அதிர்வுமுறைப் பகுப்பாய்வு¶

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட இயல்மதிப்புச் சிக்கல்¶

ஒரு தொடர்மத்தின் கட்டற்ற அதிர்வைப் பகுப்பாய்வு செய்யும்போது, இடவியல் தனியாக்கம் செய்யப்பட்டு, படம் 2.3.1-இல் காட்டியபடி குவிக்கப்பட்ட நிறைகளைக் கொண்ட பல-சுதந்திரப்-படி அமைப்பாக மாதிரியாக்கப்படுகிறது. தணிப்பில்லா கட்டற்ற அதிர்வுச் சிக்கலுக்கான ஆளும் சமன்பாடு (இயக்கச் சமன்பாடு) பின்வருமாறு.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

இங்கு $u$ பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட இடப்பெயர்ச்சி திசையன், $M$ நிறை அணி, $K$ விறைப்புத்தன்மை அணி ஆகும். இயற்கைக் கோண அதிர்வெண்ணை $\omega$ என்றும், ஒரே நேரத்தில் இரண்டும் பூஜ்யமாக இல்லாத தன்னிச்சை மாறிலிகளை $a$, $b$ என்றும், $x$-ஐ ஒரு திசையன் என்றும் கொண்டு பின்வரும் சார்பை வரையறுக்கிறோம்.

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

இந்தச் சார்பின் இரண்டாம் வகையீடு

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

சமன்பாடுகள் $\eqref{eq:2.3.2}$, $\eqref{eq:2.3.3}$ ஆகியவற்றைச் சமன்பாடு $\eqref{eq:2.3.1}$-இல் பதிலீடு செய்தால்

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

என்பது கிடைக்கிறது.

அற்பமற்ற அதிர்வுக்கு $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ முற்றொருமையாகப் பூஜ்யமல்ல; ஆகவே

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

என்பது கிடைக்கிறது. எனவே $\lambda=\omega^2$ என வைத்தால்

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

என்பது கிடைக்கிறது.

குணகம் $\lambda$ இயல்மதிப்பு என்றும், திசையன் $x$ இயல்திசையன் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன; சமன்பாடு $\eqref{eq:2.3.5}$-ஆல் குறிக்கப்படும் சிக்கல் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட இயல்மதிப்புச் சிக்கல் எனப்படுகிறது.

இயல்மதிப்பு $\lambda=\omega^2$-இலிருந்து இயற்கைக் கோண அதிர்வெண் $\omega$ பெறப்படுகிறது; அதற்குரிய இயல்திசையன் $x$ அதிர்வுமுறையைக் குறிக்கிறது.

தணிப்பில்லா கட்டற்ற அதிர்வின் பல-சுதந்திரப்-படி அமைப்பிற்கான எடுத்துக்காட்டு

படம் 2.3.1　தணிப்பில்லா கட்டற்ற அதிர்வின் பல-சுதந்திரப்-படி அமைப்பிற்கான எடுத்துக்காட்டு

அணி பண்புகளும் கருதுகோள்களும்¶

முந்தைய பிரிவில் பெறப்பட்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட இயல்மதிப்புச் சிக்கல் $Kx=\lambda Mx$-க்கு, இந்தக் கையேடு தொடர்புடைய அணிகள் சமச்சீராக இருப்பதாகக் கருதுகிறது. சிக்கலெண் அணிக்கு இது ஹெர்மிடியன் அணியாகவும், மெய்யெண் அணிக்கு இது சமச்சீர் அணியாகவும் அமைகிறது.

அணி $K$-இன் $ij$ கூறை $k_{ij}$ எனக் குறித்தால், ஹெர்மிடியன் பண்பு பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது.

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

இங்கு $\bar{k}_{ji}$ என்பது $k_{ji}$-இன் இணைச் சிக்கலெண் ஆகும். மெய்யெண் அணிக்கான இந்தத் தொடர்பு $k_{ij}=k_{ji}$ ஆகிறது.

மேலும், ஒவ்வொரு பூஜ்யமற்ற திசையன் $x$-க்கும் பின்வரும் தொடர்பு அமையும்போது, மெய் சமச்சீர் அணி $H$ நேர்மறை வரையறுக்கப்பட்டதாகும்.

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

இந்த நிலையில் $H$-இன் அனைத்து இயல்மதிப்புகளும் நேர்மறையாக இருக்கும்.

