సమాచారానికి వెళ్లండి

Translation update pending

The Telugu translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

అరేఖీయ పునరావృతం మరియు కాల సమాకలనం

FrontISTR విశ్లేషణలో ప్రతి దశకు వృద్ధి నియంత్రణలో, ప్రతి ఉపదశలో అరేఖీయ పునరావృతం మరియు కాల సమాకలనాన్ని కలిపి పరిష్కారాన్ని ముందుకు తీసుకెళ్తారు. ఈ పేజీ బాహ్య దశ నియంత్రణ మరియు అంతర్గత రేఖీయ సాల్వర్ మధ్యనున్న పునరావృత నిర్మాణాన్ని వివరిస్తుంది: Newton-Raphson పునరావృతం, సంపర్క పునరావృతం, గతి విశ్లేషణ కాల సమాకలనం, అలాగే అస్థిర ఉష్ణ వాహక విశ్లేషణలో కాల పురోగతి మరియు అరేఖీయ పునరావృతం.

ఫీచర్ల అవలోకనం

ఒక దశలో జరిగే అరేఖీయ పరిష్కారం మరియు కాల సమాకలనం, బయట నుంచి లోపలికి అనేక నెస్టెడ్ లూప్‌లుగా ఏర్పడతాయి. ప్రతి స్థాయి క్రింది పాత్రను నిర్వహిస్తుంది.

స్థాయి పాత్ర ప్రధాన సూచన పేజీ
దశ లూప్ మొత్తం విశ్లేషణను అనేక దశలుగా విభజించి, సరిహద్దు షరతులు, లోడ్లు, సంపర్కం మరియు మూలక సక్రియతను మార్చుతుంది. దశ నియంత్రణ
ఉపదశ లూప్ ఒక దశను కాల వృద్ధులుగా విభజించి, స్థిర వృద్ధి లేదా స్వయంచాలక వృద్ధి మరియు cutback ద్వారా ముందుకు సాగుతుంది. దశ నియంత్రణ
కాల సమాకలన స్థితి పురోగతి గతి విశ్లేషణ మరియు అస్థిర ఉష్ణ వాహక విశ్లేషణలో మునుపటి దశ స్థితి నుండి తదుపరి సమయ స్థితిని పొందుతుంది. ఈ పేజీ
సంపర్క స్థితి శోధన లూప్ సంపర్క విశ్లేషణలో సంపర్క స్థితి (అంటుకోవడం/విడిపోవడం) మార్పులను శోధించి దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్ నిర్మాణాన్ని నవీకరిస్తుంది. ఈ పేజీ
విస్తరిత Lagrange బాహ్య పునరావృతం ALAGRANGE సంపర్కంలో సంపర్క నిర్బంధ ఖచ్చితత్వాన్ని దశలవారీగా మెరుగుపరుస్తుంది. ఈ పేజీ
Newton పునరావృతం అరేఖీయ సమతుల్యత సమీకరణాన్ని Newton-Raphson పద్ధతితో పునరావృతంగా పరిష్కరిస్తుంది. ఈ పేజీ
రేఖీయ సమకాలీన సమీకరణాల పరిష్కారం ప్రతి Newton పునరావృతంలో ట్యాంజెంట్ దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్ ఆధారిత రేఖీయ వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తుంది. సాల్వర్ మరియు ప్రీకండిషనింగ్

విశ్లేషణ రకాన్ని బట్టి ఈ స్థాయిలలో ఎన్ని ఉపయోగించబడతాయో మారుతుంది.

