సమాచారానికి వెళ్లండి

బాహ్య బలం యొక్క వర్చువల్ పని మరియు సమగ్ర సమీకరణాల అసెంబ్లీ

అంతర్గత బలం యొక్క వర్చువల్ పనిని వివిక్తీకరణ లో బలహీన రూపం ఎడమ భాగాన్ని మూలక అంతర్గత బలం సదిశం \(\boldsymbol{q}^e\) (UL పద్ధతి) లేదా \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL పద్ధతి) గా సమీకరించాము. ఈ అధ్యాయంలో బాహ్య బలం యొక్క వర్చువల్ పని నుంచి మూలక నోడ్ బాహ్య బలం సదిశం \(\boldsymbol{F}^e\) ను ప్రవేశపెట్టి, మూలక నోడ్ భౌతిక పరిమాణాలను సమగ్ర నోడ్ సంఖ్యల ప్రకారం తిరిగి క్రమీకరించి సమీకరించే అసెంబ్లీ ప్రక్రియ ద్వారా FrontISTR అరేఖీయ నిర్మాణ విశ్లేషణ పరిష్కరించాల్సిన నోడ్ స్థానచలనాలపై అరేఖీయ సమీకరణ వ్యవస్థకు చేరుకుంటాము.

బాహ్య బలం వర్చువల్ పనిని మూలకాలుగా విభజించడం

వర్చువల్ పని సూత్రం యొక్క కుడి భాగాన్ని ఘనపరిమాణ బలం (దేహ బలం) మరియు యాంత్రిక సరిహద్దుపై నిర్దేశిత ఉపరితల బలం నుంచి ఏర్పడే బాహ్య బలం వర్చువల్ పనిగా ప్రతి మూలకానికి విభజించవచ్చు. ఆకార ఫంక్షన్‌లు మరియు పరిమిత మూలక సమీపీకరణ లో ప్రవేశపెట్టిన స్థానచలన ఇంటర్‌పోలేషన్‌ను మాత్రిక రూపంలో వ్రాయడానికి, నోడ్ \(\alpha\) ఆకార ఫంక్షన్ \(N_\alpha^e\) ను వికర్ణంలో అమర్చిన \(d \times d\) బ్లాక్ \(\boldsymbol{N}_\alpha\) మరియు వాటిని అడ్డంగా అమర్చిన \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) ను ఉపయోగించి \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) గా తీసుకుంటాము. దీన్ని సూచన ఆకృతిలో వ్రాసిన బాహ్య బలం వర్చువల్ పనిలో ప్రతిస్థాపిస్తే

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

లభిస్తుంది. ఇక్కడ మూలక నోడ్ బాహ్య బలం సదిశం ను \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) గా అమర్చాము. దీంతో బాహ్య బలం వర్చువల్ పని అంతర్గత బలం వైపు ఉన్నదానితో సమానమైన "మూలక నోడ్ సదిశం × పరీక్ష ఫంక్షన్" రూపంలో సమీకరించబడుతుంది (ప్రస్తుత ఆకృతిలో వ్రాసినా \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) ప్రతిస్థాపనలతో అదే రూపం ఉంటుంది).

మూలక నోడ్ భౌతిక పరిమాణాల అసెంబ్లీ

ప్రతి మూలకానికి లభించిన నోడ్ భౌతిక పరిమాణాలు \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) ను సమగ్ర నోడ్ సంఖ్యల క్రమంలో ఉన్న సమగ్ర సదిశాలుగా సమీకరిస్తాము. మూలకం \(\Omega^e\) లోని స్థానిక నోడ్ సంఖ్య \(\alpha\) కు సంబంధించిన సమగ్ర నోడ్ సంఖ్యను

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

గా సూచిస్తే, మూలక నోడ్ భౌతిక పరిమాణం సమగ్ర నోడ్ భౌతిక పరిమాణంలోని సంబంధిత భాగంతో సమానం (\(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\) మొదలైనవి). సాధారణంగా నోడ్ \(i_g\) ను అనేక మూలకాలు పంచుకుంటాయి. అందువల్ల సమగ్ర నోడ్ సంఖ్య \(i_g\) అయ్యే \((e, \alpha)\) జంటల సమితిని

