సమాచారానికి వెళ్లండి

టెన్సర్ సూచన మరియు గణిత పునాదులు

ఈ అధ్యాయంలో FrontISTR సిద్ధాంత మాన్యువల్ యొక్క తరువాతి అధ్యాయాల్లో ఉపయోగించే టెన్సర్ సూచన, సూచిక సూచన మరియు Voigt సూచన నియమాలను సమగ్రంగా ఇస్తాము. ఇక్కడ భౌతిక పరిమాణాల నిర్వచనాలపై ఆధారపడని శుద్ధ సూచన నియమాలు మాత్రమే వివరిస్తాము. నిరంతర మాధ్యమ చలనంలోని అమరికపై (సూచన అమరిక/ప్రస్తుత అమరిక) ఆధారపడే చిహ్న నియమాలు—పెద్ద/చిన్న అక్షరాల వాడకం, పదార్థ వ్యుత్పన్నం మరియు స్థల వ్యుత్పన్నం మధ్య తేడా—అమరిక భావనను ప్రవేశపెట్టే చలనం, వికృతి మరియు స్ట్రెయిన్ లో ఉన్నాయి.

టెన్సర్ సూచన

బోల్డ్ అక్షరాలతో సదిశాలు మరియు టెన్సర్లు

టైప్‌ఫేస్‌కు సంబంధించిన నియమంగా, స్కేలర్ పరిమాణాలు మరియు సదిశ/టెన్సర్ భాగాలు సాధారణ అక్షరాల్లో (\(\rho\), \(x_i\) మొదలైనవి), సదిశ/టెన్సర్ పరిమాణం స్వయంగా బోల్డ్ అక్షరాల్లో (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) మొదలైనవి) వ్రాయబడతాయి.

Einstein సంకోచ నియమం

ప్రత్యేకంగా చెప్పనంతవరకు, ఒకే పదంలో ఒకే సూచిక రెండుసార్లు కనిపిస్తే ఆ సూచికపై సమీకరణ తీసుకునే Einstein సమీకరణ నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము. ఉదాహరణకు

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

అవుతాయి; టెన్సర్లు \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) యొక్క గుణితం \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) లో \(i,j\) భాగం

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

అవుతుంది. సూచిక నియమంగా, ప్రత్యేకంగా చెప్పనప్పుడు \(i, j, k, l, \ldots\) స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలకు సంబంధించిన సూచికలను (3-మితుల్లో \(1, 2, 3\)), గ్రీకు చిన్న అక్షరాలు \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) మూలకాన్ని నిర్మించే నోడ్‌లకు సంబంధించిన సూచికలను సూచిస్తాయి.

అంతర్గుణితం, ట్రాన్స్‌పోజ్ మరియు టెన్సర్ గుణితం

టెన్సర్ \(\boldsymbol{A}\) యొక్క ట్రాన్స్‌పోజ్‌ను \(\boldsymbol{A}^T\) గా వ్రాస్తాము. 2వ క్రమ టెన్సర్లు \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) యొక్క అంతర్గుణితాన్ని (ద్విగుణ సంకోచం)

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

గా వ్రాస్తాము. సదిశాలు \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) యొక్క అంతర్గుణితం \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\); టెన్సర్ గుణితం \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt సూచన

ఒత్తిడి మరియు స్ట్రెయిన్ స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలకు సంబంధించిన 2వ క్రమ సమమితి టెన్సర్లు; వాటి మధ్య రేఖీయ సంబంధాన్ని తెలిపే గుణకం 4వ క్రమ టెన్సర్. దీనిని యథాతథంగా ప్రోగ్రామ్‌లో నిర్వహించడం గణన పరిమాణం మరియు కోడింగ్ (బహుమితీయ అర్రేలు, లోతైన బహుళ లూపులు) దృష్ట్యా అనుకూలం కాదు. అందువల్ల సాధారణ పరిమిత మూలకాల ప్రోగ్రామ్‌లలో సమమితిని ఉపయోగించి ఒత్తిడి మరియు స్ట్రెయిన్‌ను కాలమ్ సదిశాలుగా, 4వ క్రమ స్థితిస్థాపక టెన్సర్‌ను 2-మితీయ మాత్రికగా సంక్షిప్తం చేస్తారు. దీనినే Voigt సూచన అంటారు.