విశ్లేషణ రకం కాల సమాకలనం సంపర్క స్థితి శోధన బాహ్య పునరావృతం Newton పునరావృతం
రేఖీయ స్థిర విశ్లేషణ — — — —
అరేఖీయ స్థిర విశ్లేషణ (సంపర్కం లేదు) — — — ఉంది
అరేఖీయ స్థిర విశ్లేషణ (SLAGRANGE సంపర్కం) — ఉంది — ఉంది
అరేఖీయ స్థిర విశ్లేషణ (ALAGRANGE సంపర్కం) — ఉంది ఉంది ఉంది
గతి విశ్లేషణ అవ్యక్త పద్ధతి Newmark-β — — ఉంది (అరేఖీయ సందర్భంలో)
గతి విశ్లేషణ వ్యక్త పద్ధతి కేంద్ర వ్యత్యాసం — — —
పౌనఃపున్య ప్రతిస్పందన విశ్లేషణ మోడ్ సూపర్‌పోజిషన్ — — —
అస్థిర ఉష్ణ వాహక విశ్లేషణ Crank-Nicolson / Backward Euler — — ఉంది (పదార్థ లక్షణాలు ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడినప్పుడు)
స్థిర ఉష్ణ వాహక విశ్లేషణ — — — ఉంది (పదార్థ లక్షణాలు ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడినప్పుడు)

సంపర్క రకం మరియు అల్గోరిథం ఎంపిక కోసం సంపర్కం మరియు ఎంబెడింగ్ చూడండి. ఈ పేజీ ఎంచుకున్న అల్గోరిథం పునరావృత లూప్‌లుగా ఎలా నిర్మించబడుతుందో వివరిస్తుంది.

పరిష్కార విధానం ఎంపిక

పునరావృత నిర్మాణం విశ్లేషణ రకం (విశ్లేషణ రకం), అరేఖీయత ఉనికి (జ్యామితీయ అరేఖీయత, పదార్థ అరేఖీయత, సంపర్కం), మరియు సంపర్క అల్గోరిథం (SLAGRANGE లేదా ALAGRANGE) ఆధారంగా స్వయంచాలకంగా నిర్ణయించబడుతుంది. వినియోగదారు నేరుగా సర్దుబాటు చేసేవి గరిష్ఠ పునరావృతాల సంఖ్య మరియు అభిసరణ ప్రమాణాలు.

సర్దుబాటు మార్గదర్శకాలు క్రిందివి.

  • గరిష్ఠ పునరావృతాల సంఖ్యకు సాధారణ విశ్లేషణలో డిఫాల్ట్ విలువ సరిపోతుంది. అభిసరణ కష్టమైన సమస్యలో గరిష్ఠ పునరావృతాలకు చేరి అభిసరించకపోతే, ముందుగా cutback (దశ నియంత్రణ) ఉపయోగించండి; దానితో మెరుగుదల లేకపోతే పరిమితిని పెంచండి.
  • అభిసరణ ప్రమాణాన్ని విశ్లేషణ స్థిరత్వం మరియు గణన సమయం మధ్య సమతుల్యంగా సర్దుబాటు చేయాలి. కఠిన ప్రమాణం సమతుల్యత ఖచ్చితత్వాన్ని పెంచుతుంది కానీ పునరావృతాల సంఖ్య కూడా పెరుగుతుంది. సంపర్క విశ్లేషణ లేదా Lagrange గుణకాలున్న విశ్లేషణలో అవశేష ప్రమాణంతో పాటు స్థానచలన వృద్ధి మరియు Lagrange ప్రమాణాలను ఉపయోగిస్తే స్థిరత్వం మెరుగుపడుతుంది.
  • గతి విశ్లేషణ కాల సమాకలన పరామితులు (Newmark-β గుణకాలు) ప్రామాణిక విలువలతో ప్రారంభించి, కంపన ప్రతిస్పందనలో సంఖ్యాత్మక డ్యాంపింగ్ లక్షణాలను మార్చాలనుకున్నప్పుడు సర్దుబాటు చేయాలి.
  • అస్థిర ఉష్ణ వాహక విశ్లేషణలో ఉష్ణోగ్రత మార్పు మృదువుగా ఉంటే Crank-Nicolson, అకస్మాత్తు మార్పులు లేదా దీర్ఘకాల స్థిరత్వం ముఖ్యమైతే Backward Euler ఎంచుకోండి.

స్థిర విశ్లేషణలో Newton-Raphson పునరావృతం

అరేఖీయ స్థిర విశ్లేషణలో జ్యామితీయ లేదా పదార్థ అరేఖీయత కలిగిన సమతుల్యత సమీకరణాన్ని Newton-Raphson పద్ధతితో పునరావృతంగా పరిష్కరిస్తారు. ప్రతి పునరావృతం క్రింది విధంగా సాగుతుంది.

