సమాచారానికి వెళ్లండి

Newton-Raphson పద్ధతి

రేఖీకరణ మరియు పునరావృత పునరావర్తన సంబంధం

బాహ్య బలాల వర్చువల్ పని మరియు సమగ్ర సమీకరణ అసెంబ్లీ నుండి పొందిన, సమయం \(t_{n+1}\) వద్ద నోడల్ స్థానచలనం \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) కు సంబంధించిన అరేఖీయ సమీకరణాన్ని Newton-Raphson పద్ధతితో పరిష్కరిస్తారు. సమయం \(t_n\) వరకు నోడల్ స్థానచలనం \(\boldsymbol{u}_n\) తెలిసినదిగా తీసుకుని, స్థానచలన వృద్ధి \(\Delta\boldsymbol{u}\) ను తెలియని చరంగా తీసుకొని

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

ను కనుగొంటారు. ఇకపై బాహ్య బల వెక్టర్ నోడల్ స్థానచలనంపై ఆధారపడటాన్ని నిర్లక్ష్యం చేసి, \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) గా తీసుకుని

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

ను పరిష్కరిస్తారు.

ప్రస్తుత పరిష్కారం \(\Delta\boldsymbol{u}\) వద్ద స్పర్శక దృఢత్వం

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

ను ఉపయోగించి అరేఖీయ సమీకరణాన్ని రేఖీకరిస్తే

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

వస్తుంది. \(i\)-వ పునరావృతంలో సవరణ పరిమాణాన్ని \(d\boldsymbol{u}_i\) గా, పునరావృతం ప్రారంభంలో అవశేష వెక్టర్‌ను

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

గా వ్రాస్తే, పునరావర్తన సంబంధం

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

రూపంలో ఉంటుంది. అవశేషం \(\boldsymbol{R}_i\) సమతుల్యత నుండి ఉన్న బల అసమతుల్యతకు సమానమైన పరిమాణం.

స్పర్శక దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్ నిర్మాణం

స్పర్శక దృఢత్వం \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) ను అంతర్గత బలాల వర్చువల్ పని యొక్క వివిక్తీకరణ లో పొందిన మూలక అంతర్గత బల వెక్టర్‌ను నోడల్ స్థానచలనానికి సంబంధించి పాక్షిక అవకలనం చేసి, ప్రతి మూలకానికి వచ్చిన సమాకల్య పదాన్ని ఆ మూలక ప్రాంతంపై సమాకలనం చేసి, వాటిని సమీకరించడం ద్వారా నిర్మిస్తారు. మూలక స్థాయి సమాకల్య పదాన్ని \(\boldsymbol{K}^e_X\) (సందర్భ విన్యాస సంకేతనం, TL పద్ధతి) లేదా \(\boldsymbol{K}^e_x\) (ప్రస్తుత విన్యాస సంకేతనం, UL పద్ధతి) గా వ్రాస్తే, మూలక స్పర్శక దృఢత్వం

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

గా ఇవ్వబడుతుంది. క్రింద TL/UL సమాకల్య పదాల తుది రూపాలు చూపబడ్డాయి. రెండింటిలోనూ అవి పదార్థ దృఢత్వ పదం (ప్రారంభ స్థానచలన పదం) మరియు జ్యామితీయ దృఢత్వ పదం (ప్రారంభ ఒత్తిడి పదం) యొక్క మొత్తంగా విభజించబడతాయి.

Total Lagrange పద్ధతి

Total Lagrange పద్ధతిలో, రెండవ Piola-Kirchhoff ఒత్తిడి రేటు \(\dot{\boldsymbol{S}}\) మరియు Green-Lagrange స్ట్రెయిన్ రేటు \(\dot{\boldsymbol{E}}\) మధ్య రేఖీయ సంబంధం \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) ఉందని భావిస్తారు. ఇది రేఖీయ స్థితిస్థాపక పదార్థాలు (St.Venant-Kirchhoff పదార్థాలు) మరియు అధిస్థితిస్థాపక పదార్థాల పదార్థ-ప్రవర్తన సంబంధాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది; FrontISTR లో Total Lagrange పద్ధతి ఈ పదార్థాలకు ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో మూలక స్పర్శక దృఢత్వ సమాకల్య పదాన్ని టెన్సర్ రూపంలో

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

గా వ్రాయవచ్చు. కుడి వైపు మొదటి పదం పదార్థ దృఢత్వ పదం (ప్రారంభ స్థానచలన పదం), రెండవ పదం జ్యామితీయ దృఢత్వ పదం (ప్రారంభ ఒత్తిడి పదం).

