உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

தகைவும் நிலைபேறுச் சட்டங்களும்

இந்த அத்தியாயம் தகைவு டென்சர்களின் வரையறைகள் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான உறவுகளையும், நிறை, நேரியல் உந்தம் மற்றும் கோண உந்தம் ஆகியவற்றின் நிலைபேறுச் சட்டங்களிலிருந்து பெறப்படும் சமநிலைச் சமன்பாடுகளையும் தகைவு சமச்சீர்மையையும் தொகுக்கிறது. மூன்று வகை தகைவு டென்சர்கள்—Cauchy தகைவு \(\boldsymbol{\sigma}\), முதல் Piola-Kirchhoff தகைவு \(\boldsymbol{P}\), இரண்டாம் Piola-Kirchhoff தகைவு \(\boldsymbol{S}\)—குறிப்பு பரப்பும் விசை வெக்டரும் எந்த அமைப்பில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன என்பதன் வேறுபாட்டால் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. அமைப்பு, இயக்கம் மற்றும் உருமாற்றச் சாய்வு பற்றிய வரையறைகளுக்கு இயக்கம், உருமாற்றம் மற்றும் திரிபு, குறியீடுகளுக்கு இயற்பியல் அளவுகளின் குறியீட்டுப் பட்டியல் பார்க்கவும்.

Cauchy தகைவு டென்சர்

தற்போதைய அமைப்பின் புள்ளி \(\boldsymbol{x}\)-இல் உள்ள சிறு பரப்பில் (பரப்பளவு \(d\Gamma\), வெளிநோக்கிய அலகு செங்குத்து \(\boldsymbol{n}\)) செயல்படும் விசையை \(d\boldsymbol{f}\) எனக் கொண்டு, தகைவு வெக்டர் \(\boldsymbol{t}\)-ஐ அலகுப் பரப்பளவுக்கான விசை \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) என வரையறுக்கிறோம். \(\boldsymbol{t}\), இடம் \(\boldsymbol{x}\) மற்றும் செங்குத்து \(\boldsymbol{n}\) இரண்டையும் சார்ந்தது. சிறிய நான்முகத்தில் உந்த நிலைபேறுச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்தினால், \(\boldsymbol{t}\) என்பது \(\boldsymbol{n}\)-இன் நேரியல் செயல்பாடாகும்; எனவே இரண்டாம் வரிசை டென்சர் \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) ஒன்று இருந்து

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

என்பது எந்த \(\boldsymbol{n}\)-க்கும் பொருந்துகிறது (Cauchy தகைவு தேற்றம்). இந்த \(\boldsymbol{\sigma}\)-வை Cauchy தகைவு டென்சர் என்று அழைக்கிறோம்; தற்போதைய அமைப்பின் வடிவவியலை அடிப்படையாகக் கொண்ட அலகுப் பரப்பளவுக்கான விசை என்பதால் இது உண்மைத் தகைவு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. \(\sigma_{ij}\) என்பது தற்போதைய அமைப்பில் \(x_j\) அச்சுக்கு செங்குத்தான சிறு பரப்பின் அலகுப் பரப்பளவில் செயல்படும் விசையின் \(x_i\) கூறைக் குறிக்கிறது.

கீழே விவரிக்கப்படும் கோண உந்த நிலைபேறுச் சட்டத்தால் Cauchy தகைவு சமச்சீர் டென்சராகும்:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

எனவே 3 பரிமாணத்தில் இது 6 சுயாதீன கூறுகளை (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) கொண்டது. Voigt குறியீட்டில் தகைவை வெக்டராக்குவது இந்த சமச்சீர்மையை முன்வைக்கிறது (டென்சர் குறியீடும் கணித அடிப்படைகளும் பார்க்கவும்). FrontISTR-இல் Updated Lagrange முறையிலான வடிவவியல் நேரியலற்ற பகுப்பாய்விலும் சிறிய உருமாற்றப் பகுப்பாய்விலும் தகைவு வெளியீடாக Cauchy தகைவு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