  1. ప్రస్తుత పరిష్కారంలో అవశేష వెక్టర్ \(\boldsymbol{R}\) ను మూల్యాంకనం చేయండి.
  2. ట్యాంజెంట్ దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్ \(\boldsymbol{K}_T\) ను అసెంబుల్ చేయండి.
  3. రేఖీయ వ్యవస్థ \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) ను పరిష్కరించి స్థానచలన సవరణ \(\Delta \boldsymbol{u}\) పొందండి.
  4. పరిష్కారాన్ని \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) గా నవీకరించండి.
  5. అభిసరణ ప్రమాణంతో పోల్చి, అభిసరించినట్లయితే పునరావృతాన్ని ముగించండి; లేదంటే దశ 1 కు తిరిగి వెళ్లండి.

రేఖీయ వ్యవస్థ పరిష్కారం (దశ 3) రేఖీయ సాల్వర్ నిర్వహిస్తుంది. సాల్వర్ మరియు ప్రీకండిషనింగ్ ఎంపిక కోసం సాల్వర్ మరియు ప్రీకండిషనింగ్ చూడండి.

పునరావృత నియంత్రణ !STEP దశ నియంత్రణ పరామితులతో జరుగుతుంది. ప్రధాన విలువలు క్రిందివి.

పాత్ర పరామితి
గరిష్ఠ పునరావృతాల సంఖ్య. పరిమితి చేరి అభిసరించకపోతే cutback వర్తిస్తుంది. MAXITER
అవశేష నార్మ్ సాపేక్ష విలువ ఆధారిత అభిసరణ ప్రమాణం. CONVERG
స్థానచలన సవరణ నార్మ్ నిష్పత్తి ఆధారిత అభిసరణ ప్రమాణం. అవశేష ప్రమాణంతో కలిపి ఉపయోగిస్తే స్థిరత్వం మెరుగుపడుతుంది. CONVERG_DDISP
అవశేష నార్మ్ విభేదన పరిమితి. దానిని మించిన వెంటనే పునరావృతం ముగుస్తుంది. MAXRES

దశ నియంత్రణ లో స్వయంచాలక వృద్ధి మరియు cutback నిర్ణయానికి ఉపయోగించే Newton పునరావృతాల గరిష్ఠ సంఖ్య, ఇక్కడ వివరించిన Newton పునరావృతాల సంఖ్యనే సూచిస్తుంది. స్వయంచాలక వృద్ధి, తక్కువ పునరావృతాలతో ముగిసిన ఉపదశ తరువాత కాల వృద్ధిని పెంచి, ఎక్కువ పునరావృతాలు అవసరమైన ఉపదశ తరువాత తగ్గిస్తుంది.

స్థిర విశ్లేషణలో సంపర్క పునరావృతం

సంపర్క విశ్లేషణలో అంటుకోవడం, విడిపోవడం, జారడం వల్ల పునరావృత సమయంలో సంపర్క స్థితి మారుతుంది; అందువల్ల Newton పునరావృతాన్ని సంపర్క స్థితి నవీకరణతో కలుపుతారు. నిర్మాణం సంపర్క పరిష్కార అల్గోరిథాన్ని బట్టి మారుతుంది.

రెండు అల్గోరిథాలకూ బయటివైపు సంపర్క స్థితి శోధన లూప్ ఉంటుంది. ప్రతి చక్రంలో లోపలి Newton పునరావృతం అభిసరించిన తరువాత సంపర్క స్థితి (అంటుకోవడం/విడిపోవడం) మళ్లీ మూల్యాంకనం చేస్తారు; స్థితి మారితే దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్ నిర్మాణాన్ని నవీకరించి లోపలి పునరావృతాన్ని మళ్లీ నడుపుతారు. సంపర్క స్థితి మారకుండా ఉండి, సంపర్క అభిసరణ ప్రమాణం (సంపర్క బలం/Lagrange గుణకం) నెరవేరినప్పుడు లూప్ ముగుస్తుంది. గరిష్ఠ సంఖ్యను !STEP లో MAXCONTITER తో పేర్కొంటారు.

