உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

Newton-Raphson முறை

நேரியலாக்கமும் மறுசெய்கை மீளுறவுச் சமன்பாடும்

வெளிவிசை மெய்நிகர் வேலையும் மொத்த சமன்பாட்டின் தொகுத்தமைப்பும் பகுதியில் பெறப்பட்ட, \(t_{n+1}\) நேரத்தின் கணு இடப்பெயர்ச்சி \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) சார்ந்த நேரியலற்ற சமன்பாட்டை Newton-Raphson முறையால் தீர்க்கிறோம். \(t_n\) நேரம் வரை உள்ள கணு இடப்பெயர்ச்சி \(\boldsymbol{u}_n\) தெரிந்ததாகக் கொண்டு, இடப்பெயர்ச்சி உயர்வு \(\Delta\boldsymbol{u}\)-ஐ தெரியாத மாறியாக வைத்து

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

என்பதைத் தீர்க்கிறோம். தொடர்ந்து வெளிவிசை வெக்டரின் கணு இடப்பெயர்ச்சி சார்பை புறக்கணித்து, \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) என வைத்து

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

என்பதைத் தீர்க்கிறோம்.

தற்போதைய தீர்வு \(\Delta\boldsymbol{u}\)-இல் உள்ள தொடுகோட்டு விறைப்புத்தன்மை

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

கொண்டு நேரியலற்ற சமன்பாட்டை நேரியலாக்கினால்

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

என அமைகிறது. \(i\)-ஆவது மறுசெய்கையின் திருத்தத்தை \(d\boldsymbol{u}_i\) என்றும் மறுசெய்கை தொடக்கத்தில் உள்ள எச்சத் திசையனை

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

என்றும் எழுதினால், மறுசெய்கை மீளுறவுச் சமன்பாடு

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

என்ற வடிவம் பெறுகிறது. எச்சம் \(\boldsymbol{R}_i\) என்பது சமநிலையிலிருந்து உள்ள விசைச் சமநிலையின்மையை அளக்கும் அளவு.

தொடுகோட்டு விறைப்புத்தன்மை அணியின் உருவாக்கம்

தொடுகோட்டு விறைப்புத்தன்மை \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\), உள்விசை மெய்நிகர் வேலையின் தனியாக்கம் பகுதியில் கிடைத்த உறுப்பு உள்விசை வெக்டரை கணு இடப்பெயர்ச்சியால் பகுதி வகையீடு செய்து, ஒவ்வொரு உறுப்பின் ஒருங்கிணைப்புப் பதத்தையும் உறுப்புப் பிரதேசத்தில் ஒருங்கிணைத்து அவற்றைத் தொகுத்து உருவாக்கப்படுகிறது. உறுப்பு நிலை ஒருங்கிணைப்புப் பதத்தை \(\boldsymbol{K}^e_X\) (குறிப்பு அமைப்பு, TL முறை) அல்லது \(\boldsymbol{K}^e_x\) (தற்போதைய அமைப்பு, UL முறை) என எழுதினால், உறுப்பு தொடுகோட்டு விறைப்புத்தன்மை

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

என வழங்கப்படுகிறது. TL/UL ஒருங்கிணைப்புப் பதங்களின் இறுதி வடிவங்கள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இரண்டுமே பொருள் விறைப்புத்தன்மைப் பதம் (ஆரம்ப இடப்பெயர்ச்சிப் பதம்) மற்றும் வடிவவியல் விறைப்புத்தன்மைப் பதம் (ஆரம்ப தகைவுப் பதம்) ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையாகப் பிரிகின்றன.

Total Lagrange முறை

Total Lagrange முறையில் இரண்டாம் Piola-Kirchhoff தகைவு வீதம் \(\dot{\boldsymbol{S}}\) மற்றும் Green-Lagrange திரிபு வீதம் \(\dot{\boldsymbol{E}}\) இடையே \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) என்ற நேரியல் உறவு கருதப்படுகிறது. இது நேரியல் மீள்தன்மைப் பொருள் (St.Venant-Kirchhoff பொருள்) மற்றும் மிகைமீள்தன்மைப் பொருளின் பொருள் நடத்தைச் சட்டங்களுக்கு ஒத்ததாகும்; FrontISTR-இல் Total Lagrange முறை இவ்வகைப் பொருட்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்நிலையில் உறுப்பு தொடுகோட்டு விறைப்புத்தன்மையின் ஒருங்கிணைப்புப் பதம் டென்சர் வடிவில்

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

என எழுதப்படுகிறது. வலப்புறத்தின் முதல் பதம் பொருள் விறைப்புத்தன்மைப் பதம், இரண்டாவது பதம் வடிவவியல் விறைப்புத்தன்மைப் பதம்.

