సమాచారానికి వెళ్లండి

అధిక పనితీరు మూలక సూత్రీకరణ

3D ఘన మూలక సూత్రీకరణలో చూపిన స్థానచలన-ఆధారిత ప్రామాణిక సూత్రీకరణను దాదాపు అసంకోచ్య పదార్థాలు లేదా వంగింపు ఆధిపత్యం గల పలుచని నిర్మాణాలకు వర్తిస్తే లాకింగ్ (పరిమాణ లాకింగ్, కతరణ లాకింగ్) అనే అనుచిత అధిక దృఢత్వం కనిపిస్తుంది. దీనిని నివారించడానికి FrontISTR, B మ్యాట్రిక్స్ లేదా వికృతి గ్రేడియెంట్ యొక్క పరిమాణ భాగాన్ని మాత్రమే మార్చే B-bar/F-bar పద్ధతులు, అంతర్గత స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలు కలిగిన అసంగత మూలకాలు, పీడనాన్ని స్వతంత్ర తెలియని క్షేత్రంగా తీసుకునే u-p మిశ్రిత మూలకాలు, అలాగే పలక/బీమ్ నిర్మాణాలకు MITC షెల్ మరియు బీమ్ మూలకాలను అందిస్తుంది.

ఈ అధ్యాయంలో ఈ అధిక పనితీరు మరియు నిర్మాణ మూలకాల సూత్రీకరణలను మూలక ప్రాతిపదికన సమగ్రపరుస్తారు.

B-bar పద్ధతి

8-నోడ్ రేఖీయ హెక్సాహెడ్రల్ మూలకాన్ని దాదాపు అసంకోచ్య పదార్థానికి ఉపయోగించినప్పుడు, ఒక్క మూలకంలోని స్ట్రెయిన్ స్థిర పరిమాణ నిర్బంధంతో విరుద్ధమై పరిమాణ లాకింగ్ అనే అధిక దృఢత్వాన్ని కలిగిస్తుంది. B-bar పద్ధతి B మ్యాట్రిక్స్‌లో పరిమాణ విస్తరణకు సంబంధించిన భాగాలను మూలక కేంద్రంలో మూల్యాంకనం చేసిన విలువలతో భర్తీ చేసి అధిక నిర్బంధాన్ని తగ్గిస్తుంది [Hughes1980].

మూలక కేంద్రం \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) వద్ద ఆకార ఫంక్షన్ స్థల అవకలనాలనుంచి లెక్కించిన B మ్యాట్రిక్స్‌ను \(\bar{\boldsymbol{B}}\), సమాకలన బిందువు \(\boldsymbol{r}\) వద్ద సాధారణ B మ్యాట్రిక్స్‌ను \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) గా తీసుకుంటారు. నోడ్ \(\alpha\) యొక్క స్వేచ్ఛా ప్రమాణం \(i\) కు స్థానచలనం-స్ట్రెయిన్ సంబంధంలో పరిమాణ స్ట్రెయిన్ భాగాలు \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) కు

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

ను జోడిస్తారు; కతరణ భాగాలు \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) కు సాధారణ \(\boldsymbol{B}\) ఉపయోగిస్తారు. ఇలా పొందిన B-bar మ్యాట్రిక్స్‌తో మూలక దృఢత్వం మరియు అంతర్గత బల వెక్టర్‌ను అసెంబుల్ చేస్తారు.

FrontISTR ఈ సూత్రీకరణను 8-నోడ్ రేఖీయ హెక్సాహెడ్రల్ మూలకం (మూలక ID 361, మూలక సంఖ్యా వ్యవస్థ) కోసం అందిస్తుంది; ఇది సూక్ష్మ వికృతి, Total Lagrange, Updated Lagrange అన్నింటికీ వర్తిస్తుంది.

F-bar పద్ధతి

పరిమిత వికృతిలో పరిమాణ మార్పు వికృతి గ్రేడియెంట్ \(\boldsymbol{F}\) ద్వారా అరేఖీయంగా ప్రభావితం చేస్తుంది. B-bar పద్ధతికి సమానమైన పరిమాణ లాకింగ్ నివారణను వికృతి గ్రేడియెంట్ స్థాయిలో చేసే విధానం F-bar పద్ధతి [deSouzaNeto1996].

