உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

அதிர்வெண் மறுமொழிப் பகுப்பாய்வு

சிக்கல் உருவாக்கம்

வெளிப்புற விசை காலத்துடன் ஒத்திசைவாக மாறும்போது, ஒரு அமைப்பின் நிலையான-நிலை மறுமொழி வீச்சையும் கட்டத்தையும் அதிர்வெண் களத்தில் அதிர்வெண் மறுமொழிப் பகுப்பாய்வு மதிப்பிடுகிறது. தணிப்பு உள்ளதா இல்லையா என்பதற்கேற்ப ஆளும் இயக்கச் சமன்பாடு வேறுபட்ட முறையில் கையாளப்படுவதால், இந்த அத்தியாயம் முதலில் தணிப்பில்லாத சுதந்திர அதிர்விலிருந்து அதிர்வுமுறைகளைப் பெறுகிறது; பின்னர் அவற்றை அதிர்வுமுறை அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தி தணிப்புள்ள ஒத்திசைவு மறுமொழியை விரிக்கிறது.

தணிப்பில்லாத சுதந்திர அதிர்வு மற்றும் அதிர்வுமுறைகள்

தணிப்பு புறக்கணிக்கப்படும் போது, இயக்கச் சமன்பாடு

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

ஒவ்வொரு அதிர்வுமுறையிலும் இடப்பெயர்ச்சியை விரித்தால்

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

இதனை Eq.\(\eqref{eq:2.6.1}\)-இல் பதிலிட்டால்

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

இது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட இயல்மதிப்புச் சிக்கல். இடமாற்றப்பட்ட தலைகீழ் மறுசெய்கை மற்றும் Lanczos முறை உள்ளிட்ட இதற்கான எண் தீர்வு முறைகள் அதிர்வுமுறைப் பகுப்பாய்வு-இல் விவரிக்கப்படுகின்றன. தொடர்ந்து வரும் ஒத்திசைவு-மறுமொழி விரிவாக்கத்தில் பயன்படுத்தப்படும் இயற்கை அதிர்வெண்களும் அதிர்வுமுறைகளும் கொண்ட பண்புகளை இப்பிரிவு சுருக்குகிறது.

இயற்கை அதிர்வெண்களின் மெய்த்தன்மை

இயற்கை அதிர்வெண் மெய்யெண் என்பதை பின்வருமாறு காட்டலாம். \(\omega_j^2 = \lambda_j\) எனக் கொள்வோம். Eq.\(\eqref{eq:2.6.3}\)-இன் சிக்கலெண் இணைமதிப்பை எடுத்தால் Eq.\(\eqref{eq:2.6.4}\) கிடைக்கிறது.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

\(\overline{U}_J^T\)-ஆல் பெருக்கினால்

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Eq.\(\eqref{eq:2.6.5}\)-இலிருந்து,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

நிறை அணி சமச்சீர் நேர்மறை வரையறுக்கப்பட்டதால், பூஜ்ஜியமல்லாத தனிதிசையனுக்கு

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

எனவே,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

ஆகவே, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) மெய்யெண் ஆகும்.

அதிர்வுமுறைகளின் செங்குத்துத்தன்மையும் இயல்பாக்கமும்

இரண்டு வேறுபட்ட முறைகளைக் கருதுவோம்.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

இதிலிருந்து

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

மேலும் இயல்மதிப்புகள் வேறுபட்டால்,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

எனவே, வேறுபட்ட அதிர்வுமுறைகள் நிறை அணியைப் பொறுத்து ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை. அதே முறைக்கு, Eq.\(\eqref{eq:2.6.12}\)-இல் உள்ளபடி நிறை அணியைப் பொறுத்து இயல்பாக்குவது தொடர்ந்து வரும் கையாளுதலை எளிதாக்குகிறது.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

தணிப்புடன் ஒத்திசைவு மறுமொழி

அடுத்து, தணிப்புடன் கூடிய அதிர்வெண் மறுமொழிப் பகுப்பாய்வின் உருவாக்கம் வழங்கப்படுகிறது. ஆளும் இயக்கச் சமன்பாடு Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\)-ஆல் தரப்படுகிறது.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

தணிப்பு உறுப்பு Rayleigh வகையைச் சேர்ந்ததாகக் கருதப்பட்டு Eq.\(\eqref{eq:2.6.14}\)-ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

அதிர்வுமுறை பகுப்பாய்விலிருந்து கிடைத்த தனிதிசையன்களைப் பயன்படுத்தி, நேரம் t-இல் உள்ள இடப்பெயர்ச்சி திசையனை Eq.\(\eqref{eq:2.6.15}\)-இல் உள்ளபடி விரிக்கலாம்.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

வெளிப்புற-விசை உறுப்பு பின்வரும் ஒத்திசைவு வடிவத்தில் உள்ளது எனக் கொள்வோம்:

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

பின்னர் \(b_{j}(t)\)-ஐத் தீர்மானிக்கிறோம். Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\)-இன் இயக்கச் சமன்பாடு கட்டாய அதிர்வு வடிவத்தில் இருப்பதால்,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

என்பது பொருந்தும். விரிவாக்கக் குணகம் \(b_{j}(t)\)-இன் மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகள் முறையே Eqs.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) மற்றும் \(\eqref{eq:2.6.19}\)-ஆல் தரப்படுகின்றன.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

இதன் மூலம் தேவையான ஒத்திசைவு-மறுமொழிக் குணகங்கள் கிடைக்கின்றன.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்