FrontISTR అమలులో ఈ సమాకల్య పదాన్ని Voigt సంకేతనం ఉపయోగించిన మ్యాట్రిక్స్ రూపంలో

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

గా గణిస్తారు. ప్రతి మ్యాట్రిక్స్ క్రింది విధంగా ఉంటుంది. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) అనేవి అంతర్గత బలాల వర్చువల్ పని యొక్క వివిక్తీకరణ లో పరిచయం చేసిన B మ్యాట్రిక్స్‌లు; \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) అనేది పదార్థ-ప్రవర్తన టెన్సర్ \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) యొక్క Voigt సంకేతనంలో \(6\times 6\) పదార్థ దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్ (టెన్సర్ సంకేతనం మరియు గణిత పునాదులు). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) అనేవి జ్యామితీయ దృఢత్వ పదాన్ని మ్యాట్రిక్స్ గుణితంగా వ్యక్తం చేయడానికి ఉపయోగించే పునర్వ్యవస్థీకరణ మ్యాట్రిక్స్‌లు. ముందుగా \(3\times 3\) రెండవ క్రమ టెన్సర్ \(\boldsymbol{A}\) ను 9-ఘటకాల వెక్టర్‌గా పునర్వ్యవస్థీకరించే సంకేతం \([\,\cdot\,]\) ను

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

గా నిర్వచిస్తే, \(\boldsymbol{F}_9\) వికృతి గ్రేడియెంట్ యొక్క విచలనాన్ని \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) రూపంలో వ్యక్తం చేసే \(9\times d n_e\) మ్యాట్రిక్స్. మూలక నోడ్ \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) కు సంబంధించిన \(9\times d\) బ్లాక్

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ అనేది } 3\times 3 \text{ ఏకక మ్యాట్రిక్స్}) \]

ను మూలక నోడ్ క్రమంలో అడ్డంగా అమర్చి \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) గా ఇస్తారు. \(\boldsymbol{S}_9\) దీనితో కలిపినప్పుడు జ్యామితీయ దృఢత్వ పదం \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) గా వ్యక్తం అయ్యేలా ఎంచుకున్న \(9\times 9\) మ్యాట్రిక్స్

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

అవుతుంది.

Updated Lagrange పద్ధతి

Updated Lagrange పద్ధతిలో, సాపేక్ష Kirchhoff ఒత్తిడి టెన్సర్ యొక్క Jaumann రేటు \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) మరియు వికృతి రేటు టెన్సర్ \(\boldsymbol{D}\) మధ్య రేఖీయ సంబంధం \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) ఉందని భావిస్తారు. ఇది రేఖీయ స్థితిస్థాపక, స్థితిస్థాపక-ప్లాస్టిక్ మరియు క్రీప్ పదార్థాలకు సాధారణమైన హైపోఎలాస్టిక్ పదార్థ-ప్రవర్తన సంబంధ రూపం; FrontISTR లో Updated Lagrange పద్ధతి ఈ పదార్థాలకు ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో ప్రస్తుత విన్యాసంలో వ్యక్తం చేసిన మూలక స్పర్శక దృఢత్వ సమాకల్య పదాన్ని టెన్సర్ రూపంలో

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

గా వ్రాయవచ్చు (\(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) Truesdell రేటు, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi స్ట్రెయిన్‌లోని రేఖీయ భాగం, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) ప్రస్తుత విన్యాసాన్ని ఆధారంగా తీసుకున్న స్థానచలన గ్రేడియెంట్, \(\boldsymbol{L}\) వేగ గ్రేడియెంట్ టెన్సర్). కుడి వైపు మొదటి పదం పదార్థ దృఢత్వ పదం, రెండవ పదం జ్యామితీయ దృఢత్వ పదం.

FrontISTR అమలులో ఈ సమాకల్య పదాన్ని Voigt సంకేతనం ఉపయోగించిన మ్యాట్రిక్స్ రూపంలో

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

గా గణిస్తారు. \(\boldsymbol{b}\) ప్రస్తుత విన్యాసంలో నిర్మించిన B మ్యాట్రిక్స్ (అంతర్గత బలాల వర్చువల్ పని యొక్క వివిక్తీకరణ). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) అనేవి TL పద్ధతిలో నిర్వచించిన \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) లో రెండవ PK ఒత్తిడి \(\boldsymbol{S}\) ను Cauchy ఒత్తిడి \(\boldsymbol{\sigma}\) తో, సందర్భ విన్యాస గ్రేడియెంట్ \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) ను ప్రస్తుత విన్యాస గ్రేడియెంట్ \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) తో భర్తీ చేసినవి.

\(\boldsymbol{G}\) అనేది హైపోఎలాస్టిక్ పదార్థ-ప్రవర్తన సంబంధం \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) ను Truesdell రేటు ఆధారిత పదార్థ-ప్రవర్తన సంబంధంగా స్పర్శక దృఢత్వ చట్రంతో సమన్వయపరచడానికి అవసరమైన Cauchy ఒత్తిడిపై ఆధారపడే సవరణ మ్యాట్రిక్స్. నాల్గవ క్రమ టెన్సర్ ఘటకాలు \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) ను \(6\times 6\) Voigt రూపంలో అమర్చితే

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

అవుతుంది.