మూలక కేంద్రం \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) వద్ద వికృతి గ్రేడియెంట్ పరిమాణ నిష్పత్తిని \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), సమాకలన బిందువులో దానిని \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) గా తీసుకుని, సమాకలన బిందువు వికృతి గ్రేడియెంట్‌ను

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

తో భర్తీ చేస్తారు. అప్పుడు \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) అవుతుంది మరియు మూలకం అంతటా పరిమాణ నిష్పత్తి మూలక కేంద్ర విలువకు సమానమవుతుంది. ఒత్తిడి మూల్యాంకనం మరియు స్ట్రెయిన్-స్థానచలన మ్యాట్రిక్స్ నిర్మాణానికి భర్తీ చేసిన \(\bar{\boldsymbol{F}}\) ను ఉపయోగించి, మూలక దృఢత్వంలో ఈ భర్తీ వల్ల వచ్చే అదనపు పదాలతో ట్యాంజెంట్ మ్యాట్రిక్స్‌ను అసెంబుల్ చేస్తారు.

FrontISTR F-bar పద్ధతిని 8-నోడ్ రేఖీయ హెక్సాహెడ్రల్ మూలకానికి మాత్రమే అమలు చేస్తుంది; ఇది సూక్ష్మ వికృతి మరియు Total Lagrange / Updated Lagrange అరేఖీయ జ్యామితి రెండింటికీ వర్తిస్తుంది.

అసంగత మూలకాలు

8-నోడ్ రేఖీయ హెక్సాహెడ్రల్ మూలకానికి వంగింపు మోడ్‌కు అవసరమైన స్ట్రెయిన్ స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలు లేవు; అందువల్ల వంగింపు ఆధిపత్య సమస్యల్లో వంగింపు లాకింగ్ కనిపిస్తుంది. అసంగత మూలకం [Taylor1976] ఈ లోపాన్ని సరిచేయడానికి మూలకం లోపల అదనపు స్థానచలన మోడ్‌లను ప్రవేశపెడుతుంది.

మూలక నోడ్ స్థానచలనం \(\boldsymbol{u}^e\) తో పాటు, ఒక్క మూలకానికి 3 దిశలు × 3 మోడ్‌లుగా మూలకం లోపల మాత్రమే ఉండే అసంగత మోడ్ స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలు \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) ను ప్రవేశపెట్టి స్థానచలన క్షేత్రాన్ని

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

గా సన్నిహితం చేస్తారు. సహజ నిర్దేశాంకాలు \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) కోసం అసంగత ఆకార ఫంక్షన్‌లను \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) గా తీసుకుంటారు. ఇవి మూలక సరిహద్దులో నిరంతరతను హామీ చేయవు, కానీ వంగింపు మోడ్ స్ట్రెయిన్‌ను పునరుత్పత్తి చేసే స్థలాన్ని మూలకంలో జోడిస్తాయి.

మూలక దృఢత్వాన్ని బాహ్య మరియు అంతర్గత స్వేచ్ఛా ప్రమాణాల బ్లాక్ విభజనగా

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

రూపంలో అసెంబుల్ చేసిన తరువాత, \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) తో అంతర్గత స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలను తొలగించే స్థిర సంకోచనం చేసి, బాహ్య స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలకు మాత్రమే మూలక దృఢత్వాన్ని

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

గ్లోబల్ అసెంబ్లీకి పంపుతారు.

FrontISTR అసంగత మూలకాన్ని 8-నోడ్ రేఖీయ హెక్సాహెడ్రల్ (C3D8IC) మూలకానికి మాత్రమే అమలు చేస్తుంది; సూక్ష్మ వికృతి, Total Lagrange, Updated Lagrange అన్నింటికీ వర్తిస్తుంది.

