సమాచారానికి వెళ్లండి

రేఖీయ స్థితిస్థాపకత

ఈ అధ్యాయంలో రేఖీయ స్థితిస్థాపక పదార్థాల నిర్మాణ సంబంధాన్ని (Hooke నియమం) వివరిస్తాము. నమూనా ఎంపిక మరియు ఇన్‌పుట్ నిర్దేశాల వివరాలకు ఫంక్షన్ విభాగంలోని 03_material చూడండి.

దృగ్విషయం (రేఖీయ స్థితిస్థాపక ప్రతిస్పందన)

రేఖీయ స్థితిస్థాపక పదార్థం అనేది లోడ్‌కు ప్రతిస్పందనగా స్ట్రెయిన్ తగినంత చిన్న పరిధిలో ఒత్తిడి మరియు స్ట్రెయిన్ మధ్య రేఖీయ సంబంధం చూపే, లోడ్ తొలగించినప్పుడు మొత్తం స్ట్రెయిన్ అసలు స్థితికి తిరిగే పునరుద్ధరణీయ మరియు చరిత్ర-స్వతంత్ర ప్రతిస్పందన కలిగిన పదార్థం. ప్లాస్టిసిటీ లేదా క్రీప్‌కు భిన్నంగా, దీనికి స్థితిని సూచించే అంతర్గత చరాలు (ప్లాస్టిక్ స్ట్రెయిన్, స్నిగ్ధ స్ట్రెయిన్ మొదలైనవి) ఉండవు; ఒత్తిడి ప్రస్తుత స్ట్రెయిన్ ద్వారానే ఏకైకంగా నిర్ణయించబడుతుంది.

సూక్ష్మ వికృతి పరిధిలో Cauchy ఒత్తిడి \(\boldsymbol{\sigma}\) మరియు సూక్ష్మ స్ట్రెయిన్ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ఉపయోగిస్తారు; పరిమిత వికృతి పరిధిలో (పెద్ద భ్రమణం ఉన్నా స్ట్రెయిన్ స్వయంగా చిన్నదైన సమస్యలు) 2వ Piola-Kirchhoff ఒత్తిడి \(\boldsymbol{S}\) మరియు Green-Lagrange స్ట్రెయిన్ \(\boldsymbol{E}\) ఉపయోగిస్తారు (St.Venant-Kirchhoff పదార్థం).

నిర్మాణ సంబంధం

సమదిశ రేఖీయ స్థితిస్థాపక పదార్థం

సూక్ష్మ వికృతి పరిధిలో సమదిశ Hooke నియమాన్ని Lamé స్థిరాంకాలు \(\lambda, \mu\) ఉపయోగించి

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

అని వ్రాయవచ్చు. భాగాల రూపంలో

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

అవుతుంది; స్ట్రెయిన్‌తో ద్విగుణ సంకోచం ద్వారా \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) లభిస్తుంది. Lamé స్థిరాంకాలు Young మాడ్యులస్ \(E\) మరియు Poisson నిష్పత్తి \(\nu\) తో క్రింది సంబంధం కలిగి ఉంటాయి:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt సూచనలో స్ట్రెయిన్ సదిశం \(\hat{\varepsilon}\) మరియు ఒత్తిడి సదిశం \(\hat{\sigma}\) మధ్య సంబంధాన్ని \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) గా వ్రాయవచ్చు; త్రిమితీయ పదార్థ మాత్రిక \(D\):

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

గా ఇవ్వబడుతుంది (అమలులో ఈ మాత్రిక రూపాన్ని ఉపయోగిస్తారు).

లంబ అనైసోట్రోపిక్ రేఖీయ స్థితిస్థాపక పదార్థం

ప్రధాన అక్ష దిశలవారీగా స్థితిస్థాపక స్థిరాంకాలు వేర్వేరుగా ఉండే పదార్థాలకు 9 స్వతంత్ర స్థిరాంకాల లంబ అనైసోట్రోపిక్ నమూనాను ఉపయోగిస్తారు: ప్రధాన అక్ష Young మాడ్యులస్‌లు \(E_1, E_2, E_3\), ప్రధాన అక్షాల మధ్య Poisson నిష్పత్తులు \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), మరియు షియర్ మాడ్యులస్‌లు \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). నిర్దిష్ట \(D\) మాత్రిక రూపం కోసం సాధారణ సూచన గ్రంథాలను చూడండి.

పరిమిత వికృతి పరిధి: St.Venant-Kirchhoff పదార్థం

పెద్ద భ్రమణం ఉన్నా స్ట్రెయిన్ స్వయంగా చిన్నదైన సమస్యల్లో, 2వ Piola-Kirchhoff ఒత్తిడి \(\boldsymbol{S}\) మరియు Green-Lagrange స్ట్రెయిన్ \(\boldsymbol{E}\) మధ్య రేఖీయ స్థితిస్థాపక నియమంగా St.Venant-Kirchhoff పదార్థాన్ని ఉపయోగిస్తారు:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé స్థిరాంకాలు \(\lambda, \mu\) యొక్క నిర్వచనం సూక్ష్మ వికృతి సందర్భంతో సమానం. అయితే ఒత్తిడి-స్ట్రెయిన్ నిర్వచన జత వేరుగా ఉన్నందున ఇది సూక్ష్మ వికృతి Hooke నియమం నుండి వేరైన నిర్మాణ సంబంధమని గమనించాలి.

