సమాచారానికి వెళ్లండి

ఒత్తిడి మరియు సంరక్షణ నియమాలు

ఒత్తిడి టెన్సర్‌ల నిర్వచనాలు మరియు పరస్పర సంబంధాలు, అలాగే ద్రవ్యరాశి, రేఖీయ సంచలనం మరియు కోణీయ సంచలన సంరక్షణ నియమాల నుండి లభించే సమతుల్య సమీకరణాలు మరియు ఒత్తిడి సమమితిని ఈ అధ్యాయంలో సమగ్రంగా వివరిస్తాము. మూడు రకాల ఒత్తిడి టెన్సర్లు—Cauchy ఒత్తిడి \(\boldsymbol{\sigma}\), 1వ Piola-Kirchhoff ఒత్తిడి \(\boldsymbol{P}\), 2వ Piola-Kirchhoff ఒత్తిడి \(\boldsymbol{S}\)—సూచన ఉపరితలం మరియు బల సదిశానికి ఏ అమరికను ఎంచుకుంటామనే తేడా ఆధారంగా ప్రవేశపెట్టబడతాయి. అమరిక, చలనం మరియు వికృతి గ్రేడియెంట్ నిర్వచనాలకు చలనం, వికృతి మరియు స్ట్రెయిన్, చిహ్నాల జాబితాకు భౌతిక పరిమాణాల చిహ్నాల జాబితా చూడండి.

Cauchy ఒత్తిడి టెన్సర్

ప్రస్తుత అమరికలోని బిందువు \(\boldsymbol{x}\) వద్ద సూక్ష్మ ఉపరితలం (విస్తీర్ణం \(d\Gamma\), బయటకు చూపే ఏకక లంబ సదిశం \(\boldsymbol{n}\)) పై పనిచేసే బలాన్ని \(d\boldsymbol{f}\) గా తీసుకుని, ఒత్తిడి సదిశం \(\boldsymbol{t}\) ను ఏకక విస్తీర్ణానికి బలం \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) గా నిర్వచిస్తాము. \(\boldsymbol{t}\) స్థానం \(\boldsymbol{x}\) మరియు లంబ సదిశం \(\boldsymbol{n}\) రెండింటిపైనా ఆధారపడుతుంది. సూక్ష్మ టెట్రాహెడ్రాన్‌కు సంచలన సంరక్షణ నియమాన్ని వర్తింపజేస్తే \(\boldsymbol{t}\), \(\boldsymbol{n}\) పట్ల రేఖీయమని తెలుస్తుంది; అందువల్ల 2వ క్రమ టెన్సర్ \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) ఉండి

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

ఏ \(\boldsymbol{n}\) కైనా చెల్లుతుంది (Cauchy ఒత్తిడి సిద్ధాంతం). ఈ టెన్సర్ \(\boldsymbol{\sigma}\) ను Cauchy ఒత్తిడి టెన్సర్ అంటారు; ప్రస్తుత అమరిక జ్యామితిని ప్రమాణంగా తీసుకున్న ఏకక విస్తీర్ణానికి బలం అనే అర్థంలో దీనిని నిజ ఒత్తిడి అని కూడా అంటారు. భాగం \(\sigma_{ij}\) అనేది ప్రస్తుత అమరికలో \(x_j\) అక్షానికి లంబమైన సూక్ష్మ ఉపరితలంపై ఏకక విస్తీర్ణానికి పనిచేసే బలంలోని \(x_i\) భాగాన్ని సూచిస్తుంది.

క్రింద వివరించే కోణీయ సంచలన సంరక్షణ నియమం వల్ల Cauchy ఒత్తిడి సమమితి టెన్సర్

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

అవుతుంది; 3-మితుల్లో దీనికి 6 స్వతంత్ర భాగాలు (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) ఉంటాయి. Voigt సూచనలో ఒత్తిడిని సదిశంగా మార్చడం ఈ సమమితిపై ఆధారపడి ఉంటుంది (టెన్సర్ సూచన మరియు గణిత పునాదులు చూడండి). Cauchy ఒత్తిడిని FrontISTR యొక్క Updated Lagrange పద్ధతి ఆధారిత జ్యామితీయ అరేఖీయ విశ్లేషణ మరియు సూక్ష్మ వికృతి విశ్లేషణలో ఒత్తిడి అవుట్‌పుట్‌కు ఉపయోగిస్తారు.

