உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

மெய்நிகர் வேலையின் கொள்கை

தகைவு மற்றும் பாதுகாப்புச் சட்டங்கள்-இல் பெறப்பட்ட சமநிலைச் சமன்பாடு மற்றும் எல்லை நிபந்தனைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டு, தொடர்ம இயந்திரவியலின் எல்லை-மதிப்புச் சிக்கலின் பலவீன வடிவமான மெய்நிகர் வேலையின் கொள்கை பெறப்படுகிறது. வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு பிரிப்பாக்கம் இந்த பலவீன வடிவத்திலிருந்தே தொடங்குகிறது. இந்த அத்தியாயம் தற்போதைய-அமைவு வடிவம் (Cauchy தகைவு மற்றும் Almansi திரிபின் நேரியல் பகுதியைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்பட்டது) மற்றும் குறிப்பு-அமைவு வடிவம் (இரண்டாம் Piola-Kirchhoff தகைவு மற்றும் Green-Lagrange திரிபைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்தப்பட்டது) ஆகிய இரண்டையும் வழங்கி, அவற்றின் சமமான தன்மையைக் காட்டி, பின்னர் சிறிய உருமாற்ற நிலைக்கான குறைப்பை உறுதிப்படுத்துகிறது.

சமநிலைச் சமன்பாடு மற்றும் எல்லை நிபந்தனைகள்

தொடர்மத்தின் அலகு நிறைக்கு செயல்படும் உடல் விசை \(\boldsymbol{g}\) ஆக இருக்கட்டும்; தற்போதைய அமைவில் \(\Omega\) களத்தை நிரப்பும் உடலைக் கருதுவோம். எல்லை \(\Gamma\), இடப்பெயர்ச்சி \(\bar{\boldsymbol{u}}\) குறிப்பிடப்படும் வடிவியல் எல்லை \(\Gamma_B\) மற்றும் இழுவிசை \(\bar{\boldsymbol{t}}\) குறிப்பிடப்படும் இயந்திர எல்லை \(\Gamma_t\) ஆகப் பிரிக்கப்படுகிறது; இங்கு \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) மற்றும் \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). நிலைப் பிரச்சினைக்கு, தகைவு மற்றும் பாதுகாப்புச் சட்டங்கள்-இல் காட்டப்பட்ட இயக்கஅளவு பாதுகாப்புச் சட்டத்திலிருந்து சடத்துவ உறுப்பை நீக்குவதன் மூலம் சமநிலைச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{உள்} \ \Omega \]

எல்லை நிபந்தனைகள்

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{இல்} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{இல்} \ \Gamma_B \]

இதன்பின், மெய்நிகர் வேலையின் கொள்கை சமநிலைச் சமன்பாடு மற்றும் இயந்திர எல்லை நிபந்தனை \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) ஆகியவற்றின் பலவீன வடிவமாக பெறப்படுகிறது. வடிவியல் எல்லை நிபந்தனை \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) சோதனைச் சார்பின் தேர்வின் மூலம் சேர்க்கப்படுகிறது.

தற்போதைய அமைவில் பலவீன வடிவம்

பலவீன வடிவத்தில், அறியப்படாத இடப்பெயர்ச்சிக்கான ஏற்கத்தக்க இடமும் சோதனைச் சார்பு இடமும் முறையே பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன:

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{இல்} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{இல்} \ \Gamma_B \} \]

இங்கு, \(d\) என்பது இடவியல் பரிமாணம், \(H^1(\Omega)\) என்பது தன்னுடனும் தன் முதல் பலவீன வகையீடுகளுடனும் சதுர-ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய சார்புகளின் Sobolev இடம், மேலும் \(\delta\) மாறுபாட்டைக் குறிக்கிறது. தற்போதைய-அமைவு பிரதிநிதித்துவத்தில், \(\Omega\) என்பது உருமாற்றமடைந்த அமைவு; உண்மையான எண் தீர்வில் அது குறிப்பு அமைவிற்கோ அறியப்பட்ட இடைநிலை அமைவிற்கோ மீளெடுக்கப்படுகிறது.

சமநிலைச் சமன்பாட்டை எடை \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\)-ஆல் பெருக்கி, Gauss டைவர்ஜென்ஸ் தேற்றம் மற்றும் இயந்திர எல்லை நிபந்தனையைப் பயன்படுத்தினால், தற்போதைய அமைவில் பின்வரும் மெய்நிகர் வேலையின் கொள்கை கிடைக்கிறது.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

இங்கு, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) என்பது Almansi திரிபு டென்சரின் நேரியல் பகுதி; அது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

அதன் மாறுபாடு \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). ஆகவே, \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\)-ஐக் கண்டறிந்து, எந்த \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\)-க்கும் மெய்நிகர்-வேலைச் சமன்பாடு நிறைவேற வேண்டும். இடப்பக்கம் உள் விசைகளின் மெய்நிகர் வேலை; வலப்பக்கம் குறிப்பிடப்பட்ட இழுவிசை மற்றும் உடல் விசையால் ஏற்படும் வெளிப்புற விசைகளின் மெய்நிகர் வேலை.

