సమాచారానికి వెళ్లండి

అంతర్గత బల వర్చువల్ పని యొక్క వివిక్తీకరణ

వృద్ధి విశ్లేషణ చట్రంలో చూపిన \(t + \Delta t\) సమయానికి సంబంధించిన వర్చువల్ పని సమీకరణం, సూచన ఆకృతిని ఎంచుకునే విధానాన్ని బట్టి Updated Lagrange విధానం మరియు Total Lagrange విధానం అనే రెండు రూపాలుగా విభజించబడుతుంది. ఈ అధ్యాయంలో ఆకార ఫంక్షన్లు మరియు పరిమిత మూలక సన్నికరణ, ఆకార ఫంక్షన్ల స్థల అవకలనంలో ప్రవేశపెట్టిన పరిమిత మూలక సన్నికరణను ఉపయోగించి, రెండు సూత్రీకరణల అంతర్గత బల వర్చువల్ పనిని స్థలపరంగా వివిక్తీకరించి, మూలక అంతర్గత బల వెక్టర్లు \(\boldsymbol{q}^e\) (UL విధానం), \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL విధానం)లను పొందుతాము.

మూలకం \(e\) యొక్క నిర్మాణ నోడ్లు \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) కు సంబంధించిన స్థానచలనాలను \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\)గా, మూలక నోడల్ స్థానచలన వెక్టర్‌ను \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\)గా అమర్చి, వర్చువల్ స్థానచలనం \(\delta \boldsymbol{u}^e\)ను కూడా అదే క్రమంలో నిర్వచిస్తాము. మూలకం లోపలి స్థానచలనం ఆకార ఫంక్షన్లతో \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\)గా ఇంటర్‌పోలేట్ చేయబడుతుంది.

Updated Lagrange విధానంలో అంతర్గత బల వర్చువల్ పని

Updated Lagrange విధానంలో \(t\) సమయానికి ప్రస్తుత ఆకృతి \({}^{t}\Omega\)ను సూచన ఆకృతిగా తీసుకుని, Cauchy ఒత్తిడి \(\boldsymbol{\sigma}\) మరియు Almansi స్ట్రెయిన్ యొక్క రేఖీయ భాగం \(\boldsymbol{A}_{(L)}\)తో అంతర్గత బల వర్చువల్ పనిని

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

గా వ్రాస్తారు. \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) యొక్క ప్రతి భాగాన్ని ప్రస్తుత ఆకృతి నిర్దేశాంకాలు \(\boldsymbol{x}\)కు సంబంధించిన ఆకార ఫంక్షన్ అవకలనాలు \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) మరియు నోడల్ వర్చువల్ స్థానచలనాలు \(\delta u^e_{i\alpha}\) యొక్క రేఖీయ సంయోజనంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు; Voigt సూచనలో ఇది

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

గా సంక్షిప్తమవుతుంది. నోడల్ బ్లాక్ \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) అనేది \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)లను Voigt నియమం ప్రకారం అమర్చిన \(6 \times 3\) మ్యాట్రిక్స్; \(\boldsymbol{B}_L\) UL విధానానికి స్ట్రెయిన్–స్థానచలన సంబంధ మ్యాట్రిక్స్ అవుతుంది. దీనిని అంతర్గత బల వర్చువల్ పనిలో ప్రత్యామ్నాయించి \(\delta \boldsymbol{u}^e\)ను వేరు చేస్తే

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

లభిస్తుంది. \(\boldsymbol{q}^e\) యొక్క నోడల్ బ్లాక్ \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) అనేది మూలకం \(\Omega^e\)లోని నిర్మాణ నోడ్ \(\alpha\)పై పనిచేసే అంతర్గత బలం.

