உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

நிலையற்ற வெப்பக் கடத்தல் பகுப்பாய்வு

வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை (Finite Element Method) மூலம் திடப்பொருளின் வெப்பக் கடத்தல் பகுப்பாய்விற்கான காலத் தனியாக்கத்தையும் மறுசெய்கைத் தீர்வு முறையையும் இங்கு காட்டுகிறோம். தொடர்மத்தில் உள்ள ஆளும் சமன்பாடுகள் மற்றும் எல்லை நிபந்தனைகளுக்கு வெப்பக் கடத்தல் சமன்பாடு பகுதியைப் பார்க்கவும்.

தனியாக்கப்பட்ட சமன்பாடு (தொடக்கப் புள்ளி)

வெப்பக் கடத்தல் சமன்பாட்டை (வெப்பக் கடத்தல் சமன்பாட்டின் சமன்பாடு (gov_he_main)) Galerkin முறையால் தனியாக்கினால்,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

இங்கு,

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

\(K\), \(M\), \(F\), \(N\) ஆகியவை முறையே வெப்பக் கடத்தல் அணி (எல்லைப் பங்களிப்புகளான வெப்பச்சலனம் மற்றும் கதிர்வீச்சுப் பதங்களையும் உட்படுத்துகிறது), நிறை அணி, வெப்பச் சுமை வெக்டர், வடிவச் செயல்பாட்டு அணி ஆகும். பொருள் பண்புக் குறியீடுகள் (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) போன்றவை) வெப்பக் கடத்தல் சமன்பாட்டில் வரையறுக்கப்பட்டவையே.

காலத் தனியாக்கமும் மறுசெய்கைத் தீர்வு முறையும்

சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.4.8}\) நேரியலற்றதும் நிலையற்றதுமான சமன்பாடு. காலத்தைப் பொறுத்து backward Euler முறையால் தனியாக்கி, \(t=t_0\) நேரத்தில் வெப்பநிலை தெரிந்திருக்கும் போது \(t=t_0+\Delta t\) நேரத்தின் வெப்பநிலையை பின்வரும் சமன்பாட்டால் கணக்கிடுகிறோம்.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

இங்கு சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.4.13}\)-ஐ தோராயமாகப் பூர்த்தி செய்யும் வெப்பநிலை வெக்டர் \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\)-ஐ மேம்படுத்தி, அதிகத் துல்லியமான தீர்வு \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\)-ஐ பெறுவது நோக்கம்.

முதலில் வெப்பநிலை வெக்டரை பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

வெப்பக் கடத்தல் அணியும் வெப்பநிலை வெக்டரும் உள்ள பெருக்கல், நிறை அணி போன்றவற்றை பின்வருமாறு தோராயப்படுத்துகிறோம்.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.4.14}\), சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.4.15}\), சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.4.16}\) ஆகியவற்றை சமன்பாடு \(\eqref{eq:2.4.13}\)-இல் பதிலிட்டு இரண்டாம் வரிசை மற்றும் அதற்கு மேற்பட்ட பதங்களைப் புறக்கணித்தால் பின்வரும் சமன்பாடு கிடைக்கும்.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

மேலும் இடப்பக்கக் குணக அணியை பின்வரும் சமன்பாட்டால் தோராயமாக மதிப்பிடுகிறோம்.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

இங்கு \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) என்பது தொடுகோட்டு விறைப்புத்தன்மை அணி.

இறுதியாக, பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி மறுசெய்கை கணக்கீடு செய்வதன் மூலம் \(t=t_0+\Delta t\) நேரத்தின் வெப்பநிலையைக் கணக்கிடலாம்.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

குறிப்பாக நிலையியல் பகுப்பாய்வில் பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி மறுசெய்கை கணக்கீடு செய்யப்படுகிறது.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

நிலையற்ற பகுப்பாய்வில் கால உயர்வு \(\Delta t\)-ஐத் தேர்வு செய்யும்போது, காலத் தனியாக்கத்திற்கு மறைமுக முறை பயன்படுத்தப்படுவதால் பொதுவாக அதன் அளவுக்கு நிலைத்தன்மை சார்ந்த கட்டுப்பாடு இல்லை. ஆனால் \(\Delta t\) மிகப் பெரியதாக இருந்தால் மறுசெய்கைக் கணக்கீடு ஒருங்குசேர்வதற்குத் தேவையான மறுசெய்கைகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும். பொதுவாக \(\Delta t\) மிகப் பெரியதாக இருக்கும்போது மறுசெய்கை எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும். செயல்பாட்டில் எச்சத் திசையனின் அளவு கண்காணிக்கப்படுகிறது; ஒருங்குசேர்வு மெதுவாக இருந்தால் \(\Delta t\) குறைக்கப்படுகிறது, மறுசெய்கை எண்ணிக்கை குறைவாக இருந்தால் \(\Delta t\) அதிகரிக்கப்படுகிறது. இவ்வாறு தானியங்கி உயர்வுக் கட்டுப்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது (விவரங்களுக்கு படிக் கட்டுப்பாடு பார்க்கவும்).

தொடர்புடைய தலைப்புகள்