உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

Translation update pending

The Tamil translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

இயக்கவியல் பகுப்பாய்வு முறைகள்

இப்பிரிவில் நேரடி கால ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்தும் இயக்கவியல் சிக்கல் பகுப்பாய்வு முறைகள் விளக்கப்படுகின்றன. கீழே மறைமுக முறை மற்றும் வெளிப்படையான முறையின் வடிவாக்கங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

இயக்கச் சமன்பாட்டின் தனிமைப்படுத்தல் (பொது கட்டமைப்பு)

தீர்மானிக்கப்பட வேண்டியது (அடுத்த கட்டத்தில் முழு உரை எழுதப்படும்).

மறைமுக முறை (Newmark-β முறை)

இயக்கவியல் சிக்கல்களுக்கு, கீழே காட்டப்பட்டுள்ள இயக்கச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க நேரடி கால ஒருங்கிணைப்பு முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

இங்கு \(M\) என்பது நிறை அணி, \(C\) என்பது தணிப்பு அணி, \(Q\) என்பது உள்பல வெக்டர், \(F\) என்பது வெளிப்பல வெக்டர் ஆகும். நேரியலற்ற பகுப்பாய்விலும், உருமாற்றத்தால் பாதிக்கப்படாமல் நிறை அணி மாறாததாகக் கொள்ளப்படுகிறது.

கால அதிகரிப்பு \(\Delta t\) இற்குள் இடப்பெயர்ச்சி, வேகம் மற்றும் முடுக்கத்தின் மாற்றங்கள், Newmark-\(\beta\) முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.2}\) மற்றும் சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.3}\) இல் காட்டியபடி தோராயமாக்கப்படுகின்றன.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

இங்கு \(\gamma\), \(\beta\) ஆகியவை Newmark-\(\beta\) முறையின் அளவுருக்கள் ஆகும்.

பொதுவாக அறியப்பட்டபடி, \(\gamma\) மற்றும் \(\beta\) க்கு கீழ்கண்ட மதிப்புகளை அளித்தால் அவை முறையே நேரியல் முடுக்க முறை அல்லது சரிவக விதியுடன் ஒத்துப்போகின்றன.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\)(நேரியல் முடுக்க முறை)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\)(சரிவக விதி)

சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.2}\), சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.3}\) ஆகியவற்றை சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.1}\) இல் பதிலிடும்போது பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கிறது.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

குறிப்பாக, நேரியல் சிக்கலில் \(K_L\) என்பது நேரியல் விறைப்பு அணி என்றும், \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) என்றும் கொள்ளப்படுகிறது. இந்த உறவை மேலுள்ள சமன்பாட்டில் பதிலிட்டால் பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கிறது.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

மேலும், வடிவியல் எல்லை நிபந்தனையாக முடுக்கம் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள இடங்களில், சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.2}\) இலிருந்து பின்வரும் இடப்பெயர்ச்சி பெறப்படுகிறது.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

அதேபோல், வேகம் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள இடங்களில், சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.6}\) இலிருந்து பின்வரும் இடப்பெயர்ச்சி பெறப்படுகிறது.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

இங்கு, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) என்பது \(t+\Delta{t}\) நேரத்தில் உள்ள கணு இடப்பெயர்ச்சி, \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) என்பது \(t+\Delta{t}\) நேரத்தில் உள்ள கணு வேகம், \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) என்பது \(t+\Delta{t}\) நேரத்தில் உள்ள கணு முடுக்கம், \(i\) என்பது கணு சுதந்திர நிலை எண், \(s\) என்பது கணு எண் ஆகும். மேலும், நிறை உறுப்பு மற்றும் தணிப்பு உறுப்புகள் பின்வருமாறு கையாளப்படுகின்றன.

நிறை உறுப்பின் கையாளுதல்

கொள்கையளவில், நிறை அணி செறிவூட்டப்பட்ட நிறை அணியாகக் கையாளப்படுகிறது.

தணிப்பு உறுப்பின் கையாளுதல்

தணிப்பு உறுப்பு, சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.8}\) மூலம் காட்டப்படும் Rayleigh தணிப்பாகக் கையாளப்படுகிறது.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

இங்கு \(R_m\), \(R_k\) ஆகியவை Rayleigh தணிப்பின் அளவுருக்கள் ஆகும்.

!DYNAMIC அட்டையில் குறிப்பிடப்படும் \(R_m\), \(R_k\) மதிப்புகள் முழு மாதிரிக்கும் ஒரேபோலப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் வேறுபட்ட \(R_m\), \(R_k\) மதிப்புகளை வழங்க வேண்டுமெனில், அந்தப் பொருளின் !MATERIAL தொகுதிக்குள் !DAMPING அட்டையை குறிப்பிடவும். !DAMPING குறிப்பிடப்பட்ட பொருளைச் சேர்ந்த உறுப்புகளுக்கு, அந்த உறுப்பின் நிறை அணி \(M_i\) மற்றும் தொடுகோட்டு விறைப்பு அணி \(K_i\) ஆகியவற்றிலிருந்து \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) என உறுப்பு தணிப்பு அணி கணக்கிடப்பட்டு, முழுமைத் தணிப்பு அணியில் ஒன்றுசேர்க்கப்படுகிறது. இச்செயல்பாடு மறைமுக முறையில் மட்டுமே செல்லுபடியாகும்.

வெளிப்படையான முறை (மைய வேறுபாட்டு முறை)

வெளிப்படையான முறை கீழே காட்டப்பட்டுள்ள t நேரத்திலான இயக்கச் சமன்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

இங்கு \(t + \Delta t\) மற்றும் \(t - \Delta t\) நேரங்களில் உள்ள இடப்பெயர்ச்சிகளை \(t\) நேரத்தை மையமாகக் கொண்ட Taylor விரிவாக்கத்தால் வெளிப்படுத்தி, \(\Delta t\) இன் இரண்டாம் வரிசை உறுப்புகள் வரை எடுத்துக்கொண்டால், பின்வருமாறு கிடைக்கிறது.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.3}\), சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.4}\) ஆகியவற்றின் வேறுபாடு மற்றும் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து பின்வரும் சமன்பாடுகள் கிடைக்கின்றன.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.12}\), சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.13}\) ஆகியவற்றை சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.9}\) இல் பதிலிடும்போது பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கிறது.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

குறிப்பாக, நேரியல் சிக்கலில் \(Q(t) = K_L U(t)\) ஆகும்; அப்போது மேலுள்ள சமன்பாடு பின்வருமாறு ஆகிறது.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

இங்கு நிறை அணி \(M\) ஐ செறிவூட்டப்பட்ட நிறை அணியாகவும், தணிப்பு அணியை விகிதாசாரத் தணிப்பு அணி \(C = R_m M\) ஆகவும் எடுத்துக்கொண்டால், சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.15}\) இல் ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் செயல் தேவையில்லை.

எனவே, சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.5.15}\) இலிருந்து \(U(t+\Delta t)\) ஐ பின்வரும் சமன்பாட்டால் பெறலாம்.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

தொடர்புடைய தலைப்புகள்