సమాచారానికి వెళ్లండి

వర్చువల్ పని సూత్రం

ఒత్తిడి మరియు సంరక్షణ నియమాలు లో పొందిన సమతుల్య సమీకరణం మరియు సరిహద్దు షరతుల ఆధారంగా, నిరంతర మాధ్యమ యాంత్రికశాస్త్ర సరిహద్దు విలువ సమస్య యొక్క బలహీన రూపమైన వర్చువల్ పని సూత్రం ను ఇక్కడ పొందుతాము. పరిమిత మూలకాల డిస్క్రెటైజేషన్ ఈ బలహీన రూపం నుంచే ప్రారంభమవుతుంది. ఈ అధ్యాయంలో ప్రస్తుత అమరిక (Cauchy ఒత్తిడి మరియు Almansi స్ట్రెయిన్ యొక్క రేఖీయ భాగం) మరియు సూచన అమరిక (2వ Piola-Kirchhoff ఒత్తిడి మరియు Green-Lagrange స్ట్రెయిన్) రూపాలను రెండింటినీ చూపించి, అవి సమానమని చూపిన తరువాత సూక్ష్మ వికృతి పరిమితికి ఎలా తగ్గుతాయో నిర్ధారిస్తాము.

సమతుల్య సమీకరణం మరియు సరిహద్దు షరతులు

నిరంతర మాధ్యమంపై పనిచేసే దేహ బలాన్ని (ఏకక ద్రవ్యరాశికి) \(\boldsymbol{g}\) గా తీసుకుని, ప్రస్తుత అమరికలో ప్రాంతం \(\Omega\) ను ఆక్రమించే దేహాన్ని పరిశీలిద్దాం. సరిహద్దు \(\Gamma\) ను స్థానచలనం \(\bar{\boldsymbol{u}}\) గా నిర్దేశించబడే జ్యామితీయ సరిహద్దు \(\Gamma_B\) మరియు ఉపరితల బలం \(\bar{\boldsymbol{t}}\) గా నిర్దేశించబడే యాంత్రిక సరిహద్దు \(\Gamma_t\) గా విభజించి, \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\), \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\) అని తీసుకుంటాము. స్థిర సమస్యలో ఒత్తిడి మరియు సంరక్షణ నియమాలు లో చూపిన సంచలన సంరక్షణ సమీకరణంలోని జడత్వ పదాన్ని తొలగించి

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{లో} \ \Omega \]

ను సమతుల్య సమీకరణంగా తీసుకుంటాము. సరిహద్దు షరతులు

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{పై} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{పై} \ \Gamma_B \]

గా ఇవ్వబడతాయి. ఇకపై వర్చువల్ పని సూత్రాన్ని సమతుల్య సమీకరణం మరియు యాంత్రిక సరిహద్దు షరతు \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) యొక్క బలహీన రూపంగా పొందుతాము. జ్యామితీయ సరిహద్దు షరతు \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) టెస్ట్ ఫంక్షన్ ఎంపికలో చేర్చబడుతుంది.

ప్రస్తుత అమరికలో బలహీన రూపం

బలహీన రూపంలో తెలియని స్థానచలనానికి అనుమతించబడిన స్థలం మరియు టెస్ట్ ఫంక్షన్ స్థలాన్ని వరుసగా

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{పై} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{పై} \ \Gamma_B \} \]

గా తీసుకుంటాము. ఇక్కడ \(d\) స్థల పరిమాణం, \(H^1(\Omega)\) మొదటి క్రమ బలహీన వ్యుత్పన్నం వరకు చదరపు సమాకలనీయం గల Sobolev స్థలం, \(\delta\) వేరియేషన్ చిహ్నం. ప్రస్తుత అమరిక రూపంలో \(\Omega\) వికృతమైన తరువాతి అమరిక; వాస్తవ సంఖ్యా పరిష్కారంలో దీనిని సూచన అమరిక లేదా తెలిసిన మధ్యంతర అమరికకు తిరిగి మ్యాప్ చేసి నిర్వహిస్తారు.

సమతుల్య సమీకరణానికి బరువు \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) గుణించి, Gauss డైవర్జెన్స్ సిద్ధాంతం మరియు యాంత్రిక సరిహద్దు షరతు వర్తింపజేస్తే, ప్రస్తుత అమరికలో వర్చువల్ పని సూత్రం

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

అవుతుంది. ఇక్కడ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) అనేది Almansi స్ట్రెయిన్ టెన్సర్ యొక్క రేఖీయ భాగం:

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

గా నిర్వచించబడుతుంది. దాని వేరియేషన్ \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). అంటే \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) ను కనుగొని, ఏ \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) కైనా వర్చువల్ పని సమీకరణం చెల్లాలని కోరుతాము. ఎడమ వైపు అంతర్గత బల వర్చువల్ పని; కుడి వైపు నిర్దేశిత ఉపరితల బలం మరియు దేహ బలం వల్ల బాహ్య బల వర్చువల్ పని.

