உள்ளடக்கத்திற்கு செல்க

வடிவியல் எல்லை நிபந்தனைகளின் கையாளுதல்

Newton-Raphson முறை ஒவ்வொரு மறுசெய்கையிலும் \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) என்ற நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறது; ஆனால் வடிவியல் எல்லை நிபந்தனைகள் (இடப்பெயர்ச்சி கட்டுப்பாடுகள்) இன்னும் இந்தச் சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்படவில்லை. \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) என்ற இடப்பெயர்ச்சி கட்டுப்பாடு விதிக்கப்பட்ட சுதந்திர நிலைகளுக்கு, மறுசெய்கைக்குப் பிந்தைய இடப்பெயர்ச்சி குறிப்பிடப்பட்ட மதிப்பை அடையுமாறு விறைப்புத்தன்மை அணி \(\boldsymbol{K}\) மற்றும் எச்ச திசையன் \(\boldsymbol{R}\) எவ்வாறு மாற்றப்படுகின்றன என்பதை இந்த அத்தியாயம் காட்டுகிறது. பல-புள்ளி கட்டுப்பாடுகள் (MPC) மற்றும் தொடர்புடன் சேர்ந்த நேரியலல்லா கட்டுப்பாடுகள் தனியாகக் கையாளப்படுகின்றன; பல-புள்ளி கட்டுப்பாடுகள் மற்றும் தொடர்பு ஆகியவற்றைப் பார்க்கவும்.

இடப்பெயர்ச்சி கட்டுப்பாடுகளை அறியப்படாத மாறிகளாகத் தக்கவைக்கும் கொள்கை

வடிவியல் எல்லை நிபந்தனைக்கு உட்பட்ட கணுவின் இடப்பெயர்ச்சி இனி அறியப்படாத மாறி அல்ல; அது குறிப்பிடப்பட்ட மதிப்பு \(\bar{u}_i\)-க்கு நிலைப்படுத்தப்படுகிறது. இச்சுதந்திர நிலைகளை மாறிலிகளாக அல்லாது மாறாத மதிப்புகளாகக் கொண்டு \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) என்ற நேரியல் சமன்பாட்டிலிருந்து நீக்கலாம். ஆனால் FrontISTR, கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சுதந்திர நிலைகளையும் மற்ற சுதந்திர நிலைகளைப் போலவே திருத்தத் திசையன் \(d\boldsymbol{u}\)-இல் வைத்துக்கொண்டு, \(\boldsymbol{K}\) மற்றும் \(\boldsymbol{R}\)-ஐ மாற்றுவதன் மூலம் கட்டுப்பாடுகளை நிறைவேற்றுகிறது.

இந்த முறையில், கட்டுப்பாடுகள் உள்ளதா இல்லையா என்பதைக் கொண்டு குணக அணியின் பரிமாணங்களோ சுதந்திர நிலைகளின் வரிசையோ மாறாது; எனவே மாறிகளை நீக்கி காலியான வரிசைகளையும் நிரல்களையும் மறுபொதி செய்ய வேண்டியதில்லை. குணக அணியை விரவலான-அணி வடிவில் சேமிக்கும் செயலாக்கத்தில் இத்தகைய மறுபொதி சிரமமானதால், FrontISTR கட்டுப்பாடுகளை குணக அணி மற்றும் வலப்பக்கத்தைப் புதுப்பிப்பதன் மூலமே நிறைவேற்றும் பிந்தைய முறையை ஏற்கிறது.

Newton-Raphson திருத்தங்களுக்கான இலக்கு மதிப்பு

இடப்பெயர்ச்சி கட்டுப்பாடுடைய சுதந்திர நிலை \(i\)-க்கு, Newton-Raphson மறுசெய்கையில் பெறப்படும் திருத்தம் \(du_i\) பின்வருமாறு இருக்கட்டும்:

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1-ஆம் மறுசெய்கை}) \\ 0 & (\text{2-ஆம் மற்றும் அடுத்தடுத்த மறுசெய்கைகள்}) \end{cases} \]

திருத்தம் இந்த மதிப்பை எடுக்குமாறு \(\boldsymbol{K}\) மற்றும் \(\boldsymbol{R}\)-ஐ மாற்றவும். இதனால் முதல் மறுசெய்கையில் இடப்பெயர்ச்சி அதிகரிப்பு குறிப்பிடப்பட்ட மதிப்பு \(\bar{u}_i\)-ஐ அடைகிறது; இரண்டாவது மறுசெய்கையிலிருந்து திருத்தம் \(0\) ஆகி குறிப்பிடப்பட்ட மதிப்பு நிலைநிறுத்தப்படுகிறது.

