సమాచారానికి వెళ్లండి

ఎలాస్టోప్లాస్టిసిటీ

ఈ అధ్యాయం FrontISTRలో ఉపయోగించే ఎలాస్టోప్లాస్టిక్ పదార్థ ప్రవర్తన నియమం యొక్క ప్రాథమిక చట్రాన్ని వివరిస్తుంది. వినియోగ ఎంపికలు మరియు ఇన్‌పుట్ నిర్దేశన వివరాలకు ఫంక్షన్ విభాగం 03_material చూడండి.

భౌతిక ఘటన (ప్లాస్టిక్ వికృతి)

TBD (తదుపరి దశలో పాఠ్యాన్ని పూర్తి చేయాలి).

పదార్థ ప్రవర్తన నియమం యొక్క చట్రం

FrontISTR అనుబంధ ప్రవాహ నియమాన్ని అనుసరించే ఎలాస్టోప్లాస్టిక్ పదార్థ ప్రవర్తన సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తుంది. ఈ పదార్థ ప్రవర్తన సమీకరణం Kirchhoff ఒత్తిడి యొక్క Jaumann రేటు మరియు వికృతి-రేటు టెన్సర్ మధ్య సంబంధాన్ని వ్యక్తీకరిస్తుంది; వికృతి విశ్లేషణకు updated Lagrange పద్ధతి ఉపయోగిస్తారు.

ఎలాస్టోప్లాస్టిక్ పదార్థం యొక్క దిగుబడి షరతు క్రింది విధంగా ఉందని భావిద్దాం.

ప్రారంభ దిగుబడి షరతు:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

తదుపరి దిగుబడి షరతు:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

ఇక్కడ,

  • \(F\): దిగుబడి ఫలనం
  • \(\sigma_{y_0}\): ప్రారంభ దిగుబడి ఒత్తిడి
  • \(\sigma_y\): తదుపరి దిగుబడి ఒత్తిడి
  • \(\sigma\): ఒత్తిడి టెన్సర్
  • \(e\): సూక్ష్మ స్ట్రెయిన్ టెన్సర్
  • \(e^p\): ప్లాస్టిక్ స్ట్రెయిన్ టెన్సర్
  • \(\overline{e}^p\): సమతుల్య ప్లాస్టిక్ స్ట్రెయిన్

దిగుబడి ఒత్తిడి–సమతుల్య ప్లాస్టిక్ స్ట్రెయిన్ సంబంధం ఏకాక్ష స్థితిలోని ఒత్తిడి–ప్లాస్టిక్ స్ట్రెయిన్ సంబంధంతో సమానమని భావిస్తాం.

ఏకాక్ష స్థితిలో ఒత్తిడి–ప్లాస్టిక్ స్ట్రెయిన్ సంబంధం

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

ఇక్కడ \(H'\) వికృతి-కఠినీకరణ గుణకం.

సమతుల్య ఒత్తిడి–సమతుల్య ప్లాస్టిక్ స్ట్రెయిన్ సంబంధం

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

తదుపరి దిగుబడి ఫలనం సాధారణంగా ఉష్ణోగ్రత మరియు ప్లాస్టిక్ స్ట్రెయిన్ పనిపై ఆధారపడుతుంది; ఇక్కడ సరళీకరణ కోసం సమతుల్య ప్లాస్టిక్ స్ట్రెయిన్ \(\overline{e}^p\)పైనే ఆధారపడుతుందని భావిస్తాం. ప్లాస్టిక్ వికృతి కొనసాగుతున్నప్పుడు \(F = 0\) నిరంతరం తీరాలి; అందువల్ల

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

అవుతుంది. ఇక్కడ \(\dot{F}\) అనేది \(F\) యొక్క కాల అవకలజం; ఇకపై ఏ పరిమాణం \(A\) యొక్క కాల అవకలజాన్ని \(\dot{A}\)గా సూచిస్తాము.

ప్లాస్టిక్ పొటెన్షియల్ \(\Theta\) ఉందని భావించి, ప్లాస్టిక్ స్ట్రెయిన్ రేటును

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

గా వ్రాస్తాం. ఇక్కడ \(\dot{\lambda}\) ఒక గుణకం.

ప్లాస్టిక్ పొటెన్షియల్ \(\Theta\) దిగుబడి ఫలనం \(F\)తో సమానం అని తీసుకుంటే అనుబంధ ప్రవాహ నియమం

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

దీనిని సంగతత షరతులో ప్రత్యామ్నాయిస్తే

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

లభిస్తుంది. ఇక్కడ \(D\) స్థితిస్థాపక మ్యాట్రిక్స్ మరియు

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

ఎలాస్టోప్లాస్టిక్ ఒత్తిడి–స్ట్రెయిన్ సంబంధాన్ని

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

ఎలాస్టోప్లాస్టిక్ పదార్థం యొక్క దిగుబడి ఫలనం \(F\) తెలిసినప్పుడు ఈ సమీకరణం నుండి పదార్థ ప్రవర్తన సమీకరణాన్ని పొందవచ్చు.

దిగుబడి ఫలనాలు

క్రింద FrontISTR ఉపయోగించే ప్రతినిధి ఎలాస్టోప్లాస్టిక్ దిగుబడి ఫలనాలు ఇవ్వబడ్డాయి.

Von Mises దిగుబడి ఫలనం

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

ఇక్కడ \(J_2\) విచలన ఒత్తిడి టెన్సర్ యొక్క రెండవ అవికారి.

Mohr-Coulomb దిగుబడి ఫలనం

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

ఇక్కడ \(\sigma_1, \sigma_3\) గరిష్ఠ మరియు కనిష్ఠ ప్రధాన ఒత్తిడులు, \(c\) సంసక్తి, \(\phi\) అంతర్గత ఘర్షణ కోణం.

Drucker-Prager దిగుబడి ఫలనం

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

ఇక్కడ పదార్థ స్థిరాంకాలు \(\alpha\), \(\sigma_y\)లను సంసక్తి మరియు ఘర్షణ కోణం నుండి క్రింది విధంగా లెక్కిస్తారు.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

సంబంధిత అంశాలు