கட்டமைப்பு இயல்மதிப்புச் சிக்கலில் நிறை அணி $M$ பொதுவாக நேர்மறை வரையறுக்கப்பட்டதாகக் கொள்ளப்படுகிறது. மறுபுறம், கட்டுப்பாட்டு நிபந்தனைகளைப் பொறுத்து விறைப்புத்தன்மை அணி $K$ நேர்மறை அரைவரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கலாம்; திடப்பொருள் அதிர்வுமுறைகளுக்குரிய பூஜ்ய இயல்மதிப்புகளையும் கொண்டிருக்கலாம்.

பெயர்ச்சி கொண்ட தலைகீழ் மறுசெய்கை முறை¶

வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறையிலான கட்டமைப்புப் பகுப்பாய்வில், நடைமுறையில் அனைத்து இயல்மதிப்புகளும் தேவைப்படுவதில்லை; பெரும்பாலும் சில கீழ்நிலை இயல்மதிப்புகள் மட்டும் போதுமானவை. HEC-MW பெரிய அளவிலான சிக்கல்களைக் கையாளும் வகையில் அமைக்கப்பட்டுள்ளதால், அணிகள் பெரியவையாகவும் மிகவும் அடர்வற்றவையாகவும், அதாவது பூஜ்யக் கூறுகள் அதிகமுள்ளவையாகவும் இருக்கும். எனவே இப்பண்புகளைக் கருத்தில் கொண்டு கீழ்நிலை அதிர்வுமுறைகளின் இயல்மதிப்புகளைத் திறம்படக் கணக்கிடுவது முக்கியம்.

பெயர்ச்சி அளவை $\sigma$ எனக் கொண்டால், $-\sigma$ எந்த இயல்மதிப்புக்கும் சமமாக இல்லாமலும் $K+\sigma M$ சீர்மையற்றதாக இல்லாமலும் இருந்தால், சமன்பாடு $\eqref{eq:2.3.5}$-ஐ பின்வருமாறு மாற்றலாம்.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

இந்த மாற்றத்தில் இயல்திசையன் $x$ மாறாது; இயல்மதிப்பு $\lambda$, $1/(\lambda+\sigma)$-க்கு வரைபடுகிறது.

ஆகவே $\lambda$, $-\sigma$-க்கு அருகில் இருக்குமளவுக்கு மாற்றப்பட்ட இயல்மதிப்பின் தனிமதிப்பு பெரிதாகும். கட்டமைப்பு இயல்மதிப்புச் சிக்கலில் $\lambda \geq 0$, $\sigma \geq 0$ என்பதால், மிகக் கீழ்நிலை இயல்மதிப்பு மிகப்பெரிய தனிமதிப்புடைய இயல்மதிப்பாக மாறுகிறது. இந்தப் பண்பைப் பயன்படுத்தி, பெரிய தனிமதிப்புடைய இயல்மதிப்புகளுக்கு முதலில் குவியும் மறுசெய்கை முறையைச் சமன்பாடு $\eqref{eq:2.3.8}$-க்கு பயன்படுத்துவதன் மூலம், கீழ்நிலை இயல்மதிப்புகளை வரிசையாகத் திறம்படக் கண்டறியலாம்.

இந்த முறை பெயர்ச்சி கொண்ட தலைகீழ் மறுசெய்கை முறை எனப்படுகிறது.

FrontISTR-இல் கட்டுப்பாடுள்ள பகுப்பாய்வுக்கு $\sigma = 0$ என வைக்கப்படுகிறது; அப்போது சமன்பாடு $\eqref{eq:2.3.8}$, $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, அதாவது பெயர்ச்சியில்லாத தலைகீழ் மறுசெய்கையாகிறது. கட்டுப்பாடில்லாத கட்டற்ற-கட்டற்ற பகுப்பாய்வில், திடப்பொருள் அதிர்வுமுறைகளுக்குரிய பூஜ்ய இயல்மதிப்புகளால் $K$ சீர்மையற்றதாகும்; $\sigma$-க்கு நேர்மறை மதிப்பு கொடுத்தால் $K+\sigma M$ சீர்மைப்படுத்தப்படுகிறது. இந்த $\sigma$ !EIGEN-இன் SIGMA மூலம் குறிப்பிடப்படுகிறது.

Lanczos முறை¶

பயன்படுத்துவதற்கான காரணம் (Jacobi முறையுடன் ஒப்பீடு)¶

பாரம்பரிய முறைகளில் Jacobi முறை நன்கு அறியப்பட்டுள்ளது.