அணி மற்றும் எச்ச திசையனை மாற்றும் நடைமுறை

\(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) என்ற நேரியல் சமன்பாட்டின் வடிவத்தைத் தக்கவைத்தே, முந்தைய பிரிவில் கூறிய இலக்கு மதிப்பு பின்வரும் இரண்டு மாற்றங்களால் அடையப்படுகிறது.

  1. வரிசை \(i\)-ஐ மூலைவிட்ட ஆக்குதல்: \(du_i\)-ன் குணகமான மூலைவிட்ட உறுப்பு \(K_{ii}\)-ஐ \(1\) ஆக மாற்றி, மற்ற எல்லா குணகங்கள் \(K_{ij}\ (j \not= i)\)-ஐ \(0\) ஆக மாற்றி, வலப்பக்கத்தை \(R_i \to d\bar{u}_i\) என அமைக்கவும். அப்போது வரிசை \(i\)-இன் சமன்பாடு \(du_i = d\bar{u}_i\) ஆகும்.
  2. வரிசைகள் \(j(\not= i)\)-இலிருந்து மாற்றுதல்: ஒவ்வொரு வரிசை \(j(\not= i)\)-க்கும் \(K_{ji} \not= 0\) எனில், \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) உறுப்பை வலப்பக்கத்துக்கு மாற்றவும். அதாவது, வலப்பக்கத்திலிருந்து \(K_{ji} d\bar{u}_i\)-ஐ கழித்து, \(du_i\)-ன் குணகம் \(K_{ji}\)-ஐ \(0\) ஆக அமைக்கவும்.

கூறு வடிவில், மாற்றத்திற்கு முன்பும் பின்பும் உள்ள சமன்பாடுகள் பின்வருமாறு தொடர்புடையவை.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

மாற்றப்பட்ட குணக அணி மற்றும் வலப்பக்கம் முறையே \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) எனக் குறிக்கப்படட்டும். இறுதியாகத் தீர்க்க வேண்டிய நேரியல் சமன்பாடு

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

பல கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சுதந்திர நிலைகள் இருந்தால், மேலுள்ள மாற்றங்கள் 1 மற்றும் 2 ஒவ்வொரு கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சுதந்திர நிலை \(i\)-க்கும் தொடர்ச்சியாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

விரவலான-அணி செயலாக்கத்தில் செயலாக்க வரம்பு

செயலாக்கத்தில் குணக அணி \(\boldsymbol{K}\) விரவலான-அணி வடிவில் சேமிக்கப்படுகிறது. எனவே முந்தைய பிரிவின் நடைமுறை 2-இல் உள்ள வரிசைகள் \(j(\not= i)\) மீதான செயலாக்கம், நிரல் \(i\)-இல் பூஜ்ஜியமல்லாத உறுப்புகள் உள்ள வரிசைகளுக்கு மட்டும், அதாவது கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சுதந்திர நிலை \(i\)-உடன் உறுப்புகள் வழியாக இணைக்கப்பட்ட கணுக்களின் சுதந்திர நிலைகளுக்கு மட்டும் செய்யப்படுகிறது. இணைக்கப்படாத சுதந்திர நிலைகளுக்கு \(K_{ji} = 0\) என்பதால், உறுப்பை மாற்றுவது வலப்பக்கத்தை மாற்றாது. இந்த வரம்பு, மொத்த கணுக்களின் எண்ணிக்கையைச் சாராமல் உள்ளகச் செயல்பாடுகள் மட்டும் கொண்டு கட்டுப்பாட்டு செயலாக்கத்தை முடிக்க அனுமதிக்கிறது.

தொடர்புடைய தலைப்புகள்