உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

டென்சர் குறியீடும் கணித அடித்தளங்களும்

FrontISTR கோட்பாட்டு கையேட்டின் அடுத்தடுத்த அதிகாரங்களில் பயன்படுத்தப்படும் டென்சர் குறியீடு, சுட்டெண் குறியீடு மற்றும் Voigt குறியீட்டின் மரபுகளை இந்த அதிகாரம் ஒருங்கிணைக்கிறது. இயற்பியல் அளவுகளின் வரையறைகளில் சாராத தூய குறியீட்டு விதிகள் மட்டுமே இங்கு விளக்கப்படுகின்றன. தொடர்ம ஊடக இயக்கத்துடன் தொடர்புடைய உள்ளமைவை (குறிப்புநிலை/தற்போதைய உள்ளமைவு) சார்ந்த பெரிய/சிறிய எழுத்து வேறுபாடு, பொருள்சார்/இடவியல் வழித்தோன்றல்கள் போன்ற குறியீட்டு மரபுகள் உள்ளமைவு என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தும் இயக்கம், உருமாற்றம் மற்றும் திரிபு அதிகாரத்தில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

டென்சர் குறியீடு

தடித்த எழுத்து வெக்டர் மற்றும் டென்சர் குறியீடு

எழுத்தமைப்பு மரபாக, அளவெண் அளவுகளும் வெக்டர்/டென்சர்களின் கூறுகளும் சாதாரண எழுத்தில் (\(\rho\), \(x_i\) போன்றவை) எழுதப்படுகின்றன; வெக்டர் மற்றும் டென்சர் அளவுகள் தாமே தடித்த எழுத்தில் (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) போன்றவை) எழுதப்படுகின்றன.

Einstein கூட்டல் மரபு

வேறுவிதமாகக் குறிப்பிடப்படாவிட்டால் Einstein கூட்டல் மரபு பயன்படுத்தப்படுகிறது: ஒரே பதத்தில் அதே சுட்டெண் இரண்டு முறை தோன்றினால், அந்த சுட்டெண் மீது கூட்டல் மேற்கொள்ளப்படும். எடுத்துக்காட்டாக,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

மேலும் \(\boldsymbol{A}\) மற்றும் \(\boldsymbol{B}\) டென்சர்களின் பெருக்கல் \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\)-இன் \(i,j\) கூறு

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

சுட்டெண் மரபாக, கூடுதல் விளக்கம் இல்லாமல் \(i, j, k, l, \ldots\) சுட்டெண்களாகப் பயன்படுத்தப்பட்டால் அவை சுதந்திரப் பாகைகளுடன் தொடர்புடைய சுட்டெண்களை (முப்பரிமாணத்தில் \(1, 2, 3\)) குறிக்கும். சிறிய கிரேக்க எழுத்துகள் \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) சுட்டெண்களாகப் பயன்படுத்தப்பட்டால் ஒரு உறுப்பை உருவாக்கும் கணுக்களுடன் தொடர்புடைய சுட்டெண்களை குறிக்கும்.

உள் பெருக்கல், இடமாற்று மற்றும் டென்சர் பெருக்கல்

டென்சர் \(\boldsymbol{A}\)-ன் இடமாற்று, \(\boldsymbol{A}^T\) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. இரண்டாம் வரிசை டென்சர்கள் \(\boldsymbol{A}\) மற்றும் \(\boldsymbol{B}\)-ன் உள் பெருக்கல் (இரட்டைச் சுருக்கம்) பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

வெக்டர்கள் \(\boldsymbol{a}\) மற்றும் \(\boldsymbol{b}\)-ன் உள் பெருக்கல் \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\); அவற்றின் டென்சர் பெருக்கல் \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt குறியீடு

தகைவும் திரிபும் சுதந்திரப் பாகைகளைப் பொறுத்த சமச்சீர் இரண்டாம் வரிசை டென்சர்கள்; அவற்றுக்கிடையிலான நேரியல் தொடர்பைக் குறிக்கும் குணகங்கள் நான்காம் வரிசை டென்சரை உருவாக்குகின்றன. இவற்றை நிரலில் நேரடியாகக் கையாளுவது கணக்கீட்டுச் செலவும் குறியீட்டாக்கம் சிக்கலும் (பலபரிமாண அணித்தொடர்கள், ஆழமான உள்ளமைந்த சுழல்கள்) அதிகரிக்கச் செய்கிறது. எனவே பொதுவான வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு நிரல்கள் சமச்சீர்மையைப் பயன்படுத்தி தகைவு மற்றும் திரிபை நிரல் வெக்டர்கள் ஆகவும், நான்காம் வரிசை மீள்தன்மை டென்சரை இருபரிமாண அணி ஆகவும் சுருக்குகின்றன. இதுவே Voigt குறியீடு.