முதல் மற்றும் இரண்டாம் Piola-Kirchhoff தகைவுகள்

வரையறுக்கப்பட்ட உருமாற்றத்தில் குறிப்பு அமைப்பை குறிப்பு பரப்பாகவும் குறிப்பு வெக்டராகவும் கொண்டு தகைவை வெளிப்படுத்துவது பல நேரங்களில் வசதியானது; அதற்காக இரண்டு வகை Piola-Kirchhoff தகைவு டென்சர்கள் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. குறிப்பு அமைப்பின் சிறு பரப்பளவை \(d\Gamma_0\), வெளிநோக்கிய அலகு செங்குத்தை \(\boldsymbol{N}\) எனக் கொள்வோம்.

முதல் Piola-Kirchhoff தகைவு (முதல் PK தகைவு, பெயரளவுத் தகைவு) \(\boldsymbol{P}\), தற்போதைய அமைப்பின் விசை \(d\boldsymbol{f}\) குறிப்பு அமைப்பின் சிறு பரப்பில் செயல்படும்போது ஏற்படும் தகைவு டென்சராக

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

என வரையறுக்கப்படுகிறது. Nanson சூத்திரம் \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) மற்றும் Cauchy தகைவு தேற்றத்திலிருந்து Cauchy தகைவுடனான உறவு

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

எனக் கிடைக்கிறது. முதல் PK தகைவு பொதுவாக சமச்சீரற்ற டென்சர்.

இரண்டாம் Piola-Kirchhoff தகைவு (இரண்டாம் PK தகைவு) \(\boldsymbol{S}\), தற்போதைய அமைப்பின் விசை \(d\boldsymbol{f}\)-ஐ \(\boldsymbol{F}^{-1}\) மூலம் குறிப்பு அமைப்பிற்குப் பின்னிழுத்து, அது குறிப்பு அமைப்பின் சிறு பரப்பில் செயல்படும் தகைவு டென்சராக

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

என வரையறுக்கப்படுகிறது. விசை வெக்டரும் செயல்படும் பரப்பும் இரண்டும் குறிப்பு அமைப்பின் அளவுகளால் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன; இது திடப்பொருள் சுழற்சிக்கு மாறாததும் சமச்சீரானதும் ஆகும். முதல் PK தகைவுடனான உறவும் Cauchy தகைவுக்கான மாற்றமும்

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

என அமைகின்றன. இரண்டாம் PK தகைவு, மிகைமீள்தன்மை திரிபு ஆற்றல் செயல்பாடு \(W(\boldsymbol{C})\)-இலிருந்து \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) என பெறப்படுகிறது; Total Lagrange முறையில் Green-Lagrange திரிபு \(\boldsymbol{E}\) உடன் தகைவு-இணை ஜோடி \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) ஆகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

குறிப்பு அமைப்பும் சமச்சீர்மையும் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளன. சிறிய உருமாற்ற எல்லையில் (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) மூன்று தகைவுகளும் ஒன்றாகிவிடுகின்றன.

தகைவு டென்சர் குறிப்பு பரப்பு விசை வெக்டர் சமச்சீர்மை பயன்பாடு
Cauchy தகைவு \(\boldsymbol{\sigma}\) தற்போதைய அமைப்பு \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) தற்போதைய அமைப்பு \(d\boldsymbol{f}\) சமச்சீர் Updated Lagrange முறை / சிறிய உருமாற்றப் பகுப்பாய்வு
முதல் PK தகைவு \(\boldsymbol{P}\) குறிப்பு அமைப்பு \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) தற்போதைய அமைப்பு \(d\boldsymbol{f}\) பொதுவாக சமச்சீரற்றது குறிப்பு அமைப்பின் சமநிலைச் சமன்பாடு
இரண்டாம் PK தகைவு \(\boldsymbol{S}\) குறிப்பு அமைப்பு \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) குறிப்பு அமைப்பு \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) சமச்சீர் Total Lagrange முறை / மிகைமீள்தன்மை

