సమాచారానికి వెళ్లండి

వృద్ధి విశ్లేషణ యొక్క చట్రం

వృద్ధి విశ్లేషణ అవసరం

పైన వివరించినట్లుగా, సూక్ష్మ వికృతి సమస్యల విశ్లేషణలో సమతుల్య సమీకరణం వంటి మౌలిక సమీకరణాలకు సమానమైన వర్చువల్ వర్క్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, దానిని పరిమిత మూలకాలతో విచ్ఛిన్నీకరించడం ద్వారా పరిమిత మూలక విశ్లేషణ నిర్వహించవచ్చు. నిర్మాణాల పెద్ద వికృతులను పరిగణించే పరిమిత వికృతి సమస్యల విశ్లేషణలో కూడా ప్రాథమికంగా వర్చువల్ వర్క్ సూత్రాన్నే ఉపయోగిస్తారు.

అయితే, పరిమిత వికృతి సమస్యలో పదార్థం రేఖీయమని ఊహించినా, వర్చువల్ వర్క్ సమీకరణం స్థానచలనానికి సంబంధించి అరేఖీయ సమీకరణంగా మారుతుంది. అరేఖీయ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సాధారణంగా పునరావృత పద్ధతిలో పునరుక్త గణన చేస్తారు.

ఆ పునరావృత గణనలో, చిన్న లోడ్ వృద్ధుల కోసం భాగాలవారీగా గణన చేసి, వాటిని క్రమంగా కూడబెట్టుకుంటూ చివరి వికృతి స్థితికి చేరే వృద్ధి విశ్లేషణ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది. సూక్ష్మ వికృతి సమస్యను ఊహించినప్పుడు, స్ట్రెయిన్ మరియు ఒత్తిడిని నిర్వచించే కాన్ఫిగరేషన్‌ను వికృతికి ముందు మరియు తరువాత ప్రత్యేకంగా వేరు చేయలేదు. అంటే సూక్ష్మ వికృతిని ఊహించినప్పుడు మౌలిక సమీకరణాలను వ్రాసే కాన్ఫిగరేషన్ వికృతికి ముందైనా తరువాతైనా సమస్య ఉండదు.

పరిమిత వికృతి సమస్యలో వృద్ధి విశ్లేషణ నిర్వహించినప్పుడు, సూచన కాన్ఫిగరేషన్‌గా ప్రారంభ కాన్ఫిగరేషన్‌ను తీసుకుంటామా లేక వృద్ధి ప్రారంభ సమయ కాన్ఫిగరేషన్‌ను తీసుకుంటామా అనేదానిపై సూత్రీకరణ మారుతుంది. మొదటిదాన్ని total Lagrange పద్ధతి, రెండవదాన్ని updated Lagrange పద్ధతి అంటారు. వివరాల కోసం అధ్యాయం చివరి సూచనలు మొదలైనవి చూడండి.

ప్రారంభ సమీకరణం: సమయం \(t'\) వద్ద వర్చువల్ పని సూత్రం

సమయం \(t\) వరకు స్థితి తెలిసినది, సమయం \(t' = t + \Delta t\) వద్ద స్థితి తెలియనిది అని తీసుకుని వృద్ధి విశ్లేషణను ఊహించండి (చిత్రం 2.2.1 చూడండి). సమయం \(t'\) వద్ద సమతుల్య సమీకరణం, సరిహద్దు పరిస్థితులు మరియు వర్చువల్ పని సూత్రం (ప్రస్తుత కాన్ఫిగరేషన్ రూపం; Cauchy ఒత్తిడి \(^{t'}\sigma\) మరియు Almansi స్ట్రెయిన్ రేఖీయ భాగం \(^{t'} A_{(L)}\) తో రూపం) వర్చువల్ పని సూత్రం లో ఇచ్చినట్లే ఉంటాయి.

వృద్ధి విశ్లేషణ భావన

చిత్రం 2.2.1　వృద్ధి విశ్లేషణ భావన

అయితే, ఈ ప్రారంభ సమీకరణం సమయం \(t'\) యొక్క (తెలియని) కాన్ఫిగరేషన్‌లో వ్రాయబడింది కాబట్టి, వాస్తవ పరిష్కారంలో సమయం \(0\) యొక్క ప్రారంభ కాన్ఫిగరేషన్ \(V\) లేదా సమయం \(t\) యొక్క ప్రస్తుత కాన్ఫిగరేషన్ \(^{t'} v\) ను సూచన కాన్ఫిగరేషన్‌గా తిరిగి ఎంచుకుని, దానిని వృద్ధి రూపంలోకి మార్చి తరువాత పరిష్కరిస్తారు:

  • Total Lagrange పద్ధతి — ప్రారంభ కాన్ఫిగరేషన్ \(V\) ను సూచనగా తీసుకుంటుంది. రెండవ PK ఒత్తిడి \(\boldsymbol{S}\) మరియు Green-Lagrange స్ట్రెయిన్ \(\boldsymbol{E}\) ను ఉపయోగిస్తుంది.
  • Updated Lagrange పద్ధతి — వృద్ధి ప్రారంభ సమయ ప్రస్తుత కాన్ఫిగరేషన్ \(^{t}v\) ను సూచనగా తీసుకుంటుంది. Cauchy ఒత్తిడి \(\boldsymbol{\sigma}\) మరియు Almansi స్ట్రెయిన్ రేఖీయ భాగం \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) ను ఉపయోగిస్తుంది.

ఈ రెండు పద్ధతుల స్థల విచ్ఛిన్నీకరణ (B మ్యాట్రిక్స్, అంతర్గత బల వెక్టర్) కోసం అంతర్గత బల వర్చువల్ వర్క్ విచ్ఛిన్నీకరణ, రేఖీయీకరణ మరియు స్పర్శ దృఢత్వ నిర్మాణం కోసం స్పర్శ దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్ చూడండి.

సంబంధిత అంశాలు