సమాచారానికి వెళ్లండి

రేఖీయ స్థితిస్థాపక స్థిర విశ్లేషణ (పరిచయం)

ఇక్కడ సూక్ష్మ వికృతి సిద్ధాంతం ఆధారంగా స్థితిస్థాపక స్థిర విశ్లేషణ యొక్క సూత్రీకరణను చూపుతాము. స్ట్రెస్-స్ట్రెయిన్ సంబంధానికి రేఖీయ స్థితిస్థాపకతను ఊహించాము. ఈ అధ్యాయం పరిమిత మూలకాల పద్ధతి ద్వారా నిర్మాణ విశ్లేషణ యొక్క సమగ్ర రూపాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి పరిచయంగా ఉద్దేశించబడింది; ఒకే అధ్యాయంగా స్వతంత్రంగా చదవగల విధంగా రూపొందించబడింది.

వర్చువల్ పని సూత్రం యొక్క సాధారణ సిద్ధాంతం (ప్రస్తుత ఆకృతి వ్యక్తీకరణ, ప్రారంభ ఆకృతి వ్యక్తీకరణ, సూక్ష్మ వికృతికి తగ్గింపు) కోసం వర్చువల్ పని సూత్రం, రేఖీయ స్థితిస్థాపక నిర్మాణ సమీకరణ వివరాలకు రేఖీయ స్థితిస్థాపకత, టెన్సర్ నోటేషన్ మరియు Voigt నోటేషన్ నియమాలకు టెన్సర్ నోటేషన్ మరియు గణిత ప్రాథమికాలు, పరిమిత వికృతి యొక్క సాధారణ సూత్రీకరణకు చలనం, వికృతి మరియు స్ట్రెయిన్, అరేఖీయ సమస్యల పరిష్కార పద్ధతులకు ట్యాంజెంట్ స్టిఫ్‌నెస్ మ్యాట్రిక్స్ చూడండి.

ప్రాథమిక సమీకరణాలు

సూక్ష్మ వికృతి మరియు రేఖీయ స్థితిస్థాపకత ఊహల కింద ఘన యాంత్రిక శాస్త్రంలోని సరిహద్దు-విలువ సమస్య సమతుల్యత సమీకరణం, యాంత్రిక సరిహద్దు పరిస్థితులు మరియు జ్యామితీయ సరిహద్దు పరిస్థితులు (మూల సరిహద్దు పరిస్థితులు) కలిగి ఉంటుంది (చిత్రం 2.1.1 చూడండి):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{లో} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{పై} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{పై} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

ఇక్కడ \(\boldsymbol{\sigma}\) అనేది Cauchy స్ట్రెస్, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) అనేది ఏకక ఘనపరిమాణానికి శరీర బలం, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) అనేది నిర్దేశిత ఉపరితల బలం, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) అనేది నిర్దేశిత స్థానచలనం, మరియు \(S_t, S_u\) వరుసగా యాంత్రిక మరియు జ్యామితీయ సరిహద్దులు.

ఘన యాంత్రిక శాస్త్రంలోని సరిహద్దు-విలువ సమస్య (సూక్ష్మ వికృతి సమస్య)

చిత్రం 2.1.1 ఘన యాంత్రిక శాస్త్రంలోని సరిహద్దు-విలువ సమస్య (సూక్ష్మ వికృతి సమస్య)

సమమిత గ్రేడియెంట్ ఆపరేటర్ ను ఉపయోగిస్తే స్ట్రెయిన్-స్థానచలన సంబంధం

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

రేఖీయ స్థితిస్థాపక నిర్మాణ సమీకరణం

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

గా ఇవ్వబడుతుంది (\(\boldsymbol{C}\) నాల్గవ క్రమ స్థితిస్థాపక టెన్సర్).

వర్చువల్ పని సూత్రం

వర్చువల్ పని సూత్రం యొక్క సాధారణ రూపాలు (ప్రస్తుత ఆకృతి వ్యక్తీకరణ, ప్రారంభ ఆకృతి వ్యక్తీకరణ, సూక్ష్మ వికృతికి తగ్గింపు) వర్చువల్ పని సూత్రంలో సమీకరించబడ్డాయి. సూక్ష్మ వికృతి మరియు రేఖీయ స్థితిస్థాపకత ఊహల కింద బలహీన రూపం

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{పై} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

గా ఉంటుంది. నిర్మాణ సమీకరణం \eqref{eq:2.1.5} ను ప్రత్యామ్నాయించి, Voigt నోటేషన్లో \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) గా వ్రాస్తే, వివిక్తీకరణకు నేరుగా ఉపయోగించే రూపం

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

లభిస్తుంది (\(D\) అనేది రేఖీయ స్థితిస్థాపకతలోని స్థితిస్థాపక మ్యాట్రిక్స్). సమీకరణం \eqref{eq:2.1.10} మరియు సమీకరణం \eqref{eq:2.1.7} దిగువ వివిక్తీకరణలో ఉపయోగించే వర్చువల్ వర్క్ సూత్రాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

వివిక్తీకరణ మరియు గ్లోబల్ సమీకరణ అసెంబ్లీ

వర్చువల్ పని సూత్రం సమీకరణం\( \eqref{eq:2.1.10} \)ను ప్రతి పరిమిత మూలకానికి వివిక్తీకరిస్తే క్రింది సమీకరణం లభిస్తుంది.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

ప్రతి ఎలిమెంట్‌కు, ఆ ఎలిమెంట్‌ను నిర్మించే నోడ్‌ల స్థానచలనాలను ఉపయోగించి స్థానచలన క్షేత్రాన్ని క్రింది విధంగా అంతర్వేశనం చేస్తారు.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

ఈ సమయంలో స్ట్రెయిన్‌ను సమీకరణం\(\eqref{eq:2.1.4}\) ఉపయోగించి క్రింది విధంగా ఇస్తారు.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

సమీకరణాలు\(\eqref{eq:2.1.12}\), \(\eqref{eq:2.1.13}\) ను సమీకరణం\(\eqref{eq:2.1.11}\)లో ప్రత్యామ్నాయిస్తే క్రింది సమీకరణం లభిస్తుంది.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

సమీకరణం\(\eqref{eq:2.1.14}\)ను క్రింది విధంగా సమీకరించవచ్చు.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

ఇక్కడ, సమీకరణాలు\(\eqref{eq:2.1.16}\), \(\eqref{eq:2.1.17}\)లో నిర్వచించిన మ్యాట్రిక్స్ మరియు వెక్టర్ యొక్క భాగాలను ప్రతి పరిమిత మూలకానికి గణించి, అధిస్థాపన ద్వారా అసెంబుల్ చేయవచ్చు.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

సమీకరణం\(\eqref{eq:2.1.15}\) ఏదైనా వర్చువల్ స్థానచలనం \(\delta \boldsymbol{U}\) కోసం సత్యమవుతుంది కాబట్టి క్రింది సమీకరణం లభిస్తుంది.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

మరోవైపు, స్థానచలన సరిహద్దు పరిస్థితి సమీకరణం\(\eqref{eq:2.1.3}\)ను క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరిస్తారు.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

సమీకరణం\(\eqref{eq:2.1.18}\)ను నిర్బంధ పరిస్థితి సమీకరణం\(\eqref{eq:2.1.19}\) కింద పరిష్కరించడం ద్వారా నోడల్ స్థానచలనం \(\boldsymbol{U}\) ను నిర్ణయించవచ్చు.

సంబంధిత అంశాలు