U-P మిశ్రిత మూలకాలు

B-bar/F-bar పద్ధతులు స్థానచలన-ఆధారిత ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో పరిమాణ భాగాన్ని సరిచేస్తే, u-p మిశ్రిత (U-P) మూలకం పీడనం \(\lambda\) ను స్థానచలనానికి స్వతంత్ర తెలియని క్షేత్రంగా ప్రవేశపెట్టే మిశ్రిత సూత్రీకరణ [Bathe1996]. దాదాపు అసంకోచ్య పదార్థాల్లో (Poisson నిష్పత్తి 0.5 కు చాలా దగ్గరగా ఉన్న రబ్బరు పదార్థాలు లేదా ప్లాస్టిక్ వికృతి తరువాత లోహాలు) స్థానచలన క్షేత్రంతో మాత్రమే స్థిర పరిమాణ నిర్బంధాన్ని సంతృప్తి పరచాలని ప్రయత్నిస్తే పరిమాణ లాకింగ్ వస్తుంది; పీడనాన్ని స్వతంత్ర చరంగా తీసుకోవడం దీన్ని సడలిస్తుంది.

ఒత్తిడిని విచలిత భాగం మరియు పీడనంగా విభజించి,

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

గా వ్రాస్తారు. ఇక్కడ \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) అనేది స్థితిస్థాపక మ్యాట్రిక్స్ నుండి బల్క్ మాడ్యులస్ \(K\) కు అనుపాతమైన పరిమాణ భాగాన్ని తొలగించిన విచలిత స్థితిస్థాపక మ్యాట్రిక్స్. పీడనం \(\lambda\) మరియు పరిమాణ స్ట్రెయిన్ \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\), సంకోచ్యత \(\alpha^{-1} = 1/K\) ద్వారా నిర్బంధ షరతుతో

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

అనుసంధానించబడతాయి. స్థానచలనం \(\boldsymbol{u}\) మరియు పీడనం \(\lambda\) ను తెలియనివిగా తీసుకున్న విచ్ఛిన్నీకరణ నుండి మూలక సమకాలీన సమీకరణం

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

లభిస్తుంది. ఇక్కడ \(\mathbf{K}_{uu}\) విచలిత స్థితిస్థాపక భాగం మరియు పరిమిత వికృతిలో జ్యామితీయ దృఢత్వం; \(\mathbf{K}_{up}\) పరిమాణ స్ట్రెయిన్-పీడన కప్లింగ్ మ్యాట్రిక్స్; \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) పీడన స్థిరీకరణ పదం (\(\boldsymbol{N}_p\) పీడన ఆకార ఫంక్షన్). పీడన స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలు మూలకం లోపల మాత్రమే ఉండేందున,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

రూపంలో స్థిర సంకోచనం చేసి బాహ్య (స్థానచలన) స్వేచ్ఛా ప్రమాణాల ప్రభావవంత దృఢత్వాన్ని గ్లోబల్ అసెంబ్లీకి పంపుతారు.

FrontISTR U-P మూలకాన్ని 8-నోడ్ రేఖీయ హెక్సాహెడ్రల్ మూలకానికి మాత్రమే అమలు చేస్తుంది; ఒక్క మూలకానికి ఒక పీడన స్వేచ్ఛా ప్రమాణం (మూలకంలో స్థిరం) ఉంటుంది. ఇది సూక్ష్మ వికృతి, Total Lagrange, Updated Lagrange అన్నింటికీ వర్తిస్తుంది. Updated Lagrange లో విచలిత ఒత్తిడిని వస్తునిష్ఠ ఒత్తిడి రేటు (Jaumann/Hughes-Winget రకం) తో నవీకరించి, స్థిర సంకోచనం ద్వారా పొందిన విలువతో పీడనం \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) ను విధిస్తారు.