நிறை மற்றும் உந்த நிலைபேறுச் சட்டங்களும் சமநிலைச் சமன்பாடும்

தற்போதைய அமைப்பின் நிறை அடர்த்தியை \(\rho\), குறிப்பு அமைப்பின் நிறை அடர்த்தியை \(\rho_0\) எனக் கொண்டால், நிறை நிலைபேறுச் சட்டம் \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), கனஅளவு உறுப்பு மாற்றம் \(dv = J\, dV\) மூலம் உள்ளூர் வடிவமான

\[ \rho_0 = J \rho \]

என்பதற்கு சுருங்குகிறது.

உடல்விசையை (அலகு நிறைக்கு) \(\boldsymbol{g}\), முடுக்கத்தை \(\boldsymbol{a}\) எனக் கொண்டு, உந்த நிலைபேறுச் சட்டத்திற்கு (Euler-ன் முதல் இயக்க விதி) Cauchy தகைவு தேற்றத்தையும் Gauss divergence தேற்றத்தையும் பயன்படுத்தினால், தற்போதைய அமைப்பின் உள்ளூர் சமநிலைச் சமன்பாடு (இயக்கச் சமன்பாடு)

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

கிடைக்கிறது. Nanson சூத்திரம் மற்றும் \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) மூலம் இதை குறிப்பு அமைப்பின் ஒருங்கிணைப்பாக மாற்றினால், குறிப்பு அமைப்பில் உள்ளூர் வடிவம்

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

எனக் கிடைக்கிறது. தகைவு மாற்ற விதியும் \(\rho_0 = J\rho\) என்பதும் இரு வடிவங்களையும் சமமாக்குகின்றன. சடத்துவப் பதத்தைப் புறக்கணித்தால்

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

என்ற நிலையியல் சமநிலைச் சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன; இவையே FrontISTR-ன் நேரியல் மற்றும் நேரியலற்ற நிலையியல் பகுப்பாய்வுகளின் தொடக்கச் சமன்பாடுகள்.

கோண உந்த நிலைபேறுச் சட்டமும் தகைவு சமச்சீர்மையும்

கோண உந்த நிலைபேறுச் சட்டத்தை (Euler-ன் இரண்டாம் இயக்க விதி) உந்த நிலைபேறுச் சட்டத்திலிருந்து பெறப்பட்ட சமநிலைச் சமன்பாட்டுடன் இணைத்தால், Cauchy தகைவு டென்சரின் சமச்சீர்மை

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

பெறப்படுகிறது; எனவே 3 பரிமாணத்தில் 6 சுயாதீன கூறுகள் உள்ளன. மாற்றுச் சமன்பாடு \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\)-ன் இருபுறத்தையும் transpose செய்து, \(\boldsymbol{F}\) regular என்பதைக் கொண்டு, இரண்டாம் PK தகைவும்

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

என சமச்சீராகவும் 6 சுயாதீன கூறுகளுடனும் இருப்பது தெரிகிறது. மறுபுறம், முதல் PK தகைவு \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) பொதுவாக சமச்சீரில்லை; \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (அதாவது \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) சமச்சீர்) என்ற உறவு மட்டும் பொருந்துகிறது, மேலும் அதற்கு 9 சுயாதீன கூறுகள் உள்ளன.

இந்த சமச்சீர்மைகளே Voigt குறியீட்டில் தகைவை 6 கூறு வெக்டராக வெளிப்படுத்துவதற்கான அடிப்படை. Voigt குறியீட்டு விதிகளுக்கும் பொருள் அணியின் அமைப்புக்கும் டென்சர் குறியீடும் கணித அடிப்படைகளும் மற்றும் நேரியல் மீள்தன்மை பார்க்கவும்.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்