సమాచారానికి వెళ్లండి

Translation update pending

The Telugu translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

గతి విశ్లేషణ పద్ధతులు

ఈ విభాగంలో ప్రత్యక్ష కాల సమాకలన పద్ధతిని ఉపయోగించే గతి సమస్యల విశ్లేషణ పద్ధతిని వివరిస్తారు. క్రింద అవ్యక్త మరియు వ్యక్త పద్ధతుల సూత్రీకరణలను చూపించారు.

చలన సమీకరణం యొక్క విచ్ఛిన్నీకరణ (సామాన్య రూపకల్పన)

ఇంకా నిర్ణయించాల్సి ఉంది (తదుపరి దశలో పూర్తి పాఠ్యంగా రూపొందించాలి).

అవ్యక్త పద్ధతి (Newmark-β పద్ధతి)

గతి సమస్యల కోసం, క్రింది చలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రత్యక్ష కాల సమాకలన పద్ధతిని వర్తింపజేస్తారు.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

ఇక్కడ \(M\) ద్రవ్యరాశి మ్యాట్రిక్స్, \(C\) డ్యాంపింగ్ మ్యాట్రిక్స్, \(Q\) అంతర్గత బల వెక్టర్, \(F\) బాహ్య బల వెక్టర్. అరేఖీయ విశ్లేషణలో కూడా ద్రవ్యరాశి మ్యాట్రిక్స్ వికృతిపై ఆధారపడకుండా స్థిరంగా ఉంటుందని భావిస్తారు.

కాల వృద్ధి \(\Delta t\) లో స్థానచలనం, వేగం మరియు త్వరణం మార్పులను Newmark-\(\beta\) పద్ధతితో సమీకరణం \(\eqref{eq:2.5.2}\) మరియు సమీకరణం \(\eqref{eq:2.5.3}\) లో చూపినట్లుగా సన్నిహితం చేస్తారు.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

ఇక్కడ \(\gamma\), \(\beta\) అనేవి Newmark-\(\beta\) పద్ధతి పరామితులు.

తెలిసినట్లుగా, \(\gamma\) మరియు \(\beta\) ను క్రింది విలువలకు అమర్చితే అవి వరుసగా రేఖీయ త్వరణ పద్ధతి లేదా ట్రాపెజాయిడల్ నియమానికి సమానం అవుతాయి.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\)(రేఖీయ త్వరణ పద్ధతి)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\),\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\)(ట్రాపెజాయిడల్ నియమం)

సమీకరణాలు \(\eqref{eq:2.5.2}\), \(\eqref{eq:2.5.3}\) ను సమీకరణం \(\eqref{eq:2.5.1}\) లో ప్రతిస్థాపిస్తే క్రింది సమీకరణం లభిస్తుంది.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

ప్రత్యేకంగా రేఖీయ సమస్యలో \(K_L\) ను రేఖీయ దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్‌గా తీసుకుంటే \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). దీనిని పై సమీకరణంలో ప్రతిస్థాపిస్తే క్రింది సమీకరణం లభిస్తుంది.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

జ్యామితీయ సరిహద్దు షరతుగా త్వరణం నిర్దేశించబడిన స్థానంలో, సమీకరణం \(\eqref{eq:2.5.2}\) నుండి క్రింది స్థానచలనం లభిస్తుంది.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

అదేవిధంగా, వేగం నిర్దేశించబడిన స్థానంలో సమీకరణం \(\eqref{eq:2.5.6}\) నుండి క్రింది స్థానచలనం లభిస్తుంది.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

ఇక్కడ, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) అనేది \(t+\Delta{t}\) సమయంలో నోడ్ స్థానచలనం; \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) అనేది \(t+\Delta{t}\) సమయంలో నోడ్ వేగం, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) \(t+\Delta{t}\) సమయంలో నోడ్ త్వరణం; \(i\) నోడ్ స్వేచ్ఛా ప్రమాణ సంఖ్య, \(s\) నోడ్ సంఖ్య. ద్రవ్యరాశి పదం మరియు డ్యాంపింగ్ పదాన్ని క్రింది విధంగా నిర్వహిస్తారు.