அணியின் அளவு சிறியதாகவும் அணி அடர்த்தியானதாகவும் இருக்கும்போது இந்த முறை பயனுள்ளதாகும். ஆனால் HEC-MW கையாளும் அணிகள் பெரியவையாகவும் அடர்வற்றவையாகவும் இருப்பதால் Jacobi முறை பயன்படுத்தப்படாது; அதற்கு பதிலாக Lanczos மறுசெய்கை முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கணக்குமுறையும் பண்புகளும்¶

1950களில் C. Lanczos முன்மொழிந்த இந்த முறை, அணியை மூவிட்ட வடிவமாக மாற்றும் கணக்குமுறையாகும். இதற்கு பின்வரும் பண்புகள் உள்ளன.

இது மறுசெய்கை குவிதல் முறை; அணியை அடர்வற்ற நிலையிலேயே வைத்துக் கொண்டு கணக்கீட்டை மேற்கொள்ளலாம்.
கணக்குமுறையின் முக்கிய செயல்கள் அணி-திசையன் பெருக்கல்கள் என்பதால், இணைமயமாக்கலுக்கு ஏற்றது.
வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு வலையுடன் தொடர்புடைய வடிவியல் களப் பிரிப்புக்கு ஏற்றது.
தேவைப்படும் இயல்மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையையோ அதிர்வுமுறை வரம்பையோ கட்டுப்படுத்தித் திறமையான கணக்கீட்டை மேற்கொள்ளலாம்.

Lanczos முறை ஒரு தொடக்கத் திசையனிலிருந்து தொடங்கி, தொடர்ந்து செங்குத்தான திசையன்களை உருவாக்கி Krylov துணைவெளியின் அடித்தளத்தை அமைக்கிறது.

வரையறுக்கப்பட்ட துல்லியக் கணக்கீட்டில் முழுமையாக்கப் பிழைகள் காரணமாகத் திசையன்களின் செங்குத்துத்தன்மை இழக்கப்படலாம். இந்த விளைவைக் கட்டுப்படுத்த FrontISTR செயலாக்கம் ஏற்கெனவே பெறப்பட்ட Lanczos அடித்தளத்துடன் மறுசெங்குத்தாக்கம் செய்கிறது.

வடிவியல் விளக்கம் (Krylov துணைவெளி)¶

சமன்பாடு $\eqref{eq:2.3.8}$-இல் பின்வரும் மாறி மாற்றத்தைச் செய்தால்

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

சிக்கலை மீண்டும் எழுதும்போது

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

என்பது கிடைக்கிறது.

தன்னிச்சையான பூஜ்யமற்ற திசையன் $q_0$-க்கு

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

மேலுள்ள திசையன்கள் விரிக்கும் வெளி, அதாவது

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov துணைவெளி எனப்படுகிறது.

Lanczos முறையில் இந்த Krylov துணைவெளியின் அடித்தளம் தொடர்ச்சியாகக் கட்டமைக்கப்படுகிறது.

FrontISTR நிறை அணி $M$-உடன் தொடர்புடைய பின்வரும் உள் பெருக்கலை

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

பயன்படுத்தி அடித்தளத்தைச் செங்குத்து அலகாக்குகிறது. கீழுள்ள படங்களில் காட்டப்படும் உள் பெருக்கல் $\langle x,y\rangle$ மற்றும் நெறி $\|x\|$ ஆகியவை FrontISTR கணக்கீட்டில் முறையே இந்த $M$-உள் பெருக்கலாகவும் அதற்குரிய $M$-நெறியாகவும், அதாவது

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

விளக்கப்படுகின்றன.

தன்னிச்சையான திசையன் $q_0$-க்கு அணி $A$ வரையறுக்கும் நேரியல் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (படம் 2.3.2).

$அணி $A$ மூலம் $q_0$-இன் நேரியல் மாற்றம்$

படம் 2.3.2　அணி $A$ மூலம் $q_0$-இன் நேரியல் மாற்றம்

மாற்றப்பட்ட திசையன், மூலத் திசையனுடன் உருவாகும் வெளிக்குள் செங்குத்தாக்கப்படுகிறது. அதாவது, படம் 2.3.3-இல் காட்டியபடி Gram-Schmidt செங்குத்தாக்கம் செய்யப்படுகிறது. இவ்வாறு பெறப்பட்ட திசையனை $r_1$ எனக் கொண்டு, அதை அலகாக்கி $q_1$ பெறப்படுகிறது.