FrontISTR செயல்பாட்டில் இந்த ஒருங்கிணைப்புப் பதம் Voigt குறியீட்டிலான அணி வடிவில்

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

என கணக்கிடப்படுகிறது. இங்கு \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) ஆகியவை உள்விசை மெய்நிகர் வேலையின் தனியாக்கம் பகுதியில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட B அணிகள்; \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) என்பது பொருள் நடத்தைச் சட்டம் \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\)-ன் Voigt குறியீட்டிலான \(6\times 6\) பொருள் விறைப்புத்தன்மை அணி (டென்சர் குறியீடும் கணித அடிப்படைகளும்). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) ஆகியவை வடிவவியல் விறைப்புத்தன்மைப் பதத்தை அணி பெருக்கலாக வெளிப்படுத்தப் பயன்படும் மறுவரிசைப்படுத்தல் அணிகள். முதலில் \(3\times 3\) இரண்டாம் வரிசை டென்சர் \(\boldsymbol{A}\)-ஐ 9 கூறு வெக்டராக மறுவரிசைப்படுத்தும் \([\,\cdot\,]\) குறியீட்டை

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

என வரையறுக்கிறோம். அப்போது \(\boldsymbol{F}_9\) என்பது உருமாற்றச் சாய்வின் மாறுபாட்டை \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) என வெளிப்படுத்தும் \(9\times d n_e\) அணி. உறுப்பு கணு \(\alpha = 1, \ldots, n_e\)-க்கு ஒத்த \(9\times d\) தொகுதி

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ என்பது } 3\times 3 \text{ அலகு அணி}) \]

ஆகும்; இவற்றை உறுப்பு கணு வரிசையில் கிடைமட்டமாக அமைத்த \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) கிடைக்கிறது. \(\boldsymbol{S}_9\) என்பது இதனுடன் சேர்ந்து வடிவவியல் விறைப்புத்தன்மைப் பதத்தை \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) என வெளிப்படுத்தத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட \(9\times 9\) அணி:

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

Updated Lagrange முறை

Updated Lagrange முறையில் சார்பு Kirchhoff தகைவு டென்சரின் Jaumann வீதம் \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) மற்றும் உருமாற்ற வேக டென்சர் \(\boldsymbol{D}\) இடையே \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) என்ற நேரியல் உறவு கருதப்படுகிறது. இது நேரியல் மீள்தன்மை, மீள்பிளாஸ்டிக் மற்றும் ஊர்வு பொருட்களுக்கு பொதுவான hypoelastic பொருள் நடத்தைச் சட்ட வடிவம்; FrontISTR-இல் Updated Lagrange முறை இப்பொருட்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. தற்போதைய அமைப்பில் உறுப்பு தொடுகோட்டு விறைப்புத்தன்மையின் ஒருங்கிணைப்புப் பதம் டென்சர் வடிவில்

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

என எழுதப்படுகிறது (\(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) என்பது Truesdell rate, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) என்பது Almansi திரிபின் நேரியல் பகுதி, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) என்பது தற்போதைய அமைப்பை அடிப்படையாகக் கொண்ட இடப்பெயர்ச்சி சாய்வு, \(\boldsymbol{L}\) என்பது வேகச் சாய்வு டென்சர்). வலப்புறத்தின் முதல் பதம் பொருள் விறைப்புத்தன்மைப் பதம், இரண்டாவது வடிவவியல் விறைப்புத்தன்மைப் பதம்.

FrontISTR செயல்பாட்டில் இந்த ஒருங்கிணைப்புப் பதம் Voigt அணி வடிவில்

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

என கணக்கிடப்படுகிறது. \(\boldsymbol{b}\) என்பது தற்போதைய அமைப்பில் கட்டப்பட்ட B அணி (உள்விசை மெய்நிகர் வேலையின் தனியாக்கம்). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) ஆகியவை TL முறையில் வரையறுக்கப்பட்ட \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\)-இல் இரண்டாம் PK தகைவு \(\boldsymbol{S}\)-ஐ Cauchy தகைவு \(\boldsymbol{\sigma}\)-ஆலும் குறிப்பு அமைப்புச் சாய்வு \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-ஐ தற்போதைய அமைப்புச் சாய்வு \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)-ஆலும் மாற்றியவையாகும்.

\(\boldsymbol{G}\) என்பது hypoelastic பொருள் நடத்தைச் சட்டம் \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\)-ஐ Truesdell வீதத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட பொருள் நடத்தைச் சட்டமாக தொடுகோட்டு விறைப்புத்தன்மைக் கட்டமைப்புடன் ஒத்திசைக்கத் தேவையான Cauchy தகைவு சார்ந்த திருத்த அணி. நான்காம் வரிசை டென்சர் கூறுகள் \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\)-ஐ \(6\times 6\) Voigt வடிவில் அமைத்தால்

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

என அமைகிறது.