SLAGRANGE సంపర్కంలో ప్రామాణిక Lagrange గుణక పద్ధతితో సంపర్క స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలను రేఖీయ వ్యవస్థలో చేర్చి, సంపర్క స్థితి శోధన లూప్ లోపల Newton పునరావృతాన్ని నేరుగా ఉంచే రెండు-స్థాయి నిర్మాణం ఉంటుంది. విస్తరిత Lagrange పునరావృతం ఉండదు.

ALAGRANGE సంపర్కంలో సంపర్క స్థితి శోధన లూప్ లోపల విస్తరిత Lagrange పునరావృతం, దాని లోపల Newton పునరావృతం ఉండే మూడు-స్థాయి నిర్మాణం ఉంటుంది. ప్రతి విస్తరిత Lagrange పునరావృతంలో పెనాల్టీ పదం మరియు Lagrange గుణకం కలయికతో సంపర్క నిర్బంధాన్ని మళ్లీ మూల్యాంకనం చేసి ఖచ్చితత్వాన్ని దశలవారీగా మెరుగుపరుస్తారు. గరిష్ఠ విస్తరిత Lagrange పునరావృతాల సంఖ్య !CONTACT_ALGO లో AUGITER తో పేర్కొంటారు.

సంపర్క పునరావృత నియంత్రణ విలువలు క్రిందివి.

పాత్ర సెట్టింగ్
సంపర్క స్థితి శోధన లూప్ గరిష్ఠ సంఖ్య. SLAGRANGE మరియు ALAGRANGE రెండింటిలో ఉపయోగిస్తారు. !STEP లో MAXCONTITER
విస్తరిత Lagrange పునరావృతాల గరిష్ఠ సంఖ్య. ALAGRANGE లో మాత్రమే ఉపయోగిస్తారు. !CONTACT_ALGO లో AUGITER
Lagrange గుణక సవరణకు అభిసరణ ప్రమాణం. సంపర్క విశ్లేషణలో అవశేష ప్రమాణంతో కలిపి ఉపయోగిస్తారు. !STEP లో CONVERG_LAG

దశ నియంత్రణ స్వయంచాలక వృద్ధి నిర్ణయంలో ఉపయోగించే సంపర్క పునరావృతాల సంఖ్య, ఇక్కడ వివరించిన సంపర్క స్థితి నవీకరణలను కలిగిన పునరావృతాల సంఖ్య. తరచుగా అంటుకోవడం/విడిపోవడం జరిగే విశ్లేషణల్లో ఈ సంఖ్య పెరుగుతుంది; ఇది స్వయంచాలక వృద్ధి మరియు cutback నిర్ణయాన్ని కూడా ప్రభావితం చేస్తుంది. సంపర్క రకం, జంట నిర్వచనం, అల్గోరిథం ఎంపిక కోసం సంపర్కం మరియు ఎంబెడింగ్, సంపర్క స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలున్న రేఖీయ వ్యవస్థ పరిష్కారం కోసం సాల్వర్ మరియు ప్రీకండిషనింగ్ చూడండి.

గతి విశ్లేషణ కాల సమాకలనం (అవ్యక్త పద్ధతి)

గతి విశ్లేషణ అవ్యక్త పద్ధతి Newmark-β పద్ధతితో ప్రతి కాల దశలో తదుపరి సమయ స్థానచలనం, వేగం, త్వరణాన్ని అనుసంధానించి, చలన సమీకరణంతో కలిపి \(t + \Delta t\) స్థితిని పొందుతుంది. కాల దశ \(\Delta t\) పై స్థిరత్వ పరిమితి సడలింపుగా ఉండటంతో తక్కువ పౌనఃపున్య భాగాలు ఆధిపత్యం చేసే నిర్మాణ ప్రతిస్పందనను సమర్థవంతంగా పరిష్కరించవచ్చు.

కాల సమాకలన పరామితులు రెండు.

పరామితి పాత్ర
\(\beta\) స్థానచలన కాల ఇంటర్‌పోలేషన్ గుణకం.
\(\gamma\) వేగ కాల ఇంటర్‌పోలేషన్ గుణకం.

