సమాచారానికి వెళ్లండి

ఆకార ఫంక్షన్‌లు మరియు పరిమిత మూలక సన్నికరణ

వర్చువల్ పని సూత్రం యొక్క బలహీన రూపాన్ని కంప్యూటరులో నిర్వహించడానికి, వస్తువు ప్రాంతాన్ని పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలుగా విభజించి, మూలకం లోపలి పదార్థ బిందువుల నిర్దేశాంకాలు, స్థానచలనాలు మరియు పరీక్ష ఫంక్షన్‌లను నోడ్ విలువలు మరియు ఆకార ఫంక్షన్‌లతో అంతర్వేశనం చేస్తారు. ఆకార ఫంక్షన్‌ల స్థల ఉత్పన్నాలు ఆకార ఫంక్షన్‌ల స్థల ఉత్పన్నాలు లో, బలహీన రూపం యొక్క విచ్ఛిన్నీకరణ అంతర్గత బల వర్చువల్ వర్క్ విచ్ఛిన్నీకరణ లో, ప్రతి మూలక రకానికి ఆకార ఫంక్షన్‌ల నిర్దిష్ట రూపాలు మూలక సంఖ్యా వ్యవస్థ మరియు ఆకార ఫంక్షన్ గ్రంథాలయం నుండి తరువాతి భాగాల్లో వివరించబడతాయి.

ప్రాంత విభజన మరియు సమాకలనాల మూలక-మొత్తం

సూచన ఆకృతిలోని ప్రాంతం \(\Omega_0\) మరియు ప్రస్తుత ఆకృతిలోని ప్రాంతం \(\Omega\) ను వరుసగా మూలకాలు \(\Omega^e_0\), \(\Omega^e\) యొక్క సమ్మేళనంగా సన్నికరిస్తారు:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) మూలక సంఖ్య; మూలక సరిహద్దులు పొరుగు మూలకాల మధ్య పంచుకోబడతాయి). దీనివల్ల వర్చువల్ పని సూత్రం లోని ఘనపరిమాణ మరియు ఉపరితల సమాకలనాలు ప్రతి మూలక సమాకలనాల మొత్తంగా విభజించబడతాయి:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(ప్రస్తుత ఆకృతికి కూడా \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) గా మార్చి ఇదే విధంగా ఉంటుంది). ఇకపై బలహీన రూపాన్ని మూల్యాంకనం చేయడం ప్రతి మూలకంలోని సమాకలనాన్ని నిర్మించే సమస్యగా మారుతుంది.

నోడ్ విలువలు మరియు ఆకార ఫంక్షన్‌ల ద్వారా అంతర్వేశనం (ఐసోపారామెట్రిక్ మూలకాలు)

ప్రతి మూలకం \(\Omega^e_0\) కు \(n_e\) నోడ్‌లు కేటాయించబడతాయి. మూలక నోడ్ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) యొక్క సూచన ఆకృతి నిర్దేశాంకం మరియు నోడ్ స్థానచలనాన్ని \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) గా తీసుకుంటారు. వాటిని వరుసగా అమర్చిన మూలక నోడ్ వెక్టర్‌లు \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) అనేవి మొత్తం నోడ్ వెక్టర్‌లు \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) మొత్తం నోడ్‌ల సంఖ్య) నుండి మూలకం \(e\) ను నిర్మించే నోడ్ భాగాలను మాత్రమే తీసుకున్నవి.

