చలనం, వికృతి మరియు స్ట్రెయిన్¶

సూచన ఆకృతి మరియు ప్రస్తుత ఆకృతి¶

ఆకృతుల నిర్వచనం¶

భౌతిక పరిమాణాలను ఏ సమయంలోని ఆకృతిని ఆధారంగా తీసుకుని వర్ణిస్తున్నామో వేరు చేయడానికి, ఈ మాన్యువల్ రెండు రకాల ఆకృతులను ఉపయోగిస్తుంది.

సూచన ఆకృతి (reference configuration): విశ్లేషణ ప్రారంభ సమయం (సమయం \(0\)) వద్ద వికృతి చెందని ఆకృతి; దీనిని ప్రారంభ ఆకృతి అని కూడా అంటారు. సూచన ఆకృతిలోని బిందువును పదార్థ నిర్దేశాంకం \(\boldsymbol{X}\) తో సూచించి, పరిమాణాన్ని \(V\), ఉపరితలాన్ని \(S\) గా తీసుకుంటారు.
ప్రస్తుత ఆకృతి (current configuration): సమయం \(t\) వద్ద వికృతి చెందిన ఆకృతి. ప్రస్తుత ఆకృతిలోని బిందువును స్థల నిర్దేశాంకం \(\boldsymbol{x}\) తో సూచించి, పరిమాణాన్ని \(v\), ఉపరితలాన్ని \(s\) గా తీసుకుంటారు.

చలనాన్ని ఈ రెండు ఆకృతుల మధ్య మ్యాపింగ్ \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) గా వర్ణిస్తారు; స్థానచలనాన్ని \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) గా నిర్వచిస్తారు.

ఆకృతిపై ఆధారిత సంకేత నియమం (పెద్ద అక్షరాలు/చిన్న అక్షరాలు)¶

భౌతిక పరిమాణం ఏ ఆకృతికి చెందినదో సంకేతం యొక్క అక్షర పరిమాణంతో వేరు చేస్తారు.

సూచన ఆకృతికి చెందిన పరిమాణాలను పెద్ద అక్షరాలతో సూచిస్తారు (ఉదా.: \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
ప్రస్తుత ఆకృతికి చెందిన పరిమాణాలను చిన్న అక్షరాలతో సూచిస్తారు (ఉదా.: \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
మొదటి Piola-Kirchhoff ఒత్తిడి \(\boldsymbol{P}\) వంటి రెండు ఆకృతులకు సంబంధించే పరిమాణాలకు సాంప్రదాయ సంకేతాన్ని ఉపయోగించి, అవసరమైన చోట పాఠ్యంలో స్పష్టం చేస్తారు.
సూక్ష్మ వికృతి సిద్ధాంతంలో రెండు ఆకృతుల మధ్య భేదం లేకపోవడంతో చిన్న అక్షరాలు (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) మాత్రమే ఉపయోగిస్తారు.

సూచన ఆకృతి గ్రేడియెంట్ మరియు ప్రస్తుత ఆకృతి గ్రేడియెంట్¶

స్థల అవకలనాన్ని ఏ ఆకృతికి సంబంధించి తీసుకుంటారనే దానిపై సంకేతం మరియు అర్థం మారుతాయి.

సూచన ఆకృతి గ్రేడియెంట్ \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): పదార్థ నిర్దేశాంకాలకు సంబంధించిన గ్రేడియెంట్. ఉదా.: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
ప్రస్తుత ఆకృతి గ్రేడియెంట్ \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): స్థల నిర్దేశాంకాలకు సంబంధించిన గ్రేడియెంట్. ఉదా.: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

ఇవి \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) సంబంధంతో అనుసంధానించబడ్డాయి. కాల అవకలనం నియమం (పదార్థ కాల అవకలనం \(\dot{(\cdot)}\)) కోసం టెన్సర్ సంకేతనం మరియు గణిత ప్రాతిపదికలు చూడండి.

