సమాచారానికి వెళ్లండి

అస్థిర ఉష్ణ వాహక విశ్లేషణ

పరిమిత మూలక పద్ధతి (Finite Element Method) తో ఘన పదార్థ ఉష్ణ వాహక విశ్లేషణలో కాల విచ్ఛిన్నీకరణ మరియు పునరావృత పరిష్కార పద్ధతిని వివరిస్తారు. నిరంతర మాధ్యమానికి పాలక సమీకరణం మరియు సరిహద్దు షరతుల కోసం ఉష్ణ వాహక సమీకరణం చూడండి.

విచ్ఛిన్నీకృత సమీకరణం (ప్రారంభ బిందువు)

ఉష్ణ వాహక సమీకరణాన్ని (ఉష్ణ వాహక సమీకరణం (gov_he_main)) Galerkin పద్ధతితో విచ్ఛిన్నీకరిస్తే,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

ఇక్కడ,

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

ఇక్కడ \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) వరుసగా ఉష్ణ వాహక మ్యాట్రిక్స్ (సరిహద్దు సహకారంలోని సంచలనం మరియు వికిరణ పదాలతో), ద్రవ్యరాశి మ్యాట్రిక్స్, ఉష్ణ లోడ్ వెక్టర్, ఆకార ఫంక్షన్ మ్యాట్రిక్స్. పదార్థ లక్షణ సంకేతాలు (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) మొదలైనవి) ఉష్ణ వాహక సమీకరణం లో నిర్వచించినట్లే ఉంటాయి.

కాల విచ్ఛిన్నీకరణ మరియు పునరావృత పరిష్కారం

సమీకరణం \(\eqref{eq:2.4.8}\) అరేఖీయ మరియు అస్థిర సమీకరణం. కాలానికి సంబంధించి వెనుక Euler పద్ధతితో విచ్ఛిన్నీకరిస్తే, \(t=t_0\) వద్ద ఉష్ణోగ్రత తెలిసినప్పుడు \(t=t_0+\Delta t\) వద్ద ఉష్ణోగ్రతను క్రింది సమీకరణంతో లెక్కిస్తారు.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

ఇక్కడ సమీకరణం \(\eqref{eq:2.4.13}\) ను సన్నిహితంగా సంతృప్తి పరచే ఉష్ణోగ్రత వెక్టర్ \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) ను మెరుగుపరచి, అధిక ఖచ్చితత్వం గల పరిష్కారం \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) పొందాలని భావిస్తారు.

దీనికోసం మొదట ఉష్ణోగ్రత వెక్టర్‌ను క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరిస్తారు.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

ఉష్ణ వాహక మ్యాట్రిక్స్ మరియు ఉష్ణోగ్రత వెక్టర్ గుణితం, ద్రవ్యరాశి మ్యాట్రిక్స్ మొదలైనవాటిని క్రింది విధంగా సన్నిహితంగా వ్యక్తీకరిస్తారు.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

సమీకరణాలు \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\), \(\eqref{eq:2.4.16}\) ను సమీకరణం \(\eqref{eq:2.4.13}\) లో ప్రతిస్థాపించి ద్వితీయ మరియు పై క్రమ పదాలను విస్మరిస్తే క్రింది సమీకరణం లభిస్తుంది.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

అదనంగా ఎడమ వైపు గుణక మ్యాట్రిక్స్‌ను క్రింది సమీకరణంతో సన్నిహితంగా మూల్యాంకనం చేస్తారు.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

ఇక్కడ \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) ట్యాంజెంట్ దృఢత్వ మ్యాట్రిక్స్.

చివరికి క్రింది సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి పునరావృత గణన చేయడం ద్వారా \(t=t_0+\Delta t\) వద్ద ఉష్ణోగ్రతను లెక్కించవచ్చు.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

ప్రత్యేకంగా స్థిర విశ్లేషణలో క్రింది సమీకరణంతో పునరావృత గణన చేస్తారు.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

అస్థిర విశ్లేషణలో కాల విచ్ఛిన్నీకరణకు అవ్యక్త పద్ధతి ఉపయోగించబడేందున, కాల వృద్ధి \(\Delta t\) పరిమాణంపై సాధారణంగా స్థిరత్వ పరిమితి ఉండదు. అయితే \(\Delta t\) చాలా పెద్దదైతే పునరావృత గణనలో అభిసరణకు కావలసిన పునరావృతాల సంఖ్య పెరుగుతుంది. సాధారణంగా కాల వృద్ధి \(\Delta t\) చాలా పెద్దదైతే పునరావృతాల సంఖ్య పెరుగుతుంది. అమలులో అవశేష వెక్టర్ పరిమాణాన్ని పర్యవేక్షించి, అభిసరణ నెమ్మదిగా ఉంటే \(\Delta t\) తగ్గించి, పునరావృతాల సంఖ్య తక్కువైతే \(\Delta t\) పెంచే స్వయంచాలక వృద్ధి నియంత్రణ ఉపయోగిస్తారు (వివరాలకు దశ నియంత్రణ చూడండి).

సంబంధిత అంశాలు