సమాచారానికి వెళ్లండి

పౌనఃపున్య ప్రతిస్పందన విశ్లేషణ

సమస్య నిర్వచనం

పౌనఃపున్య ప్రతిస్పందన విశ్లేషణలో బాహ్య బలం కాలంతో హార్మోనిక్‌గా మారుతున్నప్పుడు, స్థిరావస్థలో వ్యవస్థ యొక్క ప్రతిస్పందన వ్యాప్తి మరియు దశను పౌనఃపున్య డొమైన్‌లో మూల్యాంకనం చేస్తారు. లక్ష్య చలన సమీకరణం డ్యాంపింగ్ లేని మరియు డ్యాంపింగ్ ఉన్న సందర్భాల్లో వేర్వేరు చట్రాలను తీసుకుంటుంది. కాబట్టి ఈ అధ్యాయం ముందుగా డ్యాంపింగ్ లేని స్వేచ్ఛా కంపనం నుండి స్వాభావిక మోడ్‌లను వ్యుత్పత్తి చేసి, వాటిని మోడ్ బేసిస్‌గా ఉపయోగించి డ్యాంపింగ్ కింద హార్మోనిక్ ప్రతిస్పందనను విస్తరిస్తుంది.

డ్యాంపింగ్ లేని స్వేచ్ఛా కంపనం మరియు స్వాభావిక మోడ్‌లు

డ్యాంపింగ్‌ను పరిగణించనప్పుడు చలన సమీకరణం క్రింది విధంగా ఉంటుంది.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

దీనిని ప్రతి స్వాభావిక మోడ్‌కు విస్తరిస్తే,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

అవుతుంది. దీనిని సమీకరణం\(\eqref{eq:2.6.1}\)లో ప్రత్యామ్నాయిస్తే,

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

లభిస్తుంది. ఈ సాధారణీకృత స్వీయవిలువ సమస్య యొక్క సంఖ్యాత్మక పరిష్కార పద్ధతులు (షిఫ్ట్‌తో కూడిన ప్రతిలోమ పునరావృతం/Lanczos పద్ధతి) మోడ్ విశ్లేషణలో చర్చించబడతాయి. ఇక్కడ లభించే స్వాభావిక పౌనఃపున్యాలు మరియు స్వాభావిక మోడ్‌లలో తరువాతి హార్మోనిక్ ప్రతిస్పందన విస్తరణకు ఉపయోగించే లక్షణాలను ఈ విభాగం సమగ్రంగా చూపుతుంది.

స్వాభావిక పౌనఃపున్యాల వాస్తవత్వం

ఈ స్వాభావిక పౌనఃపున్యం వాస్తవ సంఖ్య అవుతుందని క్రింది విధంగా నిరూపించవచ్చు. \(\omega_j^2 = \lambda_j\) గా ఉంచి, సమీకరణం\(\eqref{eq:2.6.3}\) యొక్క సంక్లిష్ట సంయుగ్మాన్ని తీసుకుంటే సమీకరణం\(\eqref{eq:2.6.4}\) లభిస్తుంది.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

దీనిని \(\overline{U}_J^T\) తో గుణిస్తే,

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

లభిస్తుంది. సమీకరణం\(\eqref{eq:2.6.5}\) నుండి,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

అవుతుంది. ఇక్కడ ద్రవ్యరాశి మ్యాట్రిక్స్ ధన నిర్దిష్ట సమమిత మ్యాట్రిక్స్ కాబట్టి, శూన్య వెక్టర్ కాని స్వీయవెక్టర్‌కు

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

చెల్లుతుంది. కాబట్టి,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

అవుతుంది; అందువల్ల \(\omega_j^2 = \lambda_j\) వాస్తవ సంఖ్య అవుతుంది.

స్వాభావిక మోడ్‌ల లంబత్వం మరియు సాధారణీకరణ

ఇప్పుడు రెండు వేర్వేరు మోడ్‌లను పరిశీలిద్దాం.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

దీని నుండి,

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

లభిస్తుంది; స్వీయవిలువలు వేర్వేరుగా ఉంటే,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

అవుతుంది. అంటే వేర్వేరు స్వాభావిక మోడ్‌లు ద్రవ్యరాశి మ్యాట్రిక్స్‌కు సంబంధించి లంబంగా ఉంటాయి. ఒకే మోడ్‌కు ద్రవ్యరాశి మ్యాట్రిక్స్‌కు సంబంధించి సాధారణీకరించడం (సమీకరణం\(\eqref{eq:2.6.12}\)) నిర్వహణను సులభం చేస్తుంది.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

డ్యాంపింగ్ కింద హార్మోనిక్ ప్రతిస్పందన

తరువాత డ్యాంపింగ్‌ను పరిగణించిన పౌనఃపున్య ప్రతిస్పందన విశ్లేషణ సూత్రీకరణను చూపుతాము. లక్ష్య చలన సమీకరణం సమీకరణం\(\eqref{eq:2.6.13}\)లో చూపబడింది.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

ఇక్కడ డ్యాంపింగ్ పదం Rayleigh రకం అని ఊహించి, \(\eqref{eq:2.6.14}\) విధంగా వ్యక్తీకరించగలదని భావిస్తాము.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

మోడ్ విశ్లేషణలో పొందిన స్వీయవెక్టర్‌ల ద్వారా స్థానచలన వెక్టర్‌ను సమయం t వద్ద సమీకరణం\(\eqref{eq:2.6.15}\) విధంగా విస్తరించవచ్చు.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

ఈ సమయంలో బాహ్య బల పదం హార్మోనిక్ ఆసిలేటర్ రూపమైన

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

అయినప్పుడు \(b_{j}(t)\) ను నిర్ణయిస్తాము. చలన సమీకరణం\(\eqref{eq:2.6.13}\) బలవంతిత కంపన రూపంలో ఉంటుంది కాబట్టి,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

చెల్లుతుంది. \(b_{j}(t)\) విస్తరణ గుణకాల వాస్తవ మరియు కల్పిత భాగాలను గణిస్తే, అవి సమీకరణం\(\eqref{eq:2.6.18}i\) మరియు సమీకరణం\(\eqref{eq:2.6.19}\) రూపాల్లో ఉంటాయి.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

అవుతాయి.

సంబంధిత అంశాలు