చలన వివరణ¶

చలన మ్యాపింగ్ మరియు పదార్థ/స్థల వివరణ¶

నిరంతర మాధ్యమాన్ని సమయం \(0\) వద్ద స్థానం \(\boldsymbol{X}\) తో లేబుల్ చేసిన పదార్థ బిందువుల సమాహారంగా పరిగణిస్తే, చలనాన్ని పదార్థ బిందువు \(\boldsymbol{X}\) ను సమయం \(t\) వద్ద దాని స్థానం \(\boldsymbol{x}\) తో అనుసంధానించే మ్యాపింగ్ \(\phi\) ద్వారా

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

గా వ్యక్తీకరిస్తారు. సూచన ఆకృతిని ప్రారంభ ఆకృతిగా తీసుకునే నియమంలో \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

స్వతంత్ర చరాల ఎంపికను బట్టి రెండు వివరణలను వేరు చేస్తారు.

పదార్థ వివరణ (Lagrange వివరణ): భౌతిక పరిమాణాలను \((\boldsymbol{X}, t)\) యొక్క ఫంక్షన్‌లుగా వర్ణిస్తుంది. ఘన యాంత్రిక శాస్త్రంలో సూచన ఆకృతి స్థిర ఆకృతిగా ఇవ్వబడేందున ఇది సహజ ఎంపిక.
స్థల వివరణ (Euler వివరణ): భౌతిక పరిమాణాలను \((\boldsymbol{x}, t)\) యొక్క ఫంక్షన్‌లుగా వర్ణిస్తుంది. ద్రవ యాంత్రిక శాస్త్రంలో ఇది ప్రామాణికంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

FrontISTR నిర్మాణ విశ్లేషణ మౌలికంగా పదార్థ వివరణపై ఆధారపడుతుంది; అయితే Updated Lagrange పద్ధతిలో ప్రస్తుత ఆకృతిని కొత్త సూచన ఆకృతిగా ఉపయోగించేందున స్థల వివరణ పరిమాణాలను కూడా ఉపయోగిస్తారు.

స్థానచలనం, వేగం మరియు త్వరణం¶

మునుపటి విభాగంలో చెప్పినట్లుగా స్థానచలనం \(\boldsymbol{u}\) ను \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) గా నిర్వచిస్తారు. దాని పరిమాణంపై ఎలాంటి ఊహ చేయకుండా పరిమిత వికృతుల వరకు పరిగణిస్తారు. వేగం మరియు త్వరణం వెక్టర్‌లను పదార్థ బిందువును స్థిరంగా ఉంచిన \(\boldsymbol{u}\) యొక్క పదార్థ కాల అవకలనాలుగా

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

గా నిర్వచిస్తారు.

వికృతి గ్రేడియెంట్ మరియు వికృతి టెన్సర్లు¶

వికృతి గ్రేడియెంట్ టెన్సర్¶

పరిమిత వికృతి నిరంతర మాధ్యమ యాంత్రిక శాస్త్రంలో ప్రాథమిక పరిమాణం వికృతి గ్రేడియెంట్ టెన్సర్ \(\boldsymbol{F}\). ఇది సూచన ఆకృతిలోని సూక్ష్మ రేఖాఖండం \(d\boldsymbol{X}\) ను ప్రస్తుత ఆకృతిలోని \(d\boldsymbol{x}\) కు మ్యాప్ చేసే రేఖీయ మ్యాపింగ్; చలన మ్యాపింగ్‌కు పదార్థ నిర్దేశాంకాల పట్ల గ్రేడియెంట్‌గా

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

గా నిర్వచిస్తారు (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). వికృతి లేని స్థితిలో \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) ను స్ట్రెయిన్ మరియు ఒత్తిడి నిర్వచనాల్లో, ఆకృతుల మధ్య భౌతిక పరిమాణాల రూపాంతరంలో విస్తృతంగా ఉపయోగిస్తారు.

పరిమాణ మార్పు నిష్పత్తి¶

సూచన ఆకృతిలోని సూక్ష్మ పరిమాణం \(dV\) మరియు ప్రస్తుత ఆకృతిలోని సూక్ష్మ పరిమాణం \(dv\) నిష్పత్తిని పరిమాణ మార్పు నిష్పత్తి \(J\) అంటారు; ఇది

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

గా ఇవ్వబడుతుంది. నిరంతర మాధ్యమం యొక్క తిరోగమన సామర్థ్యాన్ని బట్టి \(J > 0\) అని ఊహిస్తారు. ద్రవ్యరాశి సంరక్షణ నియమం \(\rho_0 = J\rho\) గా వ్రాయబడుతుంది.