இனிமேல், டென்சர் அளவு \(\boldsymbol{A}\)-ன் அணி அல்லது வெக்டர் பிரதிநிதித்துவம் மூல டென்சரிலிருந்து வேறுபடுத்த \(\hat{A}\) எனக் குறிக்கப்படும்.

தகைவு மற்றும் திரிபின் வெக்டர் பிரதிநிதித்துவம்

சமச்சீர் தகைவு டென்சர் \(\boldsymbol{\sigma}\) மற்றும் திரிபு டென்சர் \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ஆகியவற்றுக்கு இருபரிமாணத்தில்,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

முப்பரிமாணத்தில்,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

மேலே காட்டியபடி அவை நிரல் வெக்டர்கள் ஆகக் கையாளப்படுகின்றன. மாறுபாடுகள் மற்றும் வகையீடுகள் போன்ற பெறப்பட்ட அளவுகளுக்கும் இதே விதி பொருந்தும். திரிபு பக்க வெட்டுக் கூறுகளுக்கு 2 என்ற காரணி உள்ளது (தகைவு பக்கத்தில் இல்லை) என்பதை கவனிக்கவும். இந்த சமச்சீரின்மை காரணமாக டென்சர் உள் பெருக்கலை வெக்டர் உள் பெருக்கல் ஆகச் சுருக்கமாக எழுதலாம்:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

செயல்படுத்தலில் வெட்டுத் திரிபு கூறுகளின் 2 என்ற காரணி எளிதில் தவறாகக் கையாளப்படலாம். எனவே “தகைவில் இல்லை / திரிபில் உள்ளது” என்ற மரபை எப்போதும் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். குறிப்புநிலை உள்ளமைவின் அளவுகளான இரண்டாம் Piola–Kirchhoff தகைவு \(\boldsymbol{S}\) மற்றும் Green–Lagrange திரிபு \(\boldsymbol{E}\)-க்கும் இதே Voigt மரபு பொருந்தும்.

நான்காம் வரிசை டென்சரின் அணி பிரதிநிதித்துவம்

தகைவு மற்றும் திரிபுக்கிடையிலான நேரியல் தொடர்பு \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (கூறு வடிவில் \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) என்பதில் \(\boldsymbol{\varepsilon}\)-ன் சமச்சீர்மையைப் பயன்படுத்தினால்:

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

முப்பரிமாணத்தில் \(\tilde{C}\)-ஐ 6×6 பொருள் அணி \(\hat{\tilde{C}}\) ஆக அமைத்தால், மூல டென்சர் தொடர்பை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

இந்த கையேட்டில் இனிமேல், வேறுவிதமாகக் குறிப்பிடப்படாவிட்டால் பொருள் அணி \(D\) (அல்லது \(\hat{C}\)) எனக் குறிக்கப்படும். சமதிசை நேரியல் மீள்தன்மைக்கான குறிப்பிட்ட கூறுகளுக்கு நேரியல் மீள்தன்மை பார்க்கவும்.

வகையீட்டு செயலி மரபுகள்

சமச்சீர் சாய்வு செயலி

வெக்டர் களம் \(\boldsymbol{u}\)-க்கான சமச்சீர் சாய்வு செயலி \(\nabla_S\) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

கூறு வடிவில் \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). மிகச்சிறிய உருமாற்றத் திரிபு \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\)-ஐ இந்த செயலி மூலம் சுருக்கமாக வெளிப்படுத்தலாம். வரையறுக்கப்பட்ட உருமாற்றத்தில் சாய்வுகள் எடுக்கப்படும் குறிப்புநிலை/தற்போதைய உள்ளமைவு வேறுபாடு இயக்கம், உருமாற்றம் மற்றும் திரிபு-இல் விவரிக்கப்படுகிறது.

பொருள் கால வகையீடு

ஒரு அளவு \(A\)-வின் பொருள் கால வகையீடு (அதே பொருள் புள்ளியைப் பின்தொடரும் கால வகையீடு) மேலெழுத்துப் புள்ளி \(\dot{A}\) மூலம் குறிக்கப்படுகிறது:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

வேகமும் முடுக்கமும் இந்த மரபைப் பின்பற்றுகின்றன.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்