హైపోఎలాస్టిక్ పదార్థం

Updated Lagrange పద్ధతిలో, సాపేక్ష Kirchhoff ఒత్తిడి టెన్సర్ యొక్క Jaumann రేటు \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) మరియు వికృతి రేటు టెన్సర్ \(\boldsymbol{D}\) మధ్య రేఖీయ స్థితిస్థాపక నియమం

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

ను అనుసరించే హైపోఎలాస్టిక్ పదార్థాన్ని ఉపయోగిస్తారు. ఇక్కడ కూడా Lamé స్థిరాంకాల ద్వారా \(\boldsymbol{C}\) నిర్వచనం పైదానితో సమానం; కానీ ఒత్తిడి-స్ట్రెయిన్ జత వేరుగా ఉండటం వల్ల ఇది వేరే నిర్మాణ సంబంధం. కాల సమాకలనం విధానం (forward Euler సమాకలనం మరియు కేంద్ర వ్యత్యాస సమీపనం) ద్వారా \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) ను ఎలా నవీకరిస్తారో వివరాలకు tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex చూడండి.

2-మితీయ విశ్లేషణ మరియు షెల్ మూలకాలకు సరళీకరణ

సమతల ఒత్తిడి (\(\sigma_{33} = 0\))

సన్నని పలకలు మరియు షెల్‌ల లోడింగ్‌ను సూచించే సమతల ఒత్తిడి స్థితిలో \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) అని అనుమానించి, సమతలానికి వెలుపలి స్ట్రెయిన్ భాగం \(\varepsilon_{33}\) ను తొలగించిన \(D\) ను ఉపయోగిస్తారు:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

సమతల స్ట్రెయిన్ (\(\varepsilon_{33} = 0\))

మందం దిశలో నిరోధించబడిన పొడవైన నిర్మాణం యొక్క క్రాస్ సెక్షన్‌ను సూచించే సమతల స్ట్రెయిన్‌లో \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) అని అనుమానిస్తారు:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

అక్షసమమితి

సిలిండ్రికల్ నిర్దేశాంకాలు \((r, \theta, z)\) లో \(\theta\) దిశలో ఏకరీతిగా ఉండే సమస్యలను పరిశీలించే అక్షసమమితి విశ్లేషణలో \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\), \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) అనే నాలుగు భాగాలను ఉంచి,

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

అవుతుంది.

షెల్ మూలకాలు (సమతల ఒత్తిడి + అడ్డ షియర్)

షెల్ మూలకాల్లో సమతలంలోని ఒత్తిడిని సమతల ఒత్తిడిగా పరిగణిస్తారు; అదనంగా అడ్డ షియర్ స్ట్రెయిన్ భాగాలు \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) కు షియర్ సవరణ గుణకం \(\kappa\) (సాధారణంగా \(\kappa = 5/6\)) వర్తింపజేసిన \(\kappa\, G\) ను ఉపయోగిస్తారు. ప్రతి మూలకానికి సంబంధించిన నిర్దిష్ట సూత్రీకరణ కోసం అధిక పనితీరు మూలక సూత్రీకరణ చూడండి. ఫంక్షన్ విభాగం 03_material లోని “షెల్ మూలకాలు రేఖీయ స్థితిస్థాపకతకు మాత్రమే మద్దతు ఇస్తాయి” అనే నిర్దేశం, సమతలంలోని భాగాన్ని సమతల ఒత్తిడిగా పరిగణించే ఈ సరళీకరణపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

ఉష్ణోగ్రత ఆధారితత్వం

Young మాడ్యులస్ \(E\), Poisson నిష్పత్తి \(\nu\), మరియు రేఖీయ ఉష్ణ విస్తరణ గుణకం \(\alpha\) సాధారణంగా ఉష్ణోగ్రత \(T\) యొక్క ఫంక్షన్‌లుగా నిర్దేశించబడతాయి. FrontISTR లో పరిమిత సంఖ్యలో ఉష్ణోగ్రత బిందువులు \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) కు విలువలను ఇన్‌పుట్ చేసి, గణనలోని ఉష్ణోగ్రత \(T\) కు సమీప బిందువుల మధ్య రేఖీయ అంతరపోలేషన్ ద్వారా మూల్యాంకనం చేస్తారు. పరిధి బయట ఉష్ణోగ్రతలకు (\(T < T_1\) లేదా \(T > T_n\)) సమీప చివరి బిందువు \(T_1\) లేదా \(T_n\) విలువను ఉపయోగించి స్థిర ఎక్స్‌ట్రాపోలేషన్ చేస్తారు.

ఉష్ణ మరియు ఉష్ణ వాహక లక్షణాల (సాంద్రత, విశిష్ట ఉష్ణం, ఉష్ణ వాహకత) ఉష్ణోగ్రత ఆధారితత్వం కోసం ఉష్ణ లక్షణాలు చూడండి. అంతరపోలేషన్ నియమం వీటికి కూడా సాధారణమే.

సంబంధిత అంశాలు