సమాచారానికి వెళ్లండి

Translation update pending

The Telugu translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

సంఖ్యాత్మక సమాకలనం

అంతర్గత బల వర్చువల్ వర్క్ విచ్ఛిన్నీకరణ మరియు బాహ్య బల వర్చువల్ వర్క్ మరియు మొత్తం సమీకరణ సమీకూర్పు ద్వారా పొందిన మూలక అంతర్గత బల వెక్టర్‌లు \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) మరియు మూలక దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్ \(\boldsymbol{K}^e\) లు మూలక ప్రాంతం \(\Omega^e\) లేదా \(\Omega^e_0\) పై సమాకలనాల రూపంలో ఉంటాయి. FrontISTR వీటిని Gauss సమాకలన సూత్రంతో సంఖ్యాత్మకంగా మూల్యాంకనం చేస్తుంది.

Gauss సమాకలన సూత్రం మరియు చరరాశి మార్పు

Gauss సమాకలన సూత్రం ప్రమాణ ప్రాంతం \(\Xi\) పై సమాకలనాన్ని, సమాకలన బిందువులు \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) వద్ద సమాకల్య ఫంక్షన్ విలువలు మరియు బరువులు \(w_i\) యొక్క రేఖీయ మొత్తంగా సన్నికరిస్తుంది. దీనిని మూలక ప్రాంతం \(\Omega^e\) కు వర్తించేటప్పుడు మ్యాపింగ్ \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) ద్వారా చరరాశి మార్పు జరుగుతుంది:

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

ఇలా వ్రాయవచ్చు. \(n_q\) సమాకలన బిందువుల సంఖ్య; \(J_{\xi_i}\) మార్పు జాకోబియన్ నిర్ధారకం. ప్రమాణ ప్రాంతం \(\Xi\) ప్రతి మూలక రకానికి నిర్ణయించబడుతుంది (హెక్సాహెడ్రల్ మూలకానికి \([-1,1]^3\); త్రిభుజం, టెట్రాహెడ్రల్ మరియు వెడ్జ్ మూలకాలకు వాటి ప్రమాణ ఆకారాలు), సమాకలన బిందువులు \(\boldsymbol{\xi}_i\) మరియు బరువులు \(w_i\) సంఖ్యాత్మక పట్టికలుగా ఇవ్వబడతాయి. ఉపరితల సమాకలనాన్ని కూడా మూలక ఉపరితలాన్ని 2 కొలతల ప్రమాణ ప్రాంతం నుండి మ్యాప్ చేయడం ద్వారా ఇదే రూపంలో నిర్వహిస్తారు.

FrontISTR ఉపయోగించే ప్రాతినిధ్య సమాకలన బిందువుల సంఖ్య క్రింద చూపబడింది (మూలక రకాల అనుసంధానానికి మూలక సంఖ్యా వ్యవస్థ మరియు ఆకార ఫంక్షన్ లైబ్రరీ చూడండి).

మూలక రకం సమాకలన సూత్రం సమాకలన బిందువుల సంఖ్య
4-నోడ్ టెట్రాహెడ్రల్ (tet4n) 1-బిందు సూత్రం 1
10-నోడ్ టెట్రాహెడ్రల్ (tet10n) 4-బిందు సూత్రం 4
6-నోడ్ త్రిభుజ ప్రిజమ్ (prism6n) 2-బిందు సూత్రం 2
15-నోడ్ త్రిభుజ ప్రిజమ్ (prism15n) 9-బిందు సూత్రం 9
8-నోడ్ హెక్సాహెడ్రల్ (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20-నోడ్ హెక్సాహెడ్రల్ (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4-నోడ్ చతుర్భుజ (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
8-నోడ్ చతుర్భుజ (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
3-నోడ్ త్రిభుజ (tri3n) 1-బిందు సూత్రం 1
6-నోడ్ త్రిభుజ (tri6n) 3-బిందు సూత్రం 3