\(\beta = 1/4\), \(\gamma = 1/2\) కలయికను సగటు త్వరణ పద్ధతి అంటారు; ఇది నిబంధనలేని స్థిరత్వంతో, సంఖ్యాత్మక డ్యాంపింగ్ లేకుండా ఉండే ప్రామాణిక ఎంపిక. సంఖ్యాత్మక డ్యాంపింగ్ కావాలంటే \(\gamma\) ను \(1/2\) కంటే ఎక్కువగా తీసుకోండి. విలువల కలయికలు, స్థిరత్వం మరియు లోప లక్షణాల గణిత వివరాలకు సిద్ధాంత మాన్యువల్ చూడండి.

అరేఖీయత (జ్యామితీయ, పదార్థ, సంపర్కం) ఉంటే ప్రతి కాల దశలో Newton పునరావృతం నిర్వహించి, దాని లోపల రేఖీయ వ్యవస్థను పరిష్కరించి స్థితిని నవీకరిస్తారు. అభిసరణకు స్థిర విశ్లేషణతో సాధారణమైన CONVERG మొదలైనవి ఉపయోగిస్తారు. సంపర్కం ఉన్న గతి విశ్లేషణలో స్థిర విశ్లేషణలో సంపర్క పునరావృతం తో సమానమైన నిర్మాణం కాల దశలో చేర్చబడుతుంది.

గతి విశ్లేషణ కాల దశ ప్రధానంగా !STEP సమయ షరతులతో నియంత్రించబడుతుంది. స్థిర వృద్ధిలో !STEP లో DTIME కాల దశ, ETIME దశ సమయ వెడల్పు. !DYNAMIC లో n_step, t_delta అనేవి !STEP లేకపోతే లేదా వెనుక అనుకూలత కోసం డిఫాల్ట్‌లుగా ఉపయోగిస్తారు. అరేఖీయ అవ్యక్త పద్ధతిలో !STEP లో INC_TYPE=AUTO తో స్వయంచాలక వృద్ధి మరియు cutback సక్రియం చేసి Newton/సంపర్క పునరావృత పరిస్థితిని బట్టి కాల దశను పెంచవచ్చు లేదా తగ్గించవచ్చు. స్థిర లేదా స్వయంచాలక వృద్ధి రెండింటిలోనూ కాల దశను అభిసరణ మరియు అవసరమైన ఖచ్చితత్వం రెండింటినీ పరిగణించి ఎంచుకోవాలి.

గతి విశ్లేషణ కాల సమాకలనం (వ్యక్త పద్ధతి)

గతి విశ్లేషణ వ్యక్త పద్ధతి కేంద్ర వ్యత్యాస పద్ధతితో మునుపటి సమయ స్థానచలనం, వేగం, త్వరణం సమాచారం నుంచే తదుపరి స్థితిని నేరుగా గణిస్తుంది. సమకాలీన సమీకరణాలను పరిష్కరించనందున ఒక్క కాల దశకు గణన వ్యయం తక్కువ. అరేఖీయత ఉన్నా ప్రతి కాల దశలో Newton పునరావృతం లేకుండా ఒక్క దశ నవీకరణ జరుగుతుంది.

కాల దశకు వ్యవస్థ కనిష్ఠ సహజ కాలంపై ఆధారిత స్థిరత్వ పరిమితి (CFL షరతు) ఉంటుంది. దానిని మించిన కాల దశలో సంఖ్యాత్మక పరిష్కారం విభేదిస్తుంది; కాబట్టి అవ్యక్త పద్ధతిలా పెద్ద కాల దశలను ఉపయోగించలేరు. ఝలక్, తరంగ ప్రసారం, అధిక వేగ సంపర్కం వంటి స్వభావతః చిన్న కాల దశలు అవసరమైన ఘటనలకు వ్యక్త పద్ధతి అనుకూలం.

సంపర్కం ఉంటే Forward Increment Lagrange పద్ధతితో సంపర్క నిర్బంధాన్ని నిర్వహించి, వ్యక్త పద్ధతి ఒక్క దశ నవీకరణకు అనుగుణంగా సంపర్క బలాన్ని మూల్యాంకనం చేస్తారు.