மொத்த விறைப்புத்தன்மை அணியின் தொகுத்தமைப்பு

மொத்த தொடுகோட்டு விறைப்புத்தன்மை \(\boldsymbol{K}\), உறுப்பு விறைப்புத்தன்மை \(\boldsymbol{K}^e\)-ஐ கணு வாரியான \(d\times d\) தொகுதிகள் \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) ஆகப் பிரித்து, உறுப்பு கணு இயற்பியல் அளவுகளின் தொகுத்தமைப்பு பகுதியில் அறிமுகமான இரண்டாம் வரிசை டென்சர் ஒன்றிணைப்புத் தொகுப்பு \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) கொண்டு

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

என \(i_g\) வரிசை, \(i_h\) நெடுவரிசையில் அமைக்கப்பட்ட அணியாகப் பெறப்படுகிறது. செயல்பாட்டில் \(\mathcal{E}^2\) தொகுப்பை வெளிப்படையாக உருவாக்காமல், உறுப்புச் சுழற்சியில் தொடர்புடைய தொகுதிகளில் நேரடியாகச் சேர்க்கப்படுகிறது. இது ஒரு கணுவுக்கான சுதந்திரப் படிகள் \(\times\) மொத்த கணுக்கள் \(n_g\) அளவுடைய சதுர அணி; ஆனால் உறுப்புகள் மூலம் இணைக்கப்படாத கணுக்களுக்கிடையேயான கூறுகள் \(0\) என்பதால் விரவலான அணி வடிவில் வைக்கப்படுகிறது.

TL மற்றும் UL முறைகளின் உறுப்பு விறைப்புத்தன்மை, குறிப்பு அமைப்பை மாற்றுவது (கணு ஆயத்தொலைவுகளும் B அணியின் மூலமும்) மற்றும் \(\boldsymbol{G}\) அணி இருப்பது/இல்லாதது ஆகியவற்றைத் தவிர ஒரே வடிவில் இருப்பதால், FrontISTR இரண்டையும் பொதுவான துணைநிரல் மூலம் செயல்படுத்துகிறது.

மறுசெய்கை வழிமுறை

மேலுள்ளவற்றைச் சேர்த்து பார்க்கும்போது, மறுசெய்கை தொடக்கத்தில் \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) என வைத்து தொடக்க எச்சத் திசையன் \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\)-ஐ கணக்கிடுகிறோம். பின்னர் \(i\)-ஆவது மறுசெய்கையில் பின்வரும் நடைமுறைகள் செய்யப்படுகின்றன.

  1. தற்போதைய இடப்பெயர்ச்சி \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\)-இல் உள்ள தொடுகோட்டு விறைப்புத்தன்மை \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\)-ஐ தொடுகோட்டு விறைப்புத்தன்மை அணியின் உருவாக்கம் பகுதியில் உள்ள முறையால் கணக்கிடவும்.
  2. வடிவவியல் எல்லை நிபந்தனைகளைப் பிரதிபலிக்க, இடப்பெயர்ச்சி கட்டுப்பாடு விதிக்கப்பட்ட சுதந்திரப் படிகளுக்கான தொடுகோட்டு விறைப்புத்தன்மை அணி மற்றும் எச்சத் திசையனை மாற்றி \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) பெறவும் (வடிவவியல் எல்லை நிபந்தனைகளின் கையாளுதல்).
  3. நேரியல் சமன்பாடு \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\)-ஐத் தீர்த்து திருத்தம் \(d\boldsymbol{u}_i\) பெறவும். இது மறுசெய்கை கணக்கீட்டின் மொத்த செலவில் பெரும்பகுதியைப் பொதுவாகக் கொண்டிருக்கும்.
  4. இடப்பெயர்ச்சி உயர்வை \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) எனப் புதுப்பித்து, அதற்கேற்ப உள்விசை வெக்டர் \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) மற்றும் எச்சத் திசையன் \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)-ஐ கணக்கிடவும்.
  5. ஒருங்குசேர்வைச் சோதிக்கவும்; அடைந்திருந்தால் மறுசெய்கையை முடிக்கவும். \(\boldsymbol{R}_i\)-இல் வடிவவியல் எல்லை நிபந்தனை விதிக்கப்பட்ட சுதந்திரப் படிகளில் கட்டுப்பாட்டு எதிர்விசைக்கு ஒத்த கூறுகள் தோன்றுவதால், அவற்றை நீக்கிய \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) கூறுகளிலிருந்து ஒருங்குசேர்வு அளவுகோல் அமைக்கப்படுகிறது. குறிப்பிட்ட அளவுகோல்களும் வரம்பு மதிப்புகளும் ஒருங்குசேர்வு சோதனை பகுதியில் விளக்கப்படுகின்றன. ஒருங்குசேர்வு அடையாமல் மறுசெய்கை வரம்பை எட்டினால் அது மறுசெய்கைத் தோல்வியாகும்.

மறுசெய்கை ஒருங்குசேர்ந்தபோது கிடைக்கும் \(\Delta\boldsymbol{u}\)-ஐ \(\boldsymbol{u}_n\)-க்கு கூட்டி \(t_{n+1}\) நேரத்தின் மொத்த இடப்பெயர்ச்சி \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) பெறப்படுகிறது; பின்னர் அடுத்த காலப் படிக்குச் செல்கிறது.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்