కుడి మరియు ఎడమ Cauchy-Green వికృతి టెన్సర్లు¶

వికృతి గ్రేడియెంట్ \(\boldsymbol{F}\) లో దృఢదేహ భ్రమణం కూడా ఉండేందున, వికృతిని స్వయంగా కొలవడానికి దృఢదేహ భ్రమణాన్ని తొలగించిన పరిమాణాలను ఉపయోగిస్తారు. కుడి Cauchy-Green వికృతి టెన్సర్ \(\boldsymbol{C}\) (సూచన ఆకృతి) మరియు ఎడమ Cauchy-Green వికృతి టెన్సర్ \(\boldsymbol{b}\) (ప్రస్తుత ఆకృతి) ను

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

గా నిర్వచిస్తారు. రెండూ సమమితి టెన్సర్లు మరియు ఒకే ఈజెన్‌వాల్యూలను (ప్రధాన విస్తరణ నిష్పత్తుల వర్గాలు) కలిగి ఉంటాయి. హైపర్‌ఎలాస్టిసిటీ స్ట్రెయిన్ శక్తి ఫంక్షన్ ప్రధాన అవికరాలను వీటి ద్వారా నిర్వచిస్తారు.

స్ట్రెయిన్ టెన్సర్లు¶

Green-Lagrange స్ట్రెయిన్ టెన్సర్¶

సూచన ఆకృతిపై ఆధారిత స్ట్రెయిన్ కొలమానంగా Green-Lagrange స్ట్రెయిన్ టెన్సర్ \(\boldsymbol{E}\) ను

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

గా నిర్వచిస్తారు. ఇది సూచన ఆకృతిలో సూక్ష్మ వెక్టర్‌ల అంతర్గుణిత మార్పును సూచించే సమమితి టెన్సర్; దృఢదేహ భ్రమణానికి అవికారి మరియు వికృతి లేని స్థితిలో \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) ను ఉపయోగిస్తే

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

స్థానచలన గ్రేడియెంట్ యొక్క మొదటి మరియు రెండవ క్రమ పదాల మొత్తంగా వ్రాయవచ్చు; రెండవ క్రమ పదం జ్యామితీయ అరేఖీయతను సూచిస్తుంది. Total Lagrange పద్ధతిలో ఇది ఒత్తిడి-సంయుగ్మ జంట \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) గా ఉపయోగించబడుతుంది.

Almansi స్ట్రెయిన్ టెన్సర్¶

ప్రస్తుత ఆకృతిపై ఆధారిత స్ట్రెయిన్ కొలమానంగా Almansi స్ట్రెయిన్ టెన్సర్ \(\boldsymbol{e}\) ను

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

గా నిర్వచిస్తారు. ఇది Green-Lagrange స్ట్రెయిన్‌తో \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back) ద్వారా అనుసంధానించబడుతుంది.

సూక్ష్మ స్ట్రెయిన్ టెన్సర్¶

స్థానచలన గ్రేడియెంట్ చిన్నగా ఉన్నప్పుడు (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange స్ట్రెయిన్‌లోని రెండవ క్రమ పదాన్ని విస్మరించవచ్చు. రెండు ఆకృతుల మధ్య భేదం కూడా తొలగిపోవడంతో, స్థల నిర్దేశాంకాల్లో గ్రేడియెంట్‌తో వ్యక్తీకరించిన సూక్ష్మ స్ట్రెయిన్ టెన్సర్ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) కు తగ్గుతుంది:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR యొక్క రేఖీయ స్థిర విశ్లేషణ, మోడ్ విశ్లేషణ, పౌనఃపున్య ప్రతిస్పందన విశ్లేషణ మరియు రేఖీయ గతి విశ్లేషణలో ఈ స్ట్రెయిన్ కొలమానం ఉపయోగిస్తారు. పరిమిత వికృతి విశ్లేషణలో Total Lagrange పద్ధతి \(\boldsymbol{E}\) ను, Updated Lagrange పద్ధతి ప్రస్తుత ఆకృతిపై ఆధారిత వికృతి వేగ టెన్సర్ \(\boldsymbol{D}\) ను ఉపయోగిస్తుంది.