$q_0\)-க்கு செங்குத்தான திசையன் \(q_1$

படம் 2.3.3　$q_0$-க்கு செங்குத்தான திசையன் $q_1$

அதே கணக்குமுறையில் $q_1$-இலிருந்து $q_2$ பெறப்படுகிறது. அப்போது $q_2$, $q_1$ மற்றும் $q_0$ இரண்டிற்கும் செங்குத்தாக இருக்கும் (படம் 2.3.4).

$q_1\) மற்றும் $q_0$-க்கு செங்குத்தான திசையன் \(q_2$

படம் 2.3.4　$q_1$ மற்றும் $q_0$-க்கு செங்குத்தான திசையன் $q_2$

இவ்வாறு Lanczos முறை Krylov துணைவெளியின் செங்குத்து அலகாக்கப்பட்ட அடித்தளத்தைத் தொடர்ச்சியாகக் கட்டமைக்கிறது. கோட்பாட்டளவில் தொடர்புடைய இயல்மதிப்புச் சிக்கலின் சமச்சீரைப் பயன்படுத்தி, இந்த மறுசெய்கையை அண்மைய அடித்தளத் திசையன்களைப் பயன்படுத்தும் மூவுறுப்பு மீளுறவாக எழுதலாம்.

மறுபுறம், வரையறுக்கப்பட்ட துல்லியக் கணக்கீட்டால் ஏற்படும் செங்குத்துத்தன்மை இழப்பைக் கட்டுப்படுத்த, FrontISTR செயலாக்கம் ஏற்கெனவே பெறப்பட்ட Lanczos அடித்தளத்துடன் $M$-உள் பெருக்கலைப் பயன்படுத்தி மறுசெங்குத்தாக்கம் செய்கிறது.

மூவிட்டமாக்கம்¶

FrontISTR-இன் Lanczos மறுசெய்கையில், முந்தைய பிரிவில் விளக்கப்பட்ட $M$-உள் பெருக்கலுக்கேற்ப அடித்தளத் திசையன்கள் செங்குத்து அலகாக்கப்படுகின்றன; எனவே

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

என்ற தொடர்பு அமைகிறது.

சமன்பாடு $\eqref{eq:2.3.10}$-இன் அணி $A$-ஐப் பயன்படுத்தினால், கோட்பாட்டு Lanczos மறுசெய்கை

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

மேலுள்ள மூவுறுப்பு மீளுறவால் எழுதப்படுகிறது.

முதலில் $\alpha_i$-ஐப் பின்வருமாறு வரையறுக்கிறோம்.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

பின்னர் தற்காலிக எச்சத்தை

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

என வைக்கிறோம்.

வரையறுக்கப்பட்ட துல்லியக் கணக்கீட்டால் ஏற்படும் செங்குத்துத்தன்மை இழப்பைக் கட்டுப்படுத்த FrontISTR செயலாக்கம் $\tilde{r}_{i+1}$-ஐ ஏற்கெனவே பெறப்பட்ட Lanczos அடித்தளத்துடன் $M$-உள் பெருக்கலைப் பயன்படுத்தி மறுசெங்குத்தாக்கம் செய்கிறது. மறுசெங்குத்தாக்கத்திற்குப் பிந்தைய எச்சத்தை $r_{i+1}$ எனக் கொண்டால்

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

என்ற தொடர்புகள் அமைகின்றன.

Lanczos மறுசெய்கையில் பெறப்பட்ட $m$ அடித்தளத் திசையன்களை

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

எனத் தொகுத்தால், முடிவுறு எண்ணிக்கையிலான Lanczos மறுசெய்கைகளுக்குப் பின்

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

என்ற தொடர்பு அமைகிறது.

இங்கு $e_m$ என்பது $m$-பரிமாண அலகுத் திசையன்; அதன் $m$-ஆவது கூறு மட்டும் 1, மற்ற கூறுகள் அனைத்தும் பூஜ்யம். மேலும்

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

ஒரு சமச்சீர் மூவிட்ட அணி ஆகும்.

எனவே மூவிட்ட அணி $T_m$-இன் இயல்மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் மூலப் பெரிய அளவிலான இயல்மதிப்புச் சிக்கலின் இயல்மதிப்புகளைத் தோராயமாகக் கணிக்கலாம்.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்¶

அதிர்வெண் மறுமொழிப் பகுப்பாய்வு — அதிர்வுமுறைப் பகுப்பாய்வு முடிவுகளைப் பயன்படுத்தும் அதிர்வெண் மறுமொழி
பகுப்பாய்வு வகைகள் — அதிர்வுமுறைப் பகுப்பாய்வின் செயல்பாட்டு மேலோட்டம்