సమాచారానికి వెళ్లండి

3-కొలతల సాలిడ్ మూలకాల ఆకార ఫంక్షన్‌లు

ఆకార ఫంక్షన్‌లు మరియు పరిమిత మూలక సన్నికరణ లో పరిచయం చేసిన ఆకార ఫంక్షన్‌లు \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) కోసం, FrontISTR నిరంతర మాధ్యమ విశ్లేషణలో ఉపయోగించే 3-కొలతల సాలిడ్ మూలకాల సహజ నిర్దేశాంక వ్యవస్థలు మరియు నిర్దిష్ట రూపాలను ఈ అధ్యాయంలో సమీకరించారు. పరిధిలో టెట్రాహెడ్రల్ మొదటి/రెండవ క్రమం (341, 342), త్రిభుజ ప్రిజమ్ మొదటి/రెండవ క్రమం (351, 352), హెక్సాహెడ్రల్ మొదటి/రెండవ క్రమం (361, 362) అనే ఆరు రకాలు ఉన్నాయి. HEC-MW మెష్ ఫార్మాట్‌లో నోడ్ అమరిక క్రమం మరియు ఉపరితల సంఖ్యల కోసం ఫంక్షన్ రిఫరెన్స్‌లోని మూలక గ్రంథాలయం చూడండి.

ఈ ఆకార ఫంక్షన్‌లు మరియు జాకోబియన్ నిర్ధారకం నుండి మూలక సమాకలనాలను నిర్మించే విధానం సంఖ్యాత్మక సమాకలనం ను అనుసరిస్తుంది. 361 కోసం B-bar, F-bar, అసమ్మత సూత్రీకరణలు మరియు బీమ్/షెల్ మూలకాల ఆకార ఫంక్షన్‌లు అధిక పనితీరు మూలక సూత్రీకరణ లో వివరించబడతాయి.

సహజ నిర్దేశాంక వ్యవస్థలు మరియు అంతర్గత నోడ్ అమరిక

ఆకార ఫంక్షన్‌లు ప్రతి మూలకానికి సహజ నిర్దేశాంకాలు \(\boldsymbol{r}\) పై నిర్వచించబడతాయి. 3-కొలతల సాలిడ్ మూలకాలలో మూలక ఆకారాన్ని బట్టి క్రింది మూడు రకాల సహజ నిర్దేశాంక వ్యవస్థలు ఉపయోగిస్తారు.

  • హెక్సాహెడ్రల్ (361, 362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • టెట్రాహెడ్రల్ (341, 342): ఘనపరిమాణ నిర్దేశాంకాలు \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\), \(L_i \ge 0\). స్వతంత్ర చరరాశులుగా \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) తీసుకుని, \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) గా నిర్ణయిస్తారు.
  • త్రిభుజ ప్రిజమ్ (351, 352): అడుగు త్రిభుజం యొక్క ఘనపరిమాణ నిర్దేశాంకాలు \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) మరియు అక్ష దిశ నిర్దేశాంకం \(\zeta \in [-1, 1]\) ను కలిపి \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) గా తీసుకుంటారు. సహాయక పరిమాణం \(a = 1 - \xi - \eta\) ను అడుగు త్రిభుజం యొక్క మూడవ ఘనపరిమాణ నిర్దేశాంకంగా ఉపయోగిస్తారు.

మొదటి క్రమ మూలకాలలో మూలక నోడ్ సంఖ్యలు HEC-MW ఇన్‌పుట్ ఫార్మాట్ మరియు అంతర్గత ఫార్మాట్‌లో ఒకటే. రెండవ క్రమ మూలకాలలో అంచు మధ్య నోడ్‌ల అమరిక నియమం ఈ రెండు ఫార్మాట్‌లలో భిన్నంగా ఉంటుంది. FrontISTR ఇన్‌పుట్‌గా HEC-MW ఫార్మాట్‌ను స్వీకరిస్తుంది (మూల నోడ్‌లను చుట్టూ వరుసగా అమర్చిన తరువాత అంచులు 1-2, 2-3, ... క్రమంలో మధ్య నోడ్‌లను అమర్చుతుంది), అయితే మూలక గ్రంథాలయంలోని ఆకార ఫంక్షన్‌లు వేరే నోడ్ క్రమాన్ని ముందస్తుగా ఊహిస్తాయి.

ఈ రెండు ఫార్మాట్‌ల మధ్య తేడాను మెష్ చదివిన వెంటనే పిలవబడే hecmw2fstr_mesh_conv ప్రతి మూలకానికి నోడ్‌లను తిరిగి అమర్చడం ద్వారా పరిష్కరిస్తుంది. 3-కొలతల సాలిడ్ మూలకాలలో మార్పుకు లోబడే రకాలు క్రింది రెండు.