మూలకం లోపలి స్థానిక నిర్దేశాంకాలైన సహజ నిర్దేశాంకాలు \(\boldsymbol{r}\) ను పరామితిగా తీసుకునే ఆకార ఫంక్షన్‌లు \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ద్వారా, మూలకం లోపలి పదార్థ నిర్దేశాంకం, స్థానచలనం మరియు పరీక్ష ఫంక్షన్‌ను ఒకే ఆకార ఫంక్షన్‌లతో అంతర్వేశనం చేస్తారు (ఐసోపారామెట్రిక్ మూలకం, Galerkin పద్ధతి):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

ఆకార ఫంక్షన్‌లు క్రింది రెండు లక్షణాలను తీర్చే విధంగా నిర్మించబడతాయి; సహజ నిర్దేశాంకాల నుండి పదార్థ నిర్దేశాంకాలకు మ్యాపింగ్ \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) మూలకం లోపల ఒకటి-కు-ఒకటి అయ్యేలా మూలక ఆకారాన్ని ఎంచుకుంటారు:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) అనేది నోడ్ \(\alpha\) కు సంబంధించిన సహజ నిర్దేశాంక బిందువు; \(\delta_{\alpha\beta}\) Kronecker డెల్టా). మొదటి సమీకరణం దృఢదేహ అనువాదాన్ని పునరుత్పత్తి చేయగలగడాన్ని, రెండవది నోడ్ వద్ద అంతర్వేశిత విలువ నోడ్ విలువతో సరిపోవడాన్ని హామీ ఇస్తాయి. ప్రతి మూలక రకానికి \(n_e\), \(N_\alpha^e\) యొక్క నిర్దిష్ట రూపాలు మూలక సంఖ్యా వ్యవస్థ మరియు ఆకార ఫంక్షన్ గ్రంథాలయం నుండి తరువాత చూపబడతాయి. సంకేతాల క్లిష్టతను తగ్గించడానికి, మూలక రకంపై ఆధారాన్ని ప్రతి మూలకానికి పైసూచిక \(e\) ద్వారా ప్రతినిధ్యం చేస్తారు.

పై అంతర్వేశన నియమాల వల్ల బలహీన రూపంలోని సమాకల్య ఫంక్షన్‌ను మూలక నోడ్ విలువలు \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) మరియు \(N_\alpha^e\) తో మాత్రమే వ్యక్తీకరించవచ్చు. మరోవైపు, స్ట్రెయిన్ అంతర్వేశిత స్థానచలనం మరియు స్ట్రెయిన్-స్థానచలనం సంబంధం నుండి, ఒత్తిడి ఆ స్ట్రెయిన్ మరియు పదార్థ నిర్మాణ సంబంధం నుండి ఉత్పన్నమయ్యే పరిమాణాలు; అవి నోడ్ విలువల నుండి నేరుగా అంతర్వేశనం చేయబడవు. వీటిని మూలకం లోపలి సమాకలన బిందువుల వద్ద మూల్యాంకనం చేస్తారు (సంఖ్యాత్మక సమాకలనం).

మొత్తం నోడ్ వెక్టర్ యొక్క అమరిక నియమం

నోడ్‌లకు కేటాయించిన భౌతిక పరిమాణాలను మొత్తం నోడ్ వెక్టర్‌గా నోడ్ సంఖ్య → స్వేచ్ఛా ప్రమాణం క్రమంలో ఆరోహణంగా అమర్చుతారు. నోడ్ \(\alpha\) వద్ద స్వేచ్ఛా ప్రమాణం \(i\) భాగాన్ని \(u_{i\alpha}\) గా తీసుకుంటే, 3 కొలతల్లో (\(i=1,2,3\)) మరియు 2 కొలతల్లో (\(i=1,2\)) వరుసగా

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

గా ఉంటాయి. నిర్దేశాంకాలు \(\boldsymbol{X}^n\) మరియు పరీక్ష ఫంక్షన్ \(\delta\boldsymbol{u}^n\) కూడా ఇదే అమరికను అనుసరిస్తాయి. ఇకపై మ్యాట్రిక్స్ మరియు వెక్టర్ రూపాల్లోని సమీకరణ మార్పులను 3 కొలతల సందర్భాన్ని ప్రతినిధిగా తీసుకుని వ్రాస్తారు.

సంబంధిత అంశాలు