షెల్ మూలకాలు

పలుచని పలక/షెల్ నిర్మాణాలకు Reissner-Mindlin సిద్ధాంతం ఆధారిత షెల్ మూలకాలు ఉపయోగిస్తారు. తక్కువ క్రమ స్థానచలన-ఆధారిత షెల్ మూలకాల్లో మందం తగ్గేకొద్దీ అడ్డ కతరణ స్ట్రెయిన్, పరిమాణ లాకింగ్‌కు సమానమైన కతరణ లాకింగ్ కారణంగా అధికంగా అంచనా వేయబడుతుంది; వంగింపు మోడ్ దృఢత్వం అనుచితంగా పెరుగుతుంది. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) పద్ధతి [Dvorkin1984] [Bathe1986] కతరణ స్ట్రెయిన్ భాగాలను ముందుగా నిర్ణయించిన టైయింగ్ బిందువులు వద్ద తిరిగి నమూనా తీసుకుని, వాటిని మూలకం అంతటా మళ్లీ ఇంటర్‌పోలేట్ చేయడం ద్వారా సమస్యను నివారిస్తుంది.

MITC షెల్ నోడ్‌లు వక్ర ఉపరితలంలోని మధ్య ఉపరితల నోడ్‌లు. ప్రతి నోడ్‌కు 3 అనువాదాలు + మధ్య ఉపరితల సాధారణం చుట్టూ 3 భ్రమణాలు = 6 స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలు ఉంటాయి. మూలక దృఢత్వాన్ని మధ్య ఉపరితల సహజ నిర్దేశాంకాలు మరియు మందం దిశతో కలిపి 3D Gaussian సమాకలనంతో మూల్యాంకనం చేస్తారు; మందం \(h\) ను నిర్మాణ సమీకరణ గణనలో మూలక లక్షణంగా ఇస్తారు.

FrontISTR మధ్య ఉపరితల ఒక్క పొర MITC3 (మూలక ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743), అలాగే మందం దిశలో రెండు నోడ్ పొరలున్న పొరల షెల్ మూలకాలు MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 నోడ్‌లు, నోడ్‌కు 3 DOF) మరియు MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 నోడ్‌లు, నోడ్‌కు 3 DOF) అందిస్తుంది. పొరల షెల్లో నోడ్ స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలు 3 అనువాదాలే; భ్రమణ DOF కు సమానమైన వంగింపు మోడ్‌ను రెండు పొరల అమరికతో వ్యక్తీకరిస్తారు.

బీమ్ మూలకాలు

గిర్డర్ మరియు ఫ్రేమ్ నిర్మాణాల వంటి రేఖీయ భాగాలను బీమ్ మూలకాలతో విచ్ఛిన్నీకరిస్తారు. FrontISTR కతరణ వికృతిని పరిగణించే Timoshenko బీమ్ సూత్రీకరణను ఉపయోగించి, వంగింపు మరియు కతరణ రెండింటినీ స్థానచలనం మరియు భ్రమణ స్వేచ్ఛా ప్రమాణాల ఫంక్షన్‌లుగా వర్ణిస్తుంది.

బీమ్ నోడ్‌కు 3 అనువాదాలు మరియు అక్ష/అడ్డ అక్షాల చుట్టూ 3 భ్రమణాలతో 6 DOF ఉంటాయి. మూలక దృఢత్వాన్ని బీమ్ అక్షం వెంట 1D సంఖ్యాత్మక సమాకలనంతో మూల్యాంకనం చేస్తారు. విభాగ వైశాల్యం \(A\) మరియు వంగింపు/టోర్షన్ దిశల ద్వితీయ విస్తీర్ణ క్షణం \(I\) ను బీమ్ విభాగ స్థిరాంకాలుగా మూలక లక్షణాల్లో ఇస్తారు; పదార్థ Young మాడ్యులస్ \(E\), కతరణ మాడ్యులస్ \(G\) తో కలిపి పొడుగు, వంగింపు, టోర్షన్, కతరణ దృఢత్వ గుణకాలను నిర్మిస్తారు.

FrontISTR 2-నోడ్ సూటి బీమ్ మూలకం (మూలక ID 611) మరియు 3 నోడ్‌లతో వ్యక్తీకరించే 4-నోడ్ టెట్రాహెడ్రల్ ఘన-బీమ్ హైబ్రిడ్ మూలకం (641, మిశ్రిత DOF కోసం) అందిస్తుంది.

సంబంధిత అంశాలు