హెక్సాహెడ్రల్, చతుర్భుజ మరియు రేఖా మూలకాలలో ప్రతి అక్ష దిశకు Gauss-Legendre సూత్రాల టెన్సర్ గుణితాన్ని ఉపయోగిస్తారు. త్రిభుజ, టెట్రాహెడ్రల్ మరియు త్రిభుజ ప్రిజమ్ మూలకాలకు సింప్లెక్స్ ఆకృతికి తగిన ప్రత్యేక సూత్రాలను ఉపయోగిస్తారు; ఇవి త్రిభుజం స్వయంగా ఉన్న ప్రాంతంలో బహుపదులను ఖచ్చితంగా సమాకలనం చేసే బిందు అమరికలను ఉపయోగిస్తాయి.

మూలక సమాకలనానికి అన్వయం

మూలక సమాకలనంలో సహజ నిర్దేశాంకాలు \(\boldsymbol{r}\) ను ప్రమాణ ప్రాంత నిర్దేశాంకాలుగా తీసుకుంటారు (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)); భౌతిక నిర్దేశాంకాలకు మ్యాపింగ్ ఆకార ఫంక్షన్‌ల ద్వారా నోడ్ నిర్దేశాంకాల అంతర్వేశనంతో ఇవ్వబడుతుంది. సూచన ఆకృతి ఎంపికను (వృద్ధి విశ్లేషణ యొక్క చట్రం) బట్టి క్రిందివిధంగా ఉపయోగిస్తారు.

Total Lagrange పద్ధతి (సూచన ప్రాంతం \(\Omega^e_0\) పై సమాకలనం): మ్యాపింగ్ మరియు జాకోబియన్‌ను

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

గా తీసుకుని, మూలక అంతర్గత బల మరియు దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్‌లను

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

గా సన్నికరిస్తారు. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) అన్నింటినీ సమాకలన బిందువు \(\boldsymbol{r}_i\) వద్ద మూల్యాంకనం చేస్తారు.

Updated Lagrange పద్ధతి (ప్రస్తుత ప్రాంతం \(\Omega^e\) పై సమాకలనం): మ్యాపింగ్ మరియు జాకోబియన్‌ను

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

గా తీసుకుని,

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

గా సన్నికరిస్తారు.

ఈ రెండు సూత్రీకరణల మధ్య తేడా మ్యాపింగ్ ఇన్‌పుట్‌గా ఉపయోగించే నోడ్ నిర్దేశాంకాలు \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) లేదా \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) కావడంలో మాత్రమే ఉంది; సమాకలన బిందువులు, బరువులు మరియు సమాకలన బిందు లూప్ నిర్మాణం రెండింటికీ ఒకటే.

సంపూర్ణ సమాకలనం మరియు తగ్గించిన క్రమ సమాకలనం

సమాకల్య ఫంక్షన్ యొక్క బహుపది క్రమాన్ని ఖచ్చితంగా సమాకలనం చేయగల బిందువుల సంఖ్యను ఉపయోగించే సమాకలనాన్ని సంపూర్ణ సమాకలనం, దానికంటే ఒక స్థాయి తక్కువ సమాకలన బిందువులను ఉపయోగించేదాన్ని తగ్గించిన క్రమ సమాకలనం అంటారు. తగ్గించిన క్రమ సమాకలనం షియర్ మరియు ఘనపరిమాణ లాకింగ్‌ను తగ్గించడానికి ఉపయోగిస్తారు; అయితే అవర్‌గ్లాస్ మోడ్‌ల వంటి కృత్రిమ వికృతి మోడ్‌లకు పరిహారం అవసరం. ప్రతి మూలక రకానికి సమాకలన బిందువుల సంఖ్య మరియు సంపూర్ణ/తగ్గించిన క్రమ ఎంపికలను మూలక సంఖ్యా వ్యవస్థ మరియు ఆకార ఫంక్షన్ లైబ్రరీ తరువాతి భాగాలు మరియు అధిక పనితీరు మూలక సూత్రీకరణ లో వివరిస్తారు.

సంబంధిత అంశాలు