இந்தச் சமன்பாடு உருமாற்றமடைந்த (தற்போதைய-அமைவு) களத்தின் மீது எழுதப்பட்டிருப்பதால், உண்மையான தீர்வு நடைமுறை தொடக்க அமைவு \(\Omega_0\)-ஐ (குறிப்பு அமைவு) அல்லது அறியப்பட்ட இடைநிலை அமைவை குறிப்பு அமைவாக மீண்டும் தேர்ந்தெடுத்து, சமன்பாட்டை அதிகரிப்பு வடிவில் மறுஎழுதி, பின்னர் தீர்க்கிறது. குறிப்பு அமைவின் குறிப்பிட்ட தேர்வு (மொத்த Lagrange / புதுப்பிக்கப்பட்ட Lagrange) மற்றும் அதிகரிப்பு பிரிப்புக்கு அதிகரிப்பு பகுப்பாய்வின் கட்டமைப்பு என்பதைப் பார்க்கவும்.

தொடக்க அமைவில் பலவீன வடிவம்

குறிப்பு அமைவில் \(\Omega_0\) களத்தை நிரப்பும் உடலைக் கருதுவோம்; அதன் எல்லை \(\Gamma_0\), \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) ஆகப் பிரிக்கப்படுகிறது. தற்போதைய-அமைவு பிரதிநிதித்துவத்தை குறிப்பு அமைவுக்கு மீளெடுத்தால், இரண்டாம் Piola-Kirchhoff தகைவு \(\boldsymbol{S}\) மற்றும் Green-Lagrange திரிபு \(\boldsymbol{E}\) என்ற இணைத் தகைவு-திரிபு ஜோடி கிடைக்கிறது. தொடக்க அமைவில் மெய்நிகர் வேலையின் கொள்கை:

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

இங்கு, \(\rho_0\) என்பது குறிப்பு அமைவிலுள்ள நிறை அடர்த்தி; நிறைப் பாதுகாப்பு உறவு \(\rho_0 = J\rho\) காரணமாக, இது தற்போதைய அமைவிலுள்ள உடல்-விசை பிரதிநிதித்துவத்துடன் சமமானது.

தற்போதைய மற்றும் தொடக்க அமைவு பிரதிநிதித்துவங்களின் சமமான தன்மை

இரு பிரதிநிதித்துவங்களிலும் உள் விசைகளின் மெய்நிகர் வேலை, உருமாற்ற சாய்வு \(\boldsymbol{F}\) மற்றும் பருமன் விகிதம் \(J = \det \boldsymbol{F}\) வழியாக நிகழும் மாற்றத்தால் ஒன்றாக அமைகிறது; அதாவது,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

வெளிப்புற-விசை உறுப்புகளும் நிறைப் பாதுகாப்பு மற்றும் இழுவிசை மாற்றத்தின் மூலம் சமமானவை. எனவே தற்போதைய அமைவிலுள்ள மெய்நிகர்-வேலைச் சமன்பாடும் தொடக்க அமைவிலுள்ளதும் ஒரே கொள்கையை வெவ்வேறு அமைவுகளில் வெளிப்படுத்துகின்றன. குறிப்பு அமைவை நோக்கிச் செயல்படும் தீர்வு முறை மொத்த Lagrange முறைக்கு, தற்போதைய அமைவை (உடனடியாக முந்தைய ஒருங்குசேர்ந்த அமைவு) நோக்கிச் செயல்படும் தீர்வு முறை புதுப்பிக்கப்பட்ட Lagrange முறைக்கு ஒப்பாகும்.

சிறிய உருமாற்றத்திற்கான குறைப்பு

சிறிய-உருமாற்ற அனுமானங்கள் \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) மற்றும் \(J \approx 1\) கீழ், தற்போதைய மற்றும் குறிப்பு அமைவுகளுக்கிடையேயான வேறுபாடு மறைகிறது; இரண்டாம் PK தகைவு Cauchy தகைவுடன் ஒத்துப்போகிறது (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)); Green-Lagrange திரிபும் Almansi திரிபின் நேரியல் பகுதியும் மிகச்சிறிய திரிபு \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ஆகக் குறைகின்றன.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

பின்னர் மெய்நிகர் வேலையின் கொள்கை Cauchy தகைவு \(\boldsymbol{\sigma}\) மற்றும் மிகச்சிறிய திரிபு \(\boldsymbol{\varepsilon}\) மூலம் வெளிப்படும் பலவீன வடிவமாகக் குறைகிறது:

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{இல்} \ \Gamma_B \]

இது சிறிய-உருமாற்ற நேரியல்-மீள்தன்மை நிலைப் பகுப்பாய்வில் நேரடியாகப் பிரிப்பாக்கத்திற்குப் பயன்படுத்தப்படும் பலவீன வடிவம் (நேரியல் மீள்தன்மை நிலைப் பகுப்பாய்வு (அறிமுகம் மற்றும் இணைப்பு) இந்த வடிவத்திலிருந்து தொடங்கி, உறுப்பு விறைப்புத்தன்மை \(\boldsymbol{K}^e\) உருவாக்கத்திலிருந்து மொத்த சமன்பாடு \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) ஒன்றிணைப்பு வரை காட்டுகிறது).

நேரியல்-மீள்தன்மை அமைவுறவு \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\)-ஐ பதிலிட்டு, Voigt குறியீட்டில் \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) என எழுதினால், பலவீன வடிவம்

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

என்ற வடிவம் பெறுகிறது.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்