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

గా నిర్వచించి, \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) గా మొత్తం మార్చితే, మొత్తం \(n_g\) నోడ్‌లపై నోడ్ అంతర్గత బలం మరియు సమగ్ర అంతర్గత బలం సదిశం

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

లభిస్తాయి. \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) అనేది నోడ్ \(i_g\) పై పనిచేసే మూలక నోడ్ అంతర్గత బలాల ఫలబలానికి సమానం; బాహ్య బలం లేకుండా సమతుల్యంలో ఉంటే ఇది \(\boldsymbol{0}\) అవుతుంది. UL పద్ధతిలో కూడా అదే విధానంతో \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) లభిస్తాయి; విలువగా \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) కాబట్టి, ప్రత్యేకంగా తేడా చూపాల్సిన చోట తప్ప ఇకపై \(\boldsymbol{Q}\) అనే గుర్తును ఉపయోగిస్తాము. సమగ్ర బాహ్య బలం సదిశం \(\boldsymbol{F}\) కూడా ఇదే సమీకరణ ద్వారా లభిస్తుంది.

అమలులో \(\mathcal{E}(i_g)\) సమితిని స్పష్టంగా నిర్మించకుండా, మూలక లూప్‌లో సంబంధిత భాగాలకు నేరుగా కలుపుతారు.

సమగ్ర అంతర్గత బలం సదిశం Q ను 0తో ప్రారంభించు: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (మూలకాల సంఖ్య)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

సమగ్ర బాహ్య బలం సదిశం \(\boldsymbol{F}\) కూడా అదే విధానంతో నిర్మించబడుతుంది. సమగ్ర నోడ్ సంఖ్యలతో సంఖ్యీకరించిన సదిశం లేదా మాత్రికలో మూలక నోడ్ భౌతిక పరిమాణాలను జోడించి నిల్వ చేసే ఈ చర్యను అసెంబ్లీ (assemble) అంటారు. రెండు నోడ్ సంఖ్యలకు సంబంధించిన ద్వితీయ క్రమ టెన్సర్ (దృఢత్వ మాత్రిక మొదలైనవి) కోసం, \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{మరియు}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) సమితిని ఉపయోగించి ఇదే రకమైన అసెంబ్లీ చర్యను పొందవచ్చు (నిర్దిష్ట నిర్మాణానికి స్పర్శ దృఢత్వ మాత్రిక చూడండి).

పరిష్కరించాల్సిన అరేఖీయ సమీకరణం

అంతర్గత మరియు బాహ్య బలాల అసెంబ్లీ ఫలితాలను వర్చువల్ పని సూత్రం లో ప్రతిస్థాపించి, జ్యామితీయ సరిహద్దు షరతులను సంతృప్తి చేసే ఏ పరీక్ష ఫంక్షన్ \(\delta\boldsymbol{u}^n\) కు అయినా ఇది చెల్లుతుందనే కారణంగా

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

లభిస్తుంది. పెరుగుదల విశ్లేషణ (పెరుగుదల విశ్లేషణ చట్రం) సందర్భంలో కాల సూచిక \(_{n+1}\) ను తిరిగి ప్రవేశపెట్టి, సమగ్ర నోడ్ సదిశాన్ని సూచించే పై సూచిక \(^n\) ను వదిలేస్తే, పరిష్కరించాల్సిన సమీకరణ

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

అవుతుంది. సమయం \(t_{n+1}\) వద్ద నోడ్ స్థానచలనం \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) ను కనుగొనే వివిక్తీకరించిన సరిహద్దు విలువ సమస్య, ఈ స్థానచలనానికి సంబంధించిన అరేఖీయ సమీకరణాన్ని జ్యామితీయ సరిహద్దు షరతులతో కలిపి పరిష్కరించడంగా మారుతుంది. సమీకరణ రేఖీకరణ మరియు స్పర్శ దృఢత్వ మాత్రిక నిర్మాణానికి స్పర్శ దృఢత్వ మాత్రిక, పునరావృత పరిష్కారానికి Newton-Raphson పద్ధతి చూడండి.

సంబంధిత అంశాలు