ఇకపై టెన్సర్ పరిమాణం \(\boldsymbol{A}\) యొక్క మాత్రిక/సదిశ రూపాన్ని \(\hat{A}\) గా సూచించి అసలు టెన్సర్ నుండి వేరు చేస్తాము.

ఒత్తిడి మరియు స్ట్రెయిన్ సదిశ రూపం

సమమితి ఒత్తిడి టెన్సర్ \(\boldsymbol{\sigma}\) మరియు స్ట్రెయిన్ టెన్సర్ \(\boldsymbol{\varepsilon}\) కోసం, 2-మితుల్లో

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

మరియు 3-మితుల్లో

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

అని కాలమ్ సదిశాలుగా ఉపయోగిస్తాము. వేరియేషన్ మరియు వ్యుత్పన్నం వంటి ఉత్పన్న పరిమాణాలకు కూడా ఇదే నియమం వర్తిస్తుంది. స్ట్రెయిన్ వైపు షియర్ భాగాలకు 2 గుణకం ఉంటుంది (ఒత్తిడి వైపు ఉండదు) అని గమనించాలి. ఈ అసమానత వల్ల టెన్సర్ అంతర్గుణితాన్ని సదిశ అంతర్గుణితంగా

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

అనే సంక్షిప్త రూపంలో వ్రాయవచ్చు. అమలులో షియర్ స్ట్రెయిన్ భాగంలోని 2 గుణకాన్ని తప్పుగా ఉపయోగించడం సులభం కాబట్టి, “ఒత్తిడికి లేదు / స్ట్రెయిన్‌కు ఉంది” అనే నియమాన్ని ఎల్లప్పుడూ గుర్తుంచుకోవాలి. సూచన అమరిక పరిమాణాలు (2వ Piola-Kirchhoff ఒత్తిడి \(\boldsymbol{S}\) మరియు Green-Lagrange స్ట్రెయిన్ \(\boldsymbol{E}\)) కోసం కూడా ఇదే Voigt నియమం వర్తిస్తుంది.

4వ క్రమ టెన్సర్ యొక్క మాత్రిక రూపం

ఒత్తిడి-స్ట్రెయిన్ రేఖీయ సంబంధం \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (భాగాల రూపంలో \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) లో \(\boldsymbol{\varepsilon}\) సమమితిని ఉపయోగిస్తే

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

గా తిరిగి వ్రాయవచ్చు. 3-మితుల్లో \(\tilde{C}\) ను 6×6 పదార్థ మాత్రిక \(\hat{\tilde{C}}\) గా అమర్చితే, అసలు టెన్సర్ సంబంధం

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

గా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఇకపై ఈ మాన్యువల్‌లో ప్రత్యేకంగా చెప్పనంతవరకు పదార్థ మాత్రికను \(D\) (లేదా \(\hat{C}\)) గా సూచిస్తాము. సమదిశ రేఖీయ స్థితిస్థాపకతలోని నిర్దిష్ట భాగాలకు రేఖీయ స్థితిస్థాపకత చూడండి.

వ్యుత్పన్న ఆపరేటర్ నియమాలు

సమమితి గ్రేడియెంట్ ఆపరేటర్

సదిశ క్షేత్రం \(\boldsymbol{u}\) పై సమమితి గ్రేడియెంట్ ఆపరేటర్ \(\nabla_S\) ను

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

గా నిర్వచిస్తాము. భాగాల రూపంలో \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). సూక్ష్మ వికృతిలోని స్ట్రెయిన్ \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) ను ఈ ఆపరేటర్‌తో సంక్షిప్తంగా వ్రాయవచ్చు. పరిమిత వికృతిలో గ్రేడియెంట్ తీసుకునే అమరిక (సూచన/ప్రస్తుత) ఎంపికను చలనం, వికృతి మరియు స్ట్రెయిన్ లో వివరిస్తారు.

పదార్థ కాల వ్యుత్పన్నం

ఏదైనా పరిమాణం \(A\) యొక్క పదార్థ కాల వ్యుత్పన్నాన్ని (అదే పదార్థ బిందువును అనుసరిస్తూ తీసుకునే కాల వ్యుత్పన్నం) పై బిందువుతో \(\dot{A}\) గా వ్రాస్తాము:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

వేగం మరియు త్వరణం ఈ నియమాన్ని అనుసరిస్తాయి.

సంబంధిత అంశాలు