మూలక రకం మార్పు పట్టిక వివరణ
342 (రెండవ క్రమ టెట్రాహెడ్రల్) Table342 10 నోడ్‌లను \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) క్రమంలో తిరిగి అమర్చుతుంది
352 (రెండవ క్రమ త్రిభుజ ప్రిజమ్) Table352 15 నోడ్‌లను \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) క్రమంలో తిరిగి అమర్చుతుంది

తిరిగి అమరిక మూలక కనెక్షన్ సమాచారాన్ని నిల్వ చేసే అర్రేపై నేరుగా జరుగుతుంది; అందువల్ల తరువాతి అన్ని మూలక గ్రంథాలయ పిలుపుల్లో FrontISTR అంతర్గత నోడ్ క్రమమే ఉపయోగించబడుతుంది. రెండవ క్రమ హెక్సాహెడ్రల్ మూలకం 362 కోసం HEC-MW ఇన్‌పుట్ ఫార్మాట్ మరియు FrontISTR అంతర్గత ఫార్మాట్‌లో మధ్య నోడ్ అమరిక ఒకటే కాబట్టి మార్పు పట్టిక లేదు. ఫలిత అవుట్‌పుట్ సమయంలో ప్రతికూల మార్పు fstr2hecmw_mesh_conv ను పిలిచి HEC-MW నోడ్ అమరికకు తిరిగి మార్చి వ్రాస్తుంది; అందువల్ల ఇన్‌పుట్ మరియు అవుట్‌పుట్ రెండింటిలోనూ వినియోగదారు HEC-MW ఫార్మాట్‌ను మాత్రమే పరిగణిస్తే సరిపోతుంది. క్రింద చూపిన ఆకార ఫంక్షన్‌ల నోడ్ సంఖ్యలు మార్పు అనంతర FrontISTR అంతర్గత ఫార్మాట్‌కు చెందినవి.

మొదటి క్రమ మూలకాల ఆకార ఫంక్షన్‌లు

మొదటి క్రమ టెట్రాహెడ్రల్ మూలకం (341) యొక్క ఆకార ఫంక్షన్‌లు ఘనపరిమాణ నిర్దేశాంకాలే:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

మొదటి క్రమ త్రిభుజ ప్రిజమ్ మూలకం (351) ఆకార ఫంక్షన్‌లు అడుగు త్రిభుజం యొక్క రేఖీయ ఆకార ఫంక్షన్‌లు (\(a, \xi, \eta\)) మరియు అక్ష దిశ రేఖీయ ఆకార ఫంక్షన్‌లు (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) యొక్క గుణితాలు:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

మొదటి క్రమ హెక్సాహెడ్రల్ మూలకం (361) ఆకార ఫంక్షన్‌లు మూడు అక్ష దిశల రేఖీయ ఆకార ఫంక్షన్‌ల టెన్సర్ గుణితం:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

ఇక్కడ \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) నోడ్ \(\alpha\) యొక్క సహజ నిర్దేశాంక విలువలు (ప్రతి భాగం \(\pm 1\)).

రెండవ క్రమ మూలకాల ఆకార ఫంక్షన్‌లు

రెండవ క్రమ టెట్రాహెడ్రల్ మూలకం (342) ఆకార ఫంక్షన్‌లు నాలుగు మూల నోడ్‌లు మరియు ఆరు అంచు మధ్య నోడ్‌లుగా విభజించబడతాయి:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

మధ్య నోడ్‌లు 5 నుండి 10 వరుసగా అంచులు 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4, 3-4 యొక్క మధ్యబిందువులకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

రెండవ క్రమ త్రిభుజ ప్రిజమ్ మూలకం (352) ఆకార ఫంక్షన్‌లు ఆరు మూల నోడ్‌లు, త్రిభుజ ఉపరితలాలపై ఆరు అంచు మధ్య నోడ్‌లు మరియు అక్ష దిశ అంచులపై మూడు మధ్య నోడ్‌లతో నిర్మించబడతాయి:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

మధ్య నోడ్‌లు 7 నుండి 9 వరకు అడుగు త్రిభుజం (\(\zeta = -1\)) యొక్క ప్రతి అంచు మధ్యబిందువులకు, 10 నుండి 12 వరకు పై త్రిభుజం (\(\zeta = +1\)) యొక్క ప్రతి అంచు మధ్యబిందువులకు, 13 నుండి 15 వరకు అక్ష దిశ అంచుల మధ్యబిందువులకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

రెండవ క్రమ హెక్సాహెడ్రల్ మూలకం (362) Serendipity కుటుంబానికి చెందిన 20-నోడ్ మూలకం. నోడ్ \(\alpha\) యొక్క సహజ నిర్దేశాంక విలువలను \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) గా తీసుకుందాం. మూల నోడ్‌లకు (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), ప్రతి భాగం \(\pm 1\)):

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

అంచు మధ్య నోడ్‌లకు (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), మూడు సహజ నిర్దేశాంకాలలో ఒకటి \(0\), మిగిలిన రెండు \(\pm 1\)), \(\xi_\alpha = 0\) అయ్యే నోడ్‌లకు (అంచు దిశ \(\xi\) అక్షం):

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

అంచు దిశ \(\eta\) అక్షం లేదా \(\zeta\) అక్షం అయిన మధ్య నోడ్‌లకు కూడా ఇదే విధంగా, సంబంధిత సహజ నిర్దేశాంకాన్ని వర్గ పదం ద్వారా తొలగించిన రూపం ఉపయోగించబడుతుంది.

సంబంధిత అంశాలు