்பிலுள்ள அளவுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

இடப்பெயர்ச்சி, வேகம் மற்றும் முடுக்கம்¶

முந்தைய பிரிவில் கூறியபடி, இடப்பெயர்ச்சி \(\boldsymbol{u}\) என்பது \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. அதன் அளவுக்குத் தடையில்லை; எனவே முடிவுறு உருமாற்றமும் இதில் அடங்கும். பொருள் புள்ளியை நிலையாக வைத்தபடி \(\boldsymbol{u}\)-ன் பொருள் கால வகையீடுகளாக வேகம் மற்றும் முடுக்க வெக்டர்கள் வரையறுக்கப்படுகின்றன:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

இந்தச் சமன்பாடுகள் வேகத்தையும் முடுக்கத்தையும் வரையறுக்கின்றன.

உருமாற்றச் சாய்வு மற்றும் உருமாற்ற டென்சர்கள்¶

உருமாற்றச் சாய்வு டென்சர்¶

முடிவுறு-உருமாற்ற தொடர்ச்சிப் பொருள் இயக்கவியலின் அடிப்படை அளவு உருமாற்றச் சாய்வு டென்சர் \(\boldsymbol{F}\) ஆகும். இது குறிப்புநிலை உள்ளமைவிலுள்ள மிகச்சிறிய கோட்டுறுப்பு \(d\boldsymbol{X}\)-ஐ தற்போதைய உள்ளமைவிலுள்ள மிகச்சிறிய கோட்டுறுப்பு \(d\boldsymbol{x}\)-க்கு வரைபிடும் நேரியல் வரைபு; பொருள் ஆயங்களைப் பொறுத்த இயக்க வரைபின் சாய்வு ஆக வரையறுக்கப்படுகிறது:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

இவ்வாறு வரையறுக்கப்படும் போது (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), உருமாற்றமற்ற நிலையில் \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). திரிபு மற்றும் தகைவை வரையறுக்கவும், உள்ளமைவுகளுக்கிடையில் இயற்பியல் அளவுகளை மாற்றவும் \(\boldsymbol{F}\) பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கனஅளவு விகிதம்¶

குறிப்புநிலை உள்ளமைவிலுள்ள மிகச்சிறிய கனஅளவு \(dV\)-க்கு ஒத்த தற்போதைய உள்ளமைவின் மிகச்சிறிய கனஅளவு \(dv\)-ன் விகிதம் கனஅளவு விகிதம் \(J\) எனப்படுகிறது:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

தொடர்ச்சிப் பொருளின் எதிர்மாற்றத்தன்மைக்கு \(J > 0\) தேவை. நிறை நிலைத்தன்மை \(\rho_0 = J\rho\) என எழுதப்படுகிறது.

வலது மற்றும் இடது Cauchy–Green உருமாற்ற டென்சர்கள்¶

உருமாற்றச் சாய்வு \(\boldsymbol{F}\) திடப்பொருள் சுழற்சியை உள்ளடக்குவதால், உருமாற்றத்தின் அளவீடுகளுக்கு அந்தச் சுழற்சி நீக்கப்பட்ட அளவுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வலது Cauchy–Green உருமாற்ற டென்சர் \(\boldsymbol{C}\) (குறிப்புநிலை உள்ளமைவு) மற்றும் இடது Cauchy–Green உருமாற்ற டென்சர் \(\boldsymbol{b}\) (தற்போதைய உள்ளமைவு) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன:

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

இரண்டும் சமச்சீர் டென்சர்கள்; ஒரே இயல்மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன (முதன்மை நீட்சிகளின் வர்க்கங்கள்). மிகைநெகிழ் திரிபு-ஆற்றல் செயல்பாடுகளின் முதன்மை மாறாமைகள் இந்த டென்சர்களால் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன.

திரிபு டென்சர்கள்¶

Green–Lagrange திரிபு டென்சர்¶

குறிப்புநிலை உள்ளமைவை அடிப்படையாகக் கொண்ட திரிபு அளவாக, Green–Lagrange திரிபு டென்சர் \(\boldsymbol{E}\) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

இது குறிப்புநிலை உள்ளமைவிலுள்ள மிகச்சிறிய வெக்டர்களின் உள்பெருக்கல் மாற்றத்தை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் சமச்சீர் டென்சர்; திடப்பொருள் சுழற்சியின் கீழ் மாறாதது; உருமாற்றமற்ற நிலையில் \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) ஐ நிறைவேற்றுகிறது. \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) ஐப் பயன்படுத்தினால்:

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

இதில் திரிபு, இடப்பெயர்ச்சிச் சாய்வின் முதல் மற்றும் இரண்டாம் வரிசை உறுப்புகளின் கூட்டாக வெளிப்படுகிறது; இரண்டாம் வரிசை உறுப்பு வடிவியல் நேரியலின்மையை குறிக்கிறது. Total Lagrange முறையில் இது வேலை-இணை ஜோடி \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) ஆகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

Almansi திரிபு டென்சர்¶

தற்போதைய உள்ளமைவை அடிப்படையாகக் கொண்ட திரிபு அளவாக, Almansi திரிபு டென்சர் \(\boldsymbol{e}\) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

இது Green–Lagrange திரிபுடன் \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (பின்இழுத்தல்) என்ற தொடர்பைக் கொண்டுள்ளது.

மிகச்சிறிய திரிபு டென்சர்¶

இடப்பெயர்ச்சிச் சாய்வு சிறியதாக இருக்கும்போது (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green–Lagrange திரிபின் இரண்டாம் வரிசை உறுப்பைப் புறக்கணிக்கலாம். அப்போது இரண்டு உள்ளமைவுகளுக்கிடையிலான வேறுபாடு மறைவதால், வெளியியல் ஆயங்களில் சாய்வு எழுதப்பட்ட மிகச்சிறிய திரிபு டென்சர் \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ஆக இது குறைகிறது:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR இந்தத் திரிபு அளவை நேரியல் நிலைப் பகுப்பாய்வு, அதிர்வுமுறைப் பகுப்பாய்வு, அதிர்வெண் மறுமொழிப் பகுப்பாய்வு மற்றும் நேரியல் இயக்கவியல் பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்துகிறது. முடிவுறு-உருமாற்ற பகுப்பாய்வில் Total Lagrange முறையில் \(\boldsymbol{E}\)-உம், Updated Lagrange முறையில் தற்போதைய உள்ளமைவை அடிப்படையாகக் கொண்ட உருமாற்ற வீத டென்சர் \(\boldsymbol{D}\)-உம் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.