సమగ్ర దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్ అసెంబ్లీ

సమగ్ర స్పర్శక దృఢత్వం \(\boldsymbol{K}\) ను, మూలక దృఢత్వం \(\boldsymbol{K}^e\) ను ప్రతి నోడ్ జంటకు \(d\times d\) బ్లాక్‌లు \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) గా విభజించి, మూలక-నోడల్ భౌతిక పరిమాణాల అసెంబ్లీ లో పరిచయం చేసిన రెండవ క్రమ టెన్సర్ అసెంబ్లీ సమితి \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) ను ఉపయోగించి

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

ను \(i_g\) వరుస, \(i_h\) నిలువు వరుసలో అమర్చిన మ్యాట్రిక్స్‌గా పొందుతారు. అమలులో \(\mathcal{E}^2\) సమితిని స్పష్టంగా నిర్మించకుండా, మూలక లూప్‌లో సంబంధిత బ్లాక్‌లకు నేరుగా కలుపుతారు. ఇది ప్రతి నోడ్‌కు స్వేచ్ఛా ప్రమాణాల సంఖ్య \(\times\) మొత్తం నోడ్‌ల సంఖ్య \(n_g\) పరిమాణం గల చతురస్ర మ్యాట్రిక్స్; అయితే మూలకాల ద్వారా అనుసంధానమైన నోడ్‌ల మధ్యవి తప్ప ఇతర ఘటకాలు \(0\) కావడంతో దీనిని విరళ మ్యాట్రిక్స్ రూపంలో నిల్వ చేస్తారు.

TL మరియు UL పద్ధతుల మూలక దృఢత్వాలు, సందర్భ విన్యాస మార్పు (నోడల్ నిర్దేశాంకాలు మరియు B మ్యాట్రిక్స్ నిర్మాణ మూలం) మరియు \(\boldsymbol{G}\) మ్యాట్రిక్స్ ఉనికి/లేమి తప్ప ఒకే రూపంలో ఉంటాయి. అందువల్ల FrontISTR లో రెండింటినీ ఒకే సబ్‌రూటీన్‌లో అమలు చేస్తారు.

పునరావృత అల్గోరిథం

పై విషయాలను సమగ్రంగా తీసుకుంటే, పునరావృతం ప్రారంభంలో \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) గా ఉంచి ప్రారంభ అవశేషం \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) ను గణించిన తర్వాత, \(i\)-వ పునరావృతంలో క్రింది చర్యలు నిర్వహిస్తారు.

  1. ప్రస్తుత స్థానచలనం \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) వద్ద స్పర్శక దృఢత్వం \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) ను స్పర్శక దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్ నిర్మాణం లోని విధానంతో గణిస్తారు.
  2. జ్యామితీయ సరిహద్దు షరతులను ప్రతిబింబించడానికి, స్థానచలన నిర్బంధం ఉన్న స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలకు స్పర్శక దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్ మరియు అవశేష వెక్టర్‌ను మార్చి \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) పొందుతారు (జ్యామితీయ సరిహద్దు షరతుల ప్రాసెసింగ్).
  3. రేఖీయ సమీకరణ \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ను పరిష్కరించి సవరణ పరిమాణం \(d\boldsymbol{u}_i\) ను కనుగొంటారు. ఈ చర్య తరచుగా పునరావృత గణనలో గణన భారం యొక్క అధిక భాగాన్ని ఆక్రమిస్తుంది.
  4. స్థానచలన వృద్ధిని \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) గా నవీకరించి, దానికి అనుగుణంగా అంతర్గత బల వెక్టర్ \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) మరియు అవశేషం \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) ను గణిస్తారు.
  5. అభిసరణను పరీక్షించి, అది సాధించబడితే పునరావృతాన్ని ముగిస్తారు. అవశేషం \(\boldsymbol{R}_i\) లో జ్యామితీయ సరిహద్దు షరతులు విధించిన స్వేచ్ఛా ప్రమాణాలకు నిర్బంధ ప్రతిచర్య బలాలకు సమానమైన ఘటకాలు కనిపిస్తాయి; అందువల్ల వీటిని తొలగించిన ఘటకాలు \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) నుండి నిర్ణయ సూచికను నిర్మిస్తారు. నిర్దిష్ట నిర్ణయ సూచికలు మరియు పరిమితులు అభిసరణ నిర్ణయం లో ఇవ్వబడ్డాయి. అభిసరణ చెందకుండా పునరావృత గరిష్ఠ పరిమితిని చేరితే, పునరావృతం విఫలమైనదిగా పరిగణిస్తారు.

పునరావృతం అభిసరించినప్పుడు, ఆ సమయంలోని \(\Delta\boldsymbol{u}\) ను \(\boldsymbol{u}_n\) కు జోడించి సమయం \(t_{n+1}\) వద్ద సమీకృత స్థానచలనం \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) గా తీసుకుని, తదుపరి సమయ దశకు వెళ్తారు.

సంబంధిత అంశాలు