Total Lagrange విధానంలో అంతర్గత బల వర్చువల్ పని

Total Lagrange విధానంలో ప్రాథమిక ఆకృతి \(\Omega_0\)ను సూచన ఆకృతిగా తీసుకుని, రెండవ Piola-Kirchhoff ఒత్తిడి \(\boldsymbol{S}\) మరియు Green-Lagrange స్ట్రెయిన్ \(\boldsymbol{E}\)తో

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

గా వ్రాస్తారు. \(\delta \boldsymbol{E}\)ను వర్చువల్ స్థానచలనానికి సంబంధించిన రేఖీయ భాగం మరియు ప్రస్తుత స్థానచలన గ్రేడియెంట్ \(\partial u_k/\partial X_j\)తో గుణితాన్ని కలిగిన అరేఖీయ భాగంగా విభజించవచ్చు:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

రేఖీయ భాగాన్ని UL విధానంలో వాడిన అమరిక నియమాన్నే \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)కు వర్తింపజేసి నిర్మించిన నోడల్ బ్లాక్ \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) ద్వారా

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

గా వ్రాయవచ్చు (సూచన ఆకృతి మారడం వల్ల భాగాలు \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) నుండి \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)గా మాత్రమే మారతాయి; సంకేతం UL విధానంతో పంచుకుంటుంది). అరేఖీయ భాగాన్ని, ప్రస్తుత స్థానచలన గ్రేడియెంట్ \(\partial u_k/\partial X_j\) మరియు \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)ల గుణితాలను Voigt నియమం ప్రకారం అమర్చిన నోడల్ బ్లాక్ \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) ద్వారా

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

గా వ్రాయవచ్చు. అందువల్ల \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) అవుతుంది; \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) TL విధానానికి స్ట్రెయిన్–స్థానచలన సంబంధ మ్యాట్రిక్స్. దీనిని అంతర్గత బల వర్చువల్ పనిలో ప్రత్యామ్నాయిస్తే

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

లభిస్తుంది. నోడల్ బ్లాక్ \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) అనేది మూలకం \(\Omega^e_0\)లోని నిర్మాణ నోడ్ \(\alpha\)పై పనిచేసే అంతర్గత బలం.

UL/TL పరస్పర సంబంధం మరియు గణన ప్రవాహం

Updated Lagrange మరియు Total Lagrange విధానాల మూలక అంతర్గత బల వెక్టర్ల మధ్య సంబంధం క్రింది విధంగా ఉంటుంది.

అంశం Updated Lagrange విధానం Total Lagrange విధానం
సూచన ఆకృతి ప్రస్తుత ఆకృతి \({}^{t}\Omega^e\) ప్రాథమిక ఆకృతి \(\Omega^e_0\)
ఒత్తిడి టెన్సర్ Cauchy ఒత్తిడి \(\boldsymbol{\sigma}\) రెండవ PK ఒత్తిడి \(\boldsymbol{S}\)
స్ట్రెయిన్ వేరియేషన్ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B మ్యాట్రిక్స్ \(\boldsymbol{B}_L\)（\(\partial N/\partial x\)） \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\)（\(\partial N/\partial X\)，\(\partial u/\partial X\)）
మూలక అంతర్గత బలం \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

రెండు విధానాలనూ ఒకే ప్రక్రియలో నిర్వహించవచ్చు: “ఆకార ఫంక్షన్ల స్థల అవకలనాల నుండి \(\boldsymbol{B}_L\)ను నిర్మించడం”, “TL విధానంలో ప్రస్తుత స్థానచలన గ్రేడియెంట్ నుండి \(\boldsymbol{B}_{NL}\)ను నిర్మించి జోడించడం”, “నిర్మాణ నియమం ప్రకారం ఒత్తిడిని (\(\boldsymbol{\sigma}\) లేదా \(\boldsymbol{S}\)) నవీకరించడం”, “ప్రతి సమాకలన బిందువులో \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) లేదా \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\)ను మూలక ప్రాంతంపై సంఖ్యాత్మకంగా సమాకలనం చేయడం (సంఖ్యాత్మక సమాకలనం)”. సూచన ఆకృతి మార్పు (నోడల్ నిర్దేశాంకాలు మరియు \(\boldsymbol{B}\) మ్యాట్రిక్స్ నిర్మాణం) మరియు ఒత్తిడి టెన్సర్ మార్పు తప్ప మిగతా ప్రక్రియ సాధారణం; అందువల్ల FrontISTRలో రెండు విధానాల అంతర్గత బల గణన ఒకే సాధారణ సబ్‌రూటీన్ ద్వారా అమలు చేయబడుతుంది. మూలక అంతర్గత బల వెక్టర్లు \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) నుండి గ్లోబల్ అంతర్గత బల వెక్టర్‌కు అసెంబ్లీని బాహ్య బల వర్చువల్ పని మరియు గ్లోబల్ సమీకరణ అసెంబ్లీలో చర్చిస్తాము.

సంబంధిత అంశాలు