సమాచారానికి వెళ్లండి

ఆకార ఫంక్షన్‌ల స్థల అవకలజాలు

ఆకార ఫంక్షన్‌లు మరియు పరిమిత మూలక సమీపీకరణ లో పరిచయం చేసిన ఆకార ఫంక్షన్ \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) మూలక స్థానిక నిర్దేశాంకమైన సహజ నిర్దేశాంకం \(\boldsymbol{r}\) యొక్క ఫంక్షన్‌గా ఇవ్వబడుతుంది. మరోవైపు, బలహీన రూపంలోని సమాకల్య ఫంక్షన్‌లో స్ట్రెయిన్-స్థానచలనం సంబంధం ద్వారా భౌతిక నిర్దేశాంకాల (సూచన ఆకృతి \(\boldsymbol{X}\) లేదా ప్రస్తుత ఆకృతి \(\boldsymbol{x}\)) పట్ల పాక్షిక అవకలజాలు \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) లేదా \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) కనిపిస్తాయి. ఈ అధ్యాయంలో మూలక నోడ్ నిర్దేశాంకాలు మరియు సహజ నిర్దేశాంక అవకలజాల నుంచి ఈ ఆకార ఫంక్షన్‌ల స్థల అవకలజాలను గణించే విధానాన్ని క్రమబద్ధీకరిస్తాము.

శృంఖల నియమం ద్వారా స్థల అవకలజాల వ్యక్తీకరణ

ఇంటర్‌పోలేషన్ సమీకరణం \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (మునుపటి అధ్యాయం) కు శృంఖల నియమాన్ని వర్తింపజేస్తే, సహజ నిర్దేశాంకాల నుంచి భౌతిక నిర్దేశాంకాలకు మ్యాపింగ్ యొక్క జాకోబియన్ మాత్రిక \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) ను ఉపయోగించి

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

లభిస్తుంది. ఇక్కడ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) మరియు \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) లో ప్రతి పంక్తి \(\alpha\) నోడ్ \(\alpha\) యొక్క పాక్షిక అవకలజ సదిశాన్ని సూచిస్తుంది; ఇవి \(n_e \times 3\) మాత్రికలు.

జాకోబియన్ మాత్రిక నిర్మాణం

ఇంటర్‌పోలేషన్ సమీకరణాన్ని \(\boldsymbol{r}\) పట్ల పాక్షికంగా అవకలనం చేస్తే

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

లభిస్తుంది; అందువల్ల మూలక నోడ్ నిర్దేశాంకాలు \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) మరియు సహజ నిర్దేశాంక అవకలజం \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) నుంచి నేరుగా నిర్మించవచ్చు. సహజ నిర్దేశాంక అవకలజాలు ఆకార ఫంక్షన్ యొక్క ఫంక్షనల్ రూపం ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి మరియు ప్రతి మూలక రకానికి ముందుగానే అమలులో ఉంటాయి.

జాకోబియన్ మాత్రిక నిర్ధారకం \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) ను సంఖ్యాత్మక సమాకలనం లో ఘనపరిమాణ మూలకం మార్పిడి \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) కోసం ఉపయోగిస్తారు. నిర్ధారకం \(0\) అయితే మూలకం క్షీణించినది; గణన విఫలమవుతుంది.

గణన ప్రవాహం

పై ఉత్పత్తి నుంచి, స్థల అవకలజం \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) గణనను క్రింది నాలుగు దశలుగా విభజించవచ్చు.

  1. సహజ నిర్దేశాంక అవకలజాల గణన: మూలక రకం మరియు మూల్యాంకన బిందువు సహజ నిర్దేశాంకం \(\boldsymbol{r}\) ను ఇన్‌పుట్‌గా తీసుకొని సహజ నిర్దేశాంక అవకలజ మాత్రిక \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ను గణిస్తారు. ఆకార ఫంక్షన్ రూపం మూలక రకాన్ని బట్టి మారుతుంది కాబట్టి మూలక రకం ఆధారంగా శాఖీకరణ ఉంటుంది.
  2. జాకోబియన్ మాత్రిక గణన: మూలక నోడ్ నిర్దేశాంకాలు \(\boldsymbol{X}^e\) మరియు \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) నుంచి మునుపటి విభాగంలోని సమీకరణం ద్వారా జాకోబియన్ మాత్రిక \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) ను నిర్మిస్తారు.
  3. విలోమ మాత్రిక మరియు నిర్ధారకం గణన: జాకోబియన్ మాత్రిక విలోమం \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) మరియు నిర్ధారకాన్ని గణిస్తారు. నిర్ధారకం సంఖ్యాత్మక సమాకలనం బరువులో ఉపయోగించబడుతుంది.
  4. స్థల అవకలజాల గణన: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) మరియు \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ల గుణితంగా స్థల అవకలజం \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) లభిస్తుంది.

ఈ నాలుగు దశల్లో మూలక రకం మరియు స్థల పరిమాణం (2-మితి లేదా 3-మితి) ఆధారంగా శాఖీకరణ ఉన్నప్పటికీ, మొత్తం ప్రవాహం ఒకేలా ఉంటుంది.

సూచన ఆకృతి మరియు ప్రస్తుత ఆకృతిలో ఉమ్మడి విధానం

పై విధానంలో \(\boldsymbol{X}^e\) ను ప్రస్తుత ఆకృతిలోని నోడ్ నిర్దేశాంకాలు \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) తో మార్చితే, అదే విధానం ప్రస్తుత ఆకృతి స్థల అవకలజం \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) కు కూడా వర్తిస్తుంది. అందువల్ల Total Lagrange పద్ధతి మరియు Updated Lagrange పద్ధతిలో ఇన్‌పుట్ నోడ్ నిర్దేశాంకాలను మార్చడం మాత్రమే చేసి అదే విధానాన్ని పంచుకోవచ్చు.

సంబంధిత అంశాలు