1వ మరియు 2వ Piola-Kirchhoff ఒత్తిడులు

పరిమిత వికృతిలో సూచన అమరికను సూచన ఉపరితలం మరియు సూచన సదిశంగా తీసుకుని ఒత్తిడిని వ్యక్తీకరించడం అనుకూలమైన సందర్భాలు అనేకం; అందువల్ల రెండు రకాల Piola-Kirchhoff ఒత్తిడి టెన్సర్లు ప్రవేశపెడతారు. సూచన అమరికలో సూక్ష్మ ఉపరితల విస్తీర్ణాన్ని \(d\Gamma_0\), బయటకు చూపే ఏకక లంబ సదిశాన్ని \(\boldsymbol{N}\) గా తీసుకుందాం.

1వ Piola-Kirchhoff ఒత్తిడి (1వ PK ఒత్తిడి, నామమాత్ర ఒత్తిడి) \(\boldsymbol{P}\) ను, ప్రస్తుత అమరిక బలం \(d\boldsymbol{f}\) ను సూచన అమరిక సూక్ష్మ ఉపరితలంపై పనిచేయించే ఒత్తిడి టెన్సర్‌గా

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

అని నిర్వచిస్తారు. Nanson సూత్రం \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) మరియు Cauchy ఒత్తిడి సిద్ధాంతం నుండి Cauchy ఒత్తిడితో సంబంధం

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

లభిస్తుంది. 1వ PK ఒత్తిడి సాధారణంగా అసమమితి టెన్సర్.

2వ Piola-Kirchhoff ఒత్తిడి (2వ PK ఒత్తిడి) \(\boldsymbol{S}\) ను, ప్రస్తుత అమరిక బలం \(d\boldsymbol{f}\) ను \(\boldsymbol{F}^{-1}\) ద్వారా సూచన అమరికకు తిరిగి మ్యాప్ చేసి సూచన అమరిక సూక్ష్మ ఉపరితలంపై పనిచేయించే ఒత్తిడి టెన్సర్‌గా

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

అని నిర్వచిస్తారు. బల సదిశం మరియు పనిచేసే ఉపరితలం రెండూ సూచన అమరిక పరిమాణాలుగా వ్యక్తీకరించబడతాయి; ఇది దృఢదేహ భ్రమణానికి మార్పులేని మరియు సమమితి టెన్సర్. 1వ PK ఒత్తిడితో సంబంధం మరియు Cauchy ఒత్తిడితో మార్పిడి సమీకరణాలు

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

అవుతాయి. 2వ PK ఒత్తిడి హైపర్‌ఎలాస్టిక్ స్ట్రెయిన్ శక్తి ఫంక్షన్ \(W(\boldsymbol{C})\) నుండి \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) గా లభిస్తుంది; Total Lagrange పద్ధతిలో Green-Lagrange స్ట్రెయిన్ \(\boldsymbol{E}\) తో కలిసి ఒత్తిడి-సహచర జత \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) గా ఉపయోగిస్తారు.

సూచన అమరిక మరియు సమమితి క్రింది పట్టికలో చూపబడ్డాయి. సూక్ష్మ వికృతి పరిమితిలో (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) మూడు ఒత్తిడులు ఒకే విలువకు చేరతాయి.