పౌనఃపున్య ప్రతిస్పందన విశ్లేషణ పరిష్కారం

పౌనఃపున్య ప్రతిస్పందన విశ్లేషణ మోడ్ సూపర్‌పోజిషన్ ద్వారా ఆవర్తన స్థిర ప్రతిస్పందనను పౌనఃపున్య డొమైన్‌లో నేరుగా లెక్కిస్తుంది. ఉత్తేజన పౌనఃపున్యాన్ని మార్చుతూ ప్రతిస్పందనను మూల్యాంకనం చేస్తుంది; కాల చరిత్రను పునరావృతంగా అనుసరించాల్సిన అవసరం లేదు. అరేఖీయ పునరావృతం లేదా కాల సమాకలనం చేయదు.

పౌనఃపున్య ప్రతిస్పందన విశ్లేషణకు ముందుగా అదే వ్యవస్థపై మోడ్ విశ్లేషణ చేసి అవసరమైన సహజ మోడ్‌లను పొందాలి. ఇది రేఖీయ మోడళ్లకే మద్దతిస్తుంది; జ్యామితీయ లేదా పదార్థ అరేఖీయత సక్రియంగా ఉంటే అమలు చేయలేరు. విశ్లేషణ రకాల స్థానం కోసం విశ్లేషణ రకం చూడండి.

అస్థిర ఉష్ణ వాహక విశ్లేషణలో కాల పురోగతి మరియు అరేఖీయ పునరావృతం

అస్థిర ఉష్ణ వాహక విశ్లేషణకు !HEAT లోనే పూర్తయ్యే స్వతంత్ర కాల లూప్ ఉంటుంది. నిర్మాణ విశ్లేషణలోని !STEP, !AUTOINC_PARAM కు వేరుగా కాల దశ నియంత్రించబడుతుంది; పదార్థ లక్షణాలు ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడితే ప్రతి కాల దశలో అరేఖీయ పునరావృతం జరుగుతుంది.

కాల సమాకలన స్కీమ్‌ను !HEAT లో \(\beta\) పరామితితో ఎంచుకుంటారు.

\(\beta\) స్కీమ్ లక్షణాలు
0.5 Crank-Nicolson పద్ధతి ద్వితీయ క్రమ ఖచ్చితత్వం; ఉష్ణోగ్రత మార్పు మృదువుగా ఉన్న సమస్యలకు అనుకూలం.
1.0 Backward Euler పద్ధతి ప్రథమ క్రమ ఖచ్చితత్వం; నిబంధనలేని స్థిరత్వంతో దీర్ఘకాల విశ్లేషణ లేదా అకస్మాత్తు ఉష్ణ మార్పుల్లో స్థిరత్వం సులభంగా పొందవచ్చు.

కాల దశ ప్రారంభ కాల దశ, కనిష్ఠ కాల దశ, ఒక్క దశలో గరిష్ఠ ఉష్ణోగ్రత మార్పును కలిపి అనుకూలంగా నియంత్రించబడుతుంది. ప్రతి గణన తరువాత ఉష్ణోగ్రత మార్పు DELTMX మిస్తే కాల దశను తగ్గించి మళ్లీ గణిస్తారు. కాల దశ DTMIN కంటే తక్కువైతే విశ్లేషణ నిలిపివేయబడుతుంది.

పదార్థ లక్షణాలు ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడితే ప్రతి కాల దశలో అరేఖీయ పునరావృతం జరుగుతుంది. నియంత్రణ క్రిందివిధంగా ఉంటుంది.

పాత్ర పరామితి
అరేఖీయ పునరావృతాల గరిష్ఠ సంఖ్య. !HEAT లో ITMAX
అభిసరణ ప్రమాణం. !HEAT లో EPS

స్థిర ఉష్ణ వాహక విశ్లేషణలో కాల దశ ఉపయోగించరు; పదార్థం ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడితే అరేఖీయ పునరావృతం మాత్రమే జరుగుతుంది. ఉష్ణ వాహక విశ్లేషణ కాల నియంత్రణ నిర్మాణ విశ్లేషణ !STEP నుండి స్వతంత్రం; కాల దశ సర్దుబాటుకు !HEAT సెట్టింగ్‌లను తనిఖీ చేయండి.

సంబంధిత అంశాలు