ఈ సమీకరణం వికృతమైన తరువాతి (ప్రస్తుత) అమరిక ప్రాంతంలో వ్రాయబడినందున, వాస్తవ పరిష్కారంలో ప్రారంభ అమరిక \(\Omega_0\) (సూచన అమరిక) లేదా తెలిసిన మధ్యంతర అమరికను మళ్లీ సూచన అమరికగా ఎంచుకుని, ఇంక్రిమెంటల్ రూపంలోకి మార్చి పరిష్కరిస్తారు. సూచన అమరిక ఎంపిక (Total Lagrange / Updated Lagrange) మరియు ఇంక్రిమెంట్ విభజన వివరాలకు ఇంక్రిమెంటల్ విశ్లేషణ ఫ్రేమ్‌వర్క్ చూడండి.

ప్రారంభ అమరికలో బలహీన రూపం

సూచన అమరికలో ప్రాంతం \(\Omega_0\) ను ఆక్రమించే దేహాన్ని తీసుకుని, దాని సరిహద్దు \(\Gamma_0\) ను \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) గా విభజిస్తాము. ప్రస్తుత అమరిక రూపాన్ని సూచన అమరికకు తిరిగి మ్యాప్ చేస్తే ఒత్తిడి-స్ట్రెయిన్ సహచర జత 2వ Piola-Kirchhoff ఒత్తిడి \(\boldsymbol{S}\) మరియు Green-Lagrange స్ట్రెయిన్ \(\boldsymbol{E}\) అవుతుంది. అప్పుడు ప్రారంభ అమరికలో వర్చువల్ పని సూత్రం

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

గా వ్రాయవచ్చు. ఇక్కడ \(\rho_0\) సూచన అమరిక ద్రవ్యరాశి సాంద్రత; ద్రవ్యరాశి సంరక్షణ నియమం \(\rho_0 = J\rho\) ద్వారా ఇది ప్రస్తుత అమరిక దేహ బల రూపానికి సమానం.

ప్రస్తుత మరియు ప్రారంభ అమరిక రూపాల సమానత్వం

రెండు రూపాల అంతర్గత బల వర్చువల్ పని వికృతి గ్రేడియెంట్ \(\boldsymbol{F}\) మరియు ఘనపరిమాణ నిష్పత్తి \(J = \det \boldsymbol{F}\) మార్పిడి ద్వారా సమానమవుతుంది. అంటే

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

అవుతుంది. బాహ్య బల పదాలు కూడా ద్రవ్యరాశి సంరక్షణ మరియు ఉపరితల బల మార్పిడి ద్వారా సమానం. అందువల్ల ప్రస్తుత అమరిక వర్చువల్ పని సమీకరణం మరియు ప్రారంభ అమరిక వర్చువల్ పని సమీకరణం ఒకే సూత్రాన్ని వేర్వేరు అమరికల్లో వ్యక్తీకరించినవే. సూచన అమరికను ఆధారంగా తీసుకునే పరిష్కారం Total Lagrange పద్ధతికి, ప్రస్తుత అమరికను (మునుపటి సమీపించిన అమరిక) ఆధారంగా తీసుకునే పరిష్కారం Updated Lagrange పద్ధతికి అనుగుణం.

సూక్ష్మ వికృతి పరిమితి

సూక్ష్మ వికృతి అనుమానం \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\), \(J \approx 1\) కింద ప్రస్తుత మరియు సూచన అమరికల మధ్య తేడా మాయమవుతుంది; 2వ PK ఒత్తిడి Cauchy ఒత్తిడికి చేరుతుంది (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), Green-Lagrange స్ట్రెయిన్ మరియు Almansi స్ట్రెయిన్ రేఖీయ భాగం రెండూ సూక్ష్మ స్ట్రెయిన్ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) కు తగ్గుతాయి.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

అప్పుడు వర్చువల్ పని సూత్రం Cauchy ఒత్తిడి \(\boldsymbol{\sigma}\) మరియు సూక్ష్మ స్ట్రెయిన్ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) ఆధారిత బలహీన రూపం

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{పై} \ \Gamma_B \]

కు తగ్గుతుంది. ఇది సూక్ష్మ వికృతి, రేఖీయ స్థితిస్థాపక స్థిర విశ్లేషణలో డిస్క్రెటైజేషన్‌కు నేరుగా ఉపయోగించే బలహీన రూపం (రేఖీయ స్థితిస్థాపక స్థిర విశ్లేషణ (పరిచయం/అనుబంధం) లో ఈ రూపం నుండి మూలక దృఢత్వం \(\boldsymbol{K}^e\) నిర్మాణం మరియు సమగ్ర సమీకరణం \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) అసెంబ్లీ వరకు చూపించబడుతుంది).

రేఖీయ స్థితిస్థాపక నిర్మాణ సంబంధం \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ను ప్రతిస్థాపించి, Voigt సూచన లో \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) గా వ్రాస్తే, బలహీన రూపం

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

రూపంలో ఉంటుంది.

సంబంధిత అంశాలు