ఒత్తిడి టెన్సర్ సూచన ఉపరితలం బల సదిశం సమమితి ఉపయోగం
Cauchy ఒత్తిడి \(\boldsymbol{\sigma}\) ప్రస్తుత అమరిక \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) ప్రస్తుత అమరిక \(d\boldsymbol{f}\) సమమితి Updated Lagrange పద్ధతి, సూక్ష్మ వికృతి విశ్లేషణ
1వ PK ఒత్తిడి \(\boldsymbol{P}\) సూచన అమరిక \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) ప్రస్తుత అమరిక \(d\boldsymbol{f}\) సాధారణంగా అసమమితి సూచన అమరికలో సమతుల్య సమీకరణం
2వ PK ఒత్తిడి \(\boldsymbol{S}\) సూచన అమరిక \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) సూచన అమరిక \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) సమమితి Total Lagrange పద్ధతి, హైపర్‌ఎలాస్టిసిటీ

ద్రవ్యరాశి మరియు సంచలన సంరక్షణ నియమాలు, సమతుల్య సమీకరణం

ప్రస్తుత అమరిక ద్రవ్యరాశి సాంద్రతను \(\rho\), సూచన అమరిక ద్రవ్యరాశి సాంద్రతను \(\rho_0\) గా తీసుకుంటే, ద్రవ్యరాశి సంరక్షణ నియమం \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) మరియు ఘనపరిమాణ మూలకం మార్పిడి \(dv = J\, dV\) ద్వారా స్థానిక రూపం

\[ \rho_0 = J \rho \]

లభిస్తుంది.

దేహ బలాన్ని (ఏకక ద్రవ్యరాశికి) \(\boldsymbol{g}\), త్వరణాన్ని \(\boldsymbol{a}\) గా తీసుకుని, సంచలన సంరక్షణ నియమానికి (Euler యొక్క 1వ చలన నియమం) Cauchy ఒత్తిడి సిద్ధాంతం మరియు Gauss డైవర్జెన్స్ సిద్ధాంతం వర్తింపజేస్తే, ప్రస్తుత అమరికలో స్థానిక సమతుల్య సమీకరణం (చలన సమీకరణం)

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

లభిస్తుంది. Nanson సూత్రం మరియు \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) ద్వారా సూచన అమరిక సమాకలంగా తిరిగి వ్రాస్తే, సూచన అమరికలో స్థానిక రూపం

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

లభిస్తుంది. ఒత్తిడి మార్పిడి నియమం మరియు \(\rho_0 = J\rho\) వల్ల ఈ రెండు రూపాలు సమానం. జడత్వ పదాన్ని విస్మరించిన

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

స్థిర సమతుల్య సమీకరణాలు; ఇవే FrontISTR స్థిర విశ్లేషణ (రేఖీయ మరియు అరేఖీయ) యొక్క ప్రారంభ సమీకరణాలు.

కోణీయ సంచలన సంరక్షణ నియమం మరియు ఒత్తిడి సమమితి

కోణీయ సంచలన సంరక్షణ నియమాన్ని (Euler యొక్క 2వ చలన నియమం) సంచలన సంరక్షణ నుండి వచ్చిన సమతుల్య సమీకరణంతో కలిపితే Cauchy ఒత్తిడి టెన్సర్ సమమితి

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

లభిస్తుంది; 3-మితుల్లో ఇది 6 స్వతంత్ర భాగాలతో ఉంటుంది. మార్పిడి సమీకరణం \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) యొక్క రెండు వైపుల ట్రాన్స్‌పోజ్ మరియు \(\boldsymbol{F}\) యొక్క నాన్-సింగ్యులారిటీ నుండి 2వ PK ఒత్తిడీ సమమితి

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

అని లభిస్తుంది; దీనికీ 6 స్వతంత్ర భాగాలే. మరోవైపు, 1వ PK ఒత్తిడి \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) సాధారణంగా సమమితి కాదు; \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (అంటే \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) సమమితి) అనే సంబంధం మాత్రమే చెల్లుతుంది, కాబట్టి 9 స్వతంత్ర భాగాలు ఉంటాయి.

ఈ సమమితులు Voigt సూచనలో ఒత్తిడిని 6-భాగాల సదిశంగా మార్చడానికి పునాది. Voigt సూచన నియమాలు మరియు పదార్థ మాత్రిక నిర్మాణానికి టెన్సర్ సూచన మరియు గణిత పునాదులు మరియు రేఖీయ స్థితిస్థాపకత చూడండి.

సంబంధిత అంశాలు