ద్రవ్యరాశి పదం నిర్వహణ

ద్రవ్యరాశి మ్యాట్రిక్స్‌ను సూత్రప్రాయంగా లంప్డ్ మాస్ మ్యాట్రిక్స్‌గా పరిగణిస్తారు.

డ్యాంపింగ్ పదం నిర్వహణ

డ్యాంపింగ్ పదాన్ని సమీకరణం \(\eqref{eq:2.5.8}\) లో వ్యక్తీకరించిన Rayleigh డ్యాంపింగ్‌గా పరిగణిస్తారు.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

ఇక్కడ \(R_m\), \(R_k\) అనేవి Rayleigh డ్యాంపింగ్ పరామితులు.

!DYNAMIC కార్డులో పేర్కొన్న \(R_m\), \(R_k\) మొత్తం మోడల్‌కు ఏకరీతిగా వర్తిస్తాయి. ప్రతి పదార్థానికి వేర్వేరు \(R_m\), \(R_k\) ఇవ్వాలంటే, ఆ పదార్థపు !MATERIAL బ్లాక్‌లో !DAMPING కార్డును పేర్కొనాలి. !DAMPING పేర్కొన్న పదార్థానికి చెందిన మూలకాల కోసం, మూలక ద్రవ్యరాశి మ్యాట్రిక్స్ \(M_i\) మరియు ట్యాంజెంట్ దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్ \(K_i\) నుండి \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) గా మూలక డ్యాంపింగ్ మ్యాట్రిక్స్‌ను లెక్కించి గ్లోబల్ డ్యాంపింగ్ మ్యాట్రిక్స్‌లో సమీకరిస్తారు. ఈ ఫీచర్ అవ్యక్త పద్ధతిలో మాత్రమే చెల్లుతుంది.

వ్యక్త పద్ధతి (కేంద్ర వ్యత్యాస పద్ధతి)

వ్యక్త పద్ధతి క్రింద చూపిన సమయం t వద్ద చలన సమీకరణాన్ని ఆధారంగా తీసుకుంటుంది.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

ఇక్కడ \(t + \Delta t\) మరియు \(t - \Delta t\) సమయాల్లో స్థానచలనాన్ని సమయం \(t\) చుట్టూ Taylor విస్తరణతో వ్యక్తీకరించి, \(\Delta t\) కు సంబంధించిన ద్వితీయ క్రమ పదాల వరకు తీసుకుంటే క్రింది రూపం లభిస్తుంది.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

సమీకరణాలు \(\eqref{eq:2.5.3}\), \(\eqref{eq:2.5.4}\) యొక్క తేడా మరియు మొత్తంనుంచి క్రింది సమీకరణాలు లభిస్తాయి.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

సమీకరణాలు \(\eqref{eq:2.5.12}\), \(\eqref{eq:2.5.13}\) ను సమీకరణం \(\eqref{eq:2.5.9}\) లో ప్రతిస్థాపిస్తే క్రింది సమీకరణం లభిస్తుంది.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

ప్రత్యేకంగా రేఖీయ సమస్యకు \(Q(t) = K_L U(t)\), కాబట్టి పై సమీకరణం క్రింది రూపం అవుతుంది.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

ఇక్కడ ద్రవ్యరాశి మ్యాట్రిక్స్ \(M\) ను లంప్డ్ మాస్ మ్యాట్రిక్స్‌గా, డ్యాంపింగ్ మ్యాట్రిక్స్‌ను అనుపాత డ్యాంపింగ్ మ్యాట్రిక్స్ \(C = R_m M\) గా తీసుకుంటే, సమీకరణం \(\eqref{eq:2.5.15}\) కోసం సమకాలీన సమీకరణ వ్యవస్థను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉండదు.

అందువల్ల సమీకరణం \(\eqref{eq:2.5.15}\) నుండి \(U(t+\Delta t)\) ను క్రింది సమీకరణంతో పొందవచ